基于BOPPPS模型的旋轉(zhuǎn)體體積的教學設計

張智勇， 鄭 嘉

(中央民族大學 理學院，北京100081)

1 引 言

教育部關(guān)于《一流本科課程建設的實施意見》指出，“課程是人才培養(yǎng)的核心要素，課程質(zhì)量直接決定人才培養(yǎng)質(zhì)量”.當前，“千禧寶寶”已經(jīng)長大成為大學課程對象的主體，面對集“學習自主化、生活網(wǎng)絡化、理想務實化，處世理性化”[1]等特征于一身的“零零”后大學生，大學課程教學設計方案勢必要充分考慮這一群體特征才能提高課程質(zhì)量，實現(xiàn)人才培養(yǎng)目標.

高等數(shù)學是高等院校理工科專業(yè)大學一年級新生的核心基礎課程，部分學校如中國人民大學、中國傳媒大學等在文史哲專業(yè)也同樣開設相關(guān)課程.旋轉(zhuǎn)體體積是高等數(shù)學課程的重要內(nèi)容之一，同時也是數(shù)學、信息與計算科學專業(yè)所學數(shù)學分析課程的重要知識點[2].這部分內(nèi)容既是定積分思想的理論延伸，同時也涉及“面動成體”的幾何框架，以及思想方法在自然科學和工程技術(shù)等領(lǐng)域的應用，因此探索旋轉(zhuǎn)體體積的有效教學思路是一個非常值得高校教師關(guān)注的問題.

通過調(diào)研北京部分理工類高校對高等數(shù)學中旋轉(zhuǎn)體體積這部分內(nèi)容的教學設計方案，發(fā)現(xiàn)當前的教學方案主要以課本中的實例結(jié)合PPT展示來講解旋轉(zhuǎn)體的形成過程，然后介紹基于定積分思想的微元法來推導旋轉(zhuǎn)體體積公式，最后再應用到物理、幾何等領(lǐng)域中的具體問題.這個教學方案側(cè)重微元法的實施步驟，機械化的推導出體積公式，對內(nèi)容的應用重視不夠，因此在實際教學過程中部分學生并不能很好地理解公式的推導過程，從而導致后續(xù)一些體積公式的繁衍及應用更是死記硬背，做成“夾生飯”.同時，在教學過程中很少提及內(nèi)容相關(guān)的科研進展，即使偶爾有所涉及，也是一帶而過，沒有得到老師和學生的充分重視，導致教學與科研相結(jié)合的教學思路也沒有得到很好的展開.盡管基于微元法的思想，一些教師給出了體積公式的多種推導方法及應用[3-4]，但是基于班級整體水平的差異等原因考慮，這些方法在實際教學過程中很少詳細講解，只是告訴學生存在多種方法能處理這個問題，從而學生對擴展內(nèi)容沒有真正的領(lǐng)會貫通，出現(xiàn)部分同學“吃不飽”的現(xiàn)象.

總體上講，旋轉(zhuǎn)體體積的教學模式以“傳統(tǒng)板書講解+多媒體課件演示+思想方法有限延伸”為主，不能有效激發(fā)學生學習的興趣也不能使學生在后續(xù)課程中融會貫通，存在一定的局限性.同時，由于所授課班級的學生構(gòu)成較復雜并且學習基礎有一定的差異性，因此非常有必要針對學生的差異性進行有針對性的課程設計. 本文結(jié)合教學理論與實踐，針對所授課學生的差異性，同時充分考慮“零零”后大學生的特征，以旋轉(zhuǎn)體體積為例，提出一種有效教學設計方案，旨在使全體學生既能掌握教學內(nèi)容，又能將所學內(nèi)容與實際問題相關(guān)聯(lián)，激發(fā)學生的科研興趣，促進學生分類成長，進而為后續(xù)專業(yè)課程的學習以及數(shù)學應用能力的培養(yǎng)奠定堅實的基礎.

2 基于BOPPPS有效教學模型的教學設計

BOPPPS是加拿大教師技能培訓中廣泛推行的一種教學模式，近年來在國內(nèi)受到廣泛關(guān)注[5]，尤其在大學數(shù)學類課程教學方面也有了深層次應用[6].BOPPPS有效教學模式由“導入”“建立目標”“前測”“參與式教學”“后測”及“總結(jié)”六環(huán)節(jié)組成，這種分解具有良好的教學可操作性，并能了解學生的掌握狀況，及時調(diào)整教學深度和維度.因此，本文基于BOPPPS模型來完成旋轉(zhuǎn)體體積這部分內(nèi)容的教學設計.

2.1 導入

當前引入旋轉(zhuǎn)體的具體方法是老師口頭講述生活中一些旋轉(zhuǎn)體實例，然后利用PPT展示部分實例，接下來就是利用微元法來推導旋轉(zhuǎn)體的體積公式.這種講解思路是高中立體幾何課程的常用思路，因此一般來講，學生對這些實例已經(jīng)非常清楚，即使一些教師會利用“時髦”的物品，例如3D打印產(chǎn)品等，來切入旋轉(zhuǎn)體，但是學生一看之后大腦仍然回歸原有的實例.因此，學生對旋轉(zhuǎn)體已經(jīng)有了初步的認識，不清楚為什么還要重新學習，潛意識里已然存在一定的不感興趣因素.尤其對于“零零”后大學生，其“現(xiàn)實性”的特點使得對于無用或者無意義的知識天然地產(chǎn)生抵觸.因此，在設計引入環(huán)節(jié)時，從學生熟悉的規(guī)則幾何體入手，尋找“知其然但不知其所以然”的引例來激發(fā)學生興趣.如借助大家熟知的圓柱體積公式和圓錐體積公式，引出問題：

問題同底等高的三角形的面積是矩形的1/2，為什么沿著同一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后的體積會相差1/3呢？

為了使學生對此問題的思考更加深入，這些帶有挑戰(zhàn)性的問題可以在上節(jié)課結(jié)尾或者課前通過微視頻等方式發(fā)布，并對問題給出必要的提示，提供參考文獻.例如，對上面的問題可以提示學生考慮平面面積和旋轉(zhuǎn)距離這兩個因素.這個環(huán)節(jié)，多鼓勵學生查閱參考文獻，培養(yǎng)思考、探索和解決問題的能力，注入科學研究的思想.

2.2 學習目標

“零零”后學生務實的特點使得學生在學習之前必須有清晰的目標.開宗明義，在本堂課開始時明確本節(jié)課的學習目標，并且貫穿整個課堂.具體為

(i) 理論: 掌握旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導，并能熟練解決各類旋轉(zhuǎn)體體積的計算問題；

(ii) 應用: 能夠利用體積公式解決生活中的實際問題，使得部分學生能夠結(jié)合具體問題，開展科學研究.

2.3 前測

本節(jié)課所需課前知識是微元法，因此利用口頭提問的方式進行前測，旨在探測學生對于微元法的掌握情況.提問采用學習通平臺隨機點名的方式，調(diào)動學生課前復習積極性，活躍課堂氣氛.

2.4 參與式學習

參與式學習是BOPPPS教學模式的核心模塊，同時也契合“零零”后大學生學習自主性特點的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

2.4.1 實物展示

課前布置學生以小組為單位尋找日常生活中或者專業(yè)課學習中遇見的非規(guī)則旋轉(zhuǎn)幾何體.通過觀察生產(chǎn)、生活中的旋轉(zhuǎn)體發(fā)現(xiàn)問題，即除了圓錐體、圓柱體這種有計算公式的旋轉(zhuǎn)體，其他旋轉(zhuǎn)體的體積應該如何計算呢？另一方面，由于問題是學生自己發(fā)現(xiàn)的，也進一步加深所學知識的應用背景，并要求在實物展示時要說明該旋轉(zhuǎn)體是如何形成的.

2.4.2 動態(tài)演示

在總結(jié)學生實物展示的基礎上，利用可視化手段演示一般旋轉(zhuǎn)體形成過程.多媒體等現(xiàn)代化技術(shù)手段已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ顚W習的一部分，因此在教學過程中要充分利用多媒體手段，增強教學內(nèi)容的吸引力.在平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)過程中，借助符號計算軟件Mathematica，動態(tài)演示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸生成旋轉(zhuǎn)體的具體過程，見圖1.這樣不僅可以進一步增強學生對旋轉(zhuǎn)體的理解，還能夠帶動學生學習符號計算軟件的熱情，把“吸引人”的計算機與“抽象”的數(shù)學結(jié)合起來.

圖1 借助Mathematica演示旋轉(zhuǎn)體形成過程

這樣引導學生邏輯清晰的從“規(guī)則圖形”到“不規(guī)則圖形”，旋轉(zhuǎn)軸從“坐標軸”到“平行坐標軸”到“不平行坐標軸”的轉(zhuǎn)化，慢慢切入到旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導，這個過程中自然而然會遇到已有知識不能解決的問題，促使學生探索新方法新思路來處理這些問題.

2.4.3 解決問題

針對學生拿到的實物提出相應的實際問題：以礦泉水瓶為例，判斷飲料瓶標注的容積是否與實際的容量相符，使學生能夠切實體會到書本上的知識在現(xiàn)實生活中能找到對應的原型.

步驟1：礦泉水瓶的形成(小組討論)

礦泉水瓶由哪些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成，模擬圍成平面圖形的(分段)函數(shù)？ 例如， 圖2.

圖2 平面圖形旋轉(zhuǎn)成礦泉水瓶

步驟2：計算礦泉水瓶容積(體積)

在小組討論過程中根據(jù)觀察各組解決問題的思路和進度，適時引入實物洋蔥，通過提示如何計算洋蔥的體積從而自然引導學生考慮計算旋轉(zhuǎn)體體積的柱殼法，進而讓學生利用微元法解決旋轉(zhuǎn)體體積的計算問題.

2.4.4 問題抽象

以旋轉(zhuǎn)軸作為研究對象，將問題分三大類：即y軸和平行y軸的直線、x軸和平行x軸的直線以及斜直線y=kx+l，講解過程有側(cè)重點，重點講解第一類，學生自行推導第二類，簡單介紹第三類的具體思路，鼓勵有精力的同學課后完成.通過分類講解，使學生能夠明確微元選取方向與旋轉(zhuǎn)軸的關(guān)系，同時準確確定微元和積分區(qū)間，清晰掌握各類旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導.同時對于給定的問題，能夠準確判定問題的歸屬類別，并能利用公式進行計算.具體分類情況如圖3-圖8所示.

特別的，對于繞y軸旋轉(zhuǎn)的柱殼法，要詳細講解微元公式的推導過程：首先，取切條[x，x+dx]，然后將切條繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個柱殼，體積為

ΔV≈π[(x+dx)2-x2]y=π[2xdx+(dx)2]y≈2πxydx=dV.

圖3 繞x軸旋轉(zhuǎn) 圖4 繞直線x=c旋轉(zhuǎn)

圖5 繞y軸旋轉(zhuǎn) 圖6 繞直線y=c旋轉(zhuǎn)

圖7 繞直線y=kx+l旋轉(zhuǎn) 圖8 繞y軸旋轉(zhuǎn)的柱殼法

最后，對于同一個平面圖形，把旋轉(zhuǎn)軸為y軸和x=c軸、x軸和y=c軸分別進行對比，觀察所得到的旋轉(zhuǎn)體體積公式的區(qū)別，并利用具體實例進行驗證.在學生總結(jié)的基礎上，重點向?qū)W生強調(diào)旋轉(zhuǎn)體的體積與坐標系的選擇沒有關(guān)系，只是在不同坐標系下旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表示不同，進而導致計算量不同，但解決問題的本質(zhì)是相同的，從而加強學生對旋轉(zhuǎn)軸為非坐標軸情形的理解，從心理上化解旋轉(zhuǎn)軸為非坐標軸時的困惑.

式中，BN為凈厚度，此處為應力強度因子系數(shù);ν為泊松比;E為彈性模量;Δa=a-a0為裂紋擴展長度；Up為力和施力點位移曲線下的面積的塑性分量。如圖9(b)所示，在載荷-位移曲線中截取到最大載荷處，將載荷-位移曲線進行積分，在總的面積積分中減去理論的彈性面積Ue即可得到塑性分量Up。

2.5 后測

(i) 小組討論并解決導入問題：同底等高的三角形的面積是矩形的1/2，為什么沿著同一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后的體積會相差1/3呢？

(ii) 傳統(tǒng)練習題，提升解題能力：在知識點的講授過程中，在解決知識點后配備例題的基礎上，同時匹配相應的練習題，使學生能夠掌握知識點對應的習題類型，熟練應對各層次的考試；

(iii) 設計與專業(yè)課知識相關(guān)的問題進行檢測：除考察本節(jié)課的知識點外，還要使學生熟悉問題的背景及應用，加強學生對理論知識的認可度，使學生體會到基礎理論課程的支撐作用.

2.6 總結(jié)

(i) 學生總結(jié)：總結(jié)旋轉(zhuǎn)體體積計算公式，推導過程及注意事項.

(ii) 教師拓展：實踐教學表明，有些學生在學習的過程能夠提出一些與教學內(nèi)容相關(guān)的更深層次的問題，因此在實際教學過程中融合科研進展能夠進一步激發(fā)學生的科研興趣.例如本堂課引入符號計算軟件Mathematica，使計算機與數(shù)學結(jié)合起來，讓學生對數(shù)學機械化方向有一定的了解；借助旋轉(zhuǎn)體模型的形狀及表面的光滑程度，簡單介紹曲線曲面的相關(guān)知識，并以汽車模型為例子來闡述我國汽車行業(yè)的發(fā)展歷程.

(iii) 布置作業(yè)：這里的作業(yè)包含課內(nèi)作業(yè)和拓展作業(yè)兩部分

課內(nèi)作業(yè)：借助“雨課堂”“學習通”等一些教學平臺來增加線上練習.根據(jù)習題難度建立分層習題庫，對不同層次需求的學生采用分類模式培養(yǎng)[7]，并用游戲通關(guān)模式進行，即A層題目回答正確后才可見B層題目并作答，并以此類推，從而促進學生完成作業(yè)的趣味性.例如，本節(jié)分層作業(yè)安排如下：

A層：求y=sinx(0≤x≤π)與x軸所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)體的體積；

B層：計算由擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)相應于0≤t≤2π的一拱和直線y=0所圍成的圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積；

C層： 計算由曲線y=3x-x2及y=0所圍成的圖形繞直線x=-1旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.

生活網(wǎng)絡化的“零零”后學生，學習場景不再局限于坐在自習室中，微信和小程序APP已經(jīng)成為學生日常生活的一部分，因此巧妙的利用這種便利提高碎片化時間的學習機會和學習效率，鼓勵學生主動錄制多種形式的學習小視頻，包括解題技巧等，形成學生互相點擊，互相學習.

拓展作業(yè)：注重實際問題的處理，培養(yǎng)動手能力.作為課后練習，鼓勵學生根據(jù)所學過的函數(shù)來設計不同形狀平面圖形，通過Mathematica等軟件來模擬不同的旋轉(zhuǎn)體，并利用本節(jié)課所學知識計算旋轉(zhuǎn)體的體積.這個設計分析的過程不僅能讓學生擺脫傳統(tǒng)上課模式的束縛，而且能有效的促進學生創(chuàng)新能力、數(shù)學應用能力的培養(yǎng).

3 教學設計實踐效果

為了衡量該教學設計方案的實施效果，從課堂學習及課后學生反饋、試卷中旋轉(zhuǎn)體體積試題的得分情況以及本課程教務系統(tǒng)的學生評教三方面進行了評價.

3.1 課堂學習和課后學生反饋

以文中的教學設計進行旋轉(zhuǎn)體體積教學過程中，課堂中呈現(xiàn)的洋蔥、套娃等實物教具極有吸引力，學生未開始上課就開始討論，極大地激發(fā)了學生的學習興趣；同時，對于利用Mathematica軟件模擬旋轉(zhuǎn)體的生成過程這部分內(nèi)容，部分同學在課后主動聯(lián)系老師，了解軟件的安裝、使用及在處理實際建模和數(shù)學計算問題時的技巧，充分調(diào)動了有科研興趣同學的積極性.

3.2 學生成績

對某兩屆同類型班級學生期中考試卷面成績進行統(tǒng)計，各分數(shù)段的學生人數(shù)占比情況如圖9所示，其中點狀柱體代表的班級未實施文中的教學模式，斜線柱體代表的班級利用了文中的教學設計模式.圖9的結(jié)果表明實施班級學生的不及格率明顯下降，雖然90分以上學生占比有所下降，80-89分，70-79分和60-69分三個分數(shù)段的學生人數(shù)占比上升明顯，60分以下同學明顯減少.

圖9 兩屆同類型班級期中考試各分數(shù)段的學生人數(shù)占比

更進一步，對于試卷中“定積分在幾何學中的應用”這部分內(nèi)容的試題得分進行了統(tǒng)計，結(jié)果如表1.排除部分學生的基礎薄弱等外在因素，通過文中提出的教學設計方案，實施班級的學生對本部分內(nèi)容的掌握程度明顯好于未實施班級的學生.

表1 “定積分在幾何學中的應用”試題得分分布表

特別的，實施班級的學生中有2名同學(未完整學完本課程)參加了北京市大學生數(shù)學競賽，其中1名學生獲得二等獎.此外，由7名民族實驗班同學組成的2支創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)團隊均獲得北京市資助，已經(jīng)在線發(fā)表學術(shù)論文1篇.

3.3 教務系統(tǒng)學生評教

在課程結(jié)束后教務系統(tǒng)的評教中，學生對本門課程的整體教學滿意度也體現(xiàn)了這類教學設計模式在教學內(nèi)容的講授過程中的積極作用，學生評教結(jié)果反饋表如圖10所示，課程部分主觀評價截圖如圖11.

總平均分96.0

維度題項分項平均分教學態(tài)度能夠履行教書育人職責,重視對學生素質(zhì)的培養(yǎng),認真進行教學管理,引導學生形成良好學習習慣9.6522上課儀表端莊,精神飽滿,備課充分,按時上下課,授課認真、負責,不隨意調(diào)停課,批閱作業(yè)認真及時,輔導答疑耐心細致10教學內(nèi)容教學目的明確,思路清晰,重點突出,講清難點,詳略得當,有效落實課程教學目標9.5652教學內(nèi)容有系統(tǒng)性,理論聯(lián)系實際,注重反映學科前沿問題9.6522教學效果掌握了該課程所要求的基本理論與知識,提高了對本學科的興趣9.8261掌握了一定的學習方法和科學研究方法,分析問題和解決問題的能力有提高9.7391能夠?qū)⑺鶎W理論知識與實際相結(jié)合,提高實踐能力和創(chuàng)新意識9.6522教學設計因材施教,積極采用恰當教學方法和手段,注重采取多種形式開展師生互動9.7391平時、期中、期末等考核環(huán)節(jié)設計體現(xiàn)課程教學目標,有助于引導學生自主學習、鞏固知識和加強相應的能力訓練8.5217注重指導學生掌握學習方法,鼓勵學生獨立思考、發(fā)展自我9.6522

11、老師講課時條理清楚,基礎知識牢固,不是照本宣科,而是會引領(lǐng)我們思考,給我們講她是如何思考問題的,是不可多得的好老師,有點舍不得她的課呢26、真的真的很喜歡老師的課!老師的上課方式非常貼近我們,從老師的課上學到的不僅是解題方法,更有思考方法!27、整堂課思路清晰,環(huán)節(jié)緊湊,重難點突出,設計合理。學生的課堂習慣非常好,每個人都能積極的參與到課堂中,課堂效果較好。

4 結(jié) 論

BOPPPS有效教學模型是以學生為中心，強調(diào)師生的參與式學習，因此在明確教學目標后，教師要采取有針對性的教學手段，促使學生能夠掌握新知識、學到新技能，明確課程之后可以做且能做什么.本文在這一理念的引領(lǐng)下，結(jié)合“零零”后學生的特點，設計了一個完整的旋轉(zhuǎn)體體積教學設計方案.該方案融合線上和線下等多元教學手段，以問題為切入點來研究旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導，并將教學內(nèi)容與相關(guān)科研問題相結(jié)合，同時配備層次分明的線上和線下分層練習題，能切實加強學生對旋轉(zhuǎn)體體積公式的理解和應用，促進學生分類成長，培養(yǎng)學生從“學”到“用”再到“?！钡臄?shù)學推理和應用能力，從而形成教師引導、學生主體、師生共進的教學氛圍.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.