土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的數(shù)據(jù)作圖論證及原因分析*

岳中琦 康興宇

(香港大學(xué)土木工程系， 香港 999077， 中國)

0 引 言

0.1 前人研究

在任何斜坡工程中，斜坡穩(wěn)定性分析都是必不可少的一項工作，對定量評價斜坡安全性起極其重要的作用(陳祖煜， 2003； 陳祖煜等， 2005；Yue et al.， 2002， 2013； 岳中琦， 2015； 岳中琦等， 2014)。斜坡穩(wěn)定性分析的最重要定量指標是斜坡的安全系數(shù)。因此，近百年來，眾多巖土研究人員對斜坡安全系數(shù)做了大量研究和分析。首先，根據(jù)它們的力學(xué)理論基礎(chǔ)，斜坡安全系數(shù)計算方法至少有以下3大類：第1類是基于極限平衡原理的有限條分法(Fellenius， 1936)； 第2類是強度折減法(鄭宏等， 2002； 鄭潁人等， 2010； 劉康琦等， 2020)； 第3類是極限分析法(Chen et al.，2012； 霍沿東等， 2019； 黃珮倫等， 2020)。本文主要是應(yīng)用第1類基于極限平衡原理的有限條分法，來研究和論證土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)，并分析土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)作用的不同規(guī)律，從而給出斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的土力學(xué)原因。

基于極限平衡原理的有限條分法擁有極其長久和豐富的發(fā)展歷史。這些發(fā)展歷史體現(xiàn)在自1927年以來的以下代表性論文論著：Fellenius(1936)、Janbu(1954， 1975， 2005)、Bishop(1955)、Morgenstern et al. (1965)、Spencer(1967)、Sarma(1979)、Chen et al. (1983)，Zhang et al. (2019)。這類方法是基于土體莫爾-庫侖抗壓剪破壞準則，假設(shè)斜坡土體內(nèi)部存在一個潛在滑移面，再將潛在滑移面上部的斜坡土體劃分為很多垂直細長土條。通過這些土條的靜力平衡方程，得到在極限平衡條件下潛在滑移面所擁有的抵抗沿潛在滑移面下滑力的能力大小。這個抵抗能力和主動下滑力之比值就是斜坡的安全系數(shù)。抵抗能力由斜坡黏聚力和內(nèi)摩擦角貢獻。實際斜坡的這個比值(或安全系數(shù))最小值是1，抵抗力與下滑力恰好平衡。穩(wěn)定斜坡安全系數(shù)值都要大于1，越大越穩(wěn)定安全，越小越不穩(wěn)定、傾向滑坡。每個安全系數(shù)都基于一個假定的潛在滑移面。潛在滑移面擁有的安全系數(shù)越大，就越不可能沿著這個潛在滑移面發(fā)生滑坡。反之，潛在滑移面擁有的安全系數(shù)越小，就越有可能沿著這個潛在滑移面發(fā)生滑坡。

因此，斜坡穩(wěn)定性計算分析的最重要任務(wù)就是找到一個擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面。巖土科研人員在最小安全系數(shù)搜索方法上做了大量研究工作，提出了不少計算方法(陳祖煜， 2003； 陳祖煜等， 2005)。例如，陳祖煜等(1988)采用了負梯度算法，來搜尋擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面。Zhu(2001)計算不同位置潛在滑移面的安全系數(shù)，構(gòu)造一個安全系數(shù)場來確定最小安全系數(shù)。Li et al. (2005a， 2005b)分析了天津港挖海泥航道滑坡成因機理，根據(jù)潛在滑移面空間分布來確定擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面，作為最有可能的滑移面。Gao(2017)，Mishra et al. (2020)采用可以避開局部最優(yōu)解的非數(shù)值智算法搜尋臨界潛在滑移面。

0.2 提出問題

根據(jù)包括上述文獻在內(nèi)的大量相關(guān)文獻研究，我們發(fā)現(xiàn)，幾乎所有進行巖土斜坡穩(wěn)定性計算與分析的學(xué)者們都直接或間接地使用了一個假設(shè)：任何土質(zhì)斜坡都存在一個最小安全系數(shù)，再對斜坡的潛在滑移面進行搜索，以找到這個擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面。然而，一般土質(zhì)斜坡是否能夠存在唯一最小安全系數(shù)缺乏論證。同時也缺乏對這個斜坡?lián)碛羞@個最小安全系數(shù)原因的詳細定量分析。另外，現(xiàn)有文獻關(guān)于斜坡土體抗剪強度(抵抗能力)參數(shù)對斜坡穩(wěn)定性分析的影響分析集中于研究抗剪強度對臨界滑移面的影響(Cheng et al.，2007； Jiang et al.，2006； Li et al.，2010)，缺乏對土體黏聚力和內(nèi)摩擦角分別對斜坡不同潛在滑移面安全系數(shù)作用規(guī)律的研究。

圖 1 典型均質(zhì)斜坡模型及不同深度的潛在滑移面Fig. 1 Typical homogeneous soil slope model and its potential slip surfaces at depths d

0.3 本文目的與方法

本文目的是論證一般土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)，同時，分析與給出一般土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因。本文提出和使用的數(shù)據(jù)作圖方法是，基于Slope/W商業(yè)軟件，采用二維經(jīng)典條分法，進行土質(zhì)斜坡潛在滑移面安全系數(shù)的大量計算和作圖分析。這個數(shù)據(jù)作圖法展示，每個深度位置的潛在滑移面所擁有的安全系數(shù)值與深度作為一對平面坐標點。這些數(shù)據(jù)作圖點可揭示，安全系數(shù)值隨潛在滑移面深度的變化特征與分布規(guī)律。從而，論證一般土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)。本文再通過斜坡土體抗剪強度的兩個參數(shù)，即土體黏聚力和內(nèi)摩擦角，對斜坡安全系數(shù)的作用和貢獻，來計算、分析與給出土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的具體原因。為達到這兩個目的，本文的內(nèi)容安排如下。首先，第1節(jié)利用經(jīng)典M-P條分法(Morgen-stern et al.，1965)，計算與論證一個典型均質(zhì)土體斜坡存在唯一最小安全系數(shù)，并分析其原因。第2節(jié)再進一步計算、論證和分析這個斜坡在地下水作用下同樣存在唯一最小安全系數(shù)和其原因。第3節(jié)計算、分析和論證5個不同經(jīng)典條分法所計算出來的安全系數(shù)均存在唯一最小值和相同的存在原因。第4節(jié)計算、分析和論證分層不均質(zhì)的一幅實際庫岸土體斜坡也同樣地存在唯一最小安全系數(shù)和原因。第5節(jié)再根據(jù)斜坡安全系數(shù)定義來進一步論證第1節(jié)到第5節(jié)中的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論的正確性和根源，以及臨界滑移面區(qū)間、土體含水量和控制結(jié)構(gòu)面的時空因素影響與修正。最后，第6節(jié)總結(jié)了本文所發(fā)現(xiàn)和揭示的4條重要規(guī)律和其他重要結(jié)論。本文在使用經(jīng)典M-P條分法時，均采用條間力函數(shù)為半正弦函數(shù)。

1 典型均質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證與原因

1.1 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證

1.1.1 論證方法

用于證明的這座典型均質(zhì)斜坡如圖 1所示。它高度為7m，傾角為60°。斜坡土體重度γ=18kN·m-3，黏聚力c=20kPa，內(nèi)摩擦角φ=35°。地下水位如圖 1中點劃線所示。這一節(jié)論證先不考慮地下水的影響。本文選取了如圖 1所示13個不同深度的潛在滑移面，它們的編號為①～。所有潛在滑移面入口在坡頂?shù)孛娴牟煌恢锰?。⑥?⑧潛在滑移面出口在坡面， ⑩和潛在滑移面出口在坡腳地面不同位置，其余潛在滑移面出口都在斜坡坡面底部端點處。定義潛在滑移面深度d為潛在滑移面與斜坡表面相平行的切面與斜坡表面之間的距離。圖 1給出了這13個潛在滑移面的深度。①號潛在滑移面的深度d1=0.60m。號潛在滑移面的深度d13=7.07m。其他潛在滑移面的深度d在這兩個深度之間。本節(jié)的安全系數(shù)計算均采用M-P方法。定義這一般斜坡的每個潛在滑移面所擁有的安全系數(shù)為FOSc×φ。

數(shù)據(jù)作圖的論證與分析方法如圖 1和圖 2所示。圖 2的橫坐標為潛在滑移面深度d，縱坐標為潛在滑移面安全系數(shù)FOSc×φ。圖 2展示了圖 1的13個潛在滑移面的安全系數(shù)FOSc×φ隨對應(yīng)的潛在滑移面深度d的變化與特征。每個圓形散點對應(yīng)于一個FOSc×φ值和它的滑移深度d。由圖 2可知， ①～號潛在滑移面FOSc×φ在1.689～2.957之間。

圖 2 典型均質(zhì)圖 1斜坡的安全系數(shù) FOSc×φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 2 Variations and features of FOSc×φ values with slip depth d for the slope model in Fig. 1(without groundwater)

每一個潛在滑移深度d可以有無數(shù)個潛在滑移面。把每個可能的相同深度d的潛在滑移面所對應(yīng)的安全系數(shù)值按照它們的同一深度d在圖 2坐標系中點出，可形成縱向分布的散點線。這些按照深度d的排列的散點存在一條安全系數(shù)包絡(luò)線，這條曲線的極點數(shù)目和大小就確定和決定了這幅斜坡能否存在唯一的最小安全系數(shù)和對應(yīng)的一條潛在滑移面。

1.1.2 論證結(jié)果

圖 2所示的計算結(jié)果數(shù)據(jù)(圓形散點)初步揭示了，隨潛在滑移面深度d增加，這條最小安全系數(shù)值曲線是先下降，到某一最低點(最小值)，之后再上升。這條曲線呈不對稱拋物線型變化。它僅有一個極點。這個極點對應(yīng)的FOSc×φ就是這幅斜坡的唯一最小安全系數(shù)值。圓形散點數(shù)據(jù)包絡(luò)線的一個最小值點在深度d=2.07m(④號潛在滑移面深度d4)處，其FOSc×φ=1.689。

更進一步，這個最小值點附近，包絡(luò)線較為平緩，相對應(yīng)的局部最小安全系數(shù)值隨深度d的變化幅度較小。為找到最小安全系數(shù)的精確結(jié)果，在該點附近再選取一個小范圍的臨界滑移面區(qū)間。如圖 2所示，該區(qū)間是在③號潛在滑移面深度d3和⑤號潛在滑移面深度d5之間。再在該區(qū)間添加更多的密集潛在滑移面。如圖 2所示，共計添加了26條潛在滑移面。圖 2中十字散點展示了加密的潛在滑移面深度d和它擁有的FOSc×φ值的關(guān)系。

如圖 2加密后的散點數(shù)據(jù)所示，擁有相同或相近滑移深度d的不同潛在滑移面安全系數(shù)大小不同，每個深度存在一個局部最小的安全系數(shù)，因而基于加密的散點數(shù)據(jù)更新后的安全系數(shù)包絡(luò)線可定義為局部最小值包絡(luò)線，斜坡總體最小FOSc×φ值和對應(yīng)的深度必然在這條局部最小值包絡(luò)線上，其同樣為不對稱拋物線型曲線。當潛在滑移面深度d從0.60增大到2.19m， FOSc×φ包絡(luò)曲線單調(diào)下降。在潛在滑移面深度大于2.19m之后，F(xiàn)OSc×φ包絡(luò)曲線又單調(diào)上升。因此，該幅斜坡僅存在唯一的最小安全系數(shù)?？傮w最小安全系數(shù)等于1.673，其潛在滑移面(圖 2中紅色滑移面)深度d為2.19m。

根據(jù)圖 2中FOSc×φ和d的局部最小值包絡(luò)線的不對稱拋物線型變化規(guī)律，采用以下的反比例函數(shù)和線性函數(shù)的迭加公式對這條曲線進行擬合：

(1a)

式中：d為潛在滑移面深度；A、B和λc×φ為擬合系數(shù)。對于本節(jié)這幅均質(zhì)斜坡，擬合后的FOSc×φ包絡(luò)曲線如圖 2中的紅色虛線表示，具體如下：

(1b)

這條曲線函數(shù)僅存在一個最小值極點：d=2.13m和FOSc×φ=1.667。因而，論證了這幅斜坡必然僅存在唯一個總體最小安全系數(shù)。

1.2 土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)作用的不同規(guī)律

斜坡安全系數(shù)是斜坡土體抵抗下滑能力和斜坡土體重力作用下主動下滑力的比值。斜坡土體抵抗下滑能力主要體現(xiàn)在土體的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ。因此，再使用數(shù)據(jù)作圖法，分別計算與分析c和φ對安全系數(shù)的各自貢獻規(guī)律和作用，從而探討這個存在原因。

圖 3 典型均質(zhì)圖 1斜坡在φ=0°條件下的安全系數(shù) FOSc 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 3 Variations and features of FOSc values with slip depth d for the slope in Fig. 1 at φ=0° condition(without groundwater)

1.2.1 土體黏聚力c對斜坡安全系數(shù)的作用與規(guī)律

假設(shè)圖 1所示的典型均質(zhì)斜坡的c=20kPa，但是φ=0°。斜坡僅有黏聚力作為抵抗下滑的能力。在這個假設(shè)條件下，斜坡的安全系數(shù)定義為FOSc。再采用1.1節(jié)中的論證方法，計算和分析這幅均質(zhì)斜坡的FOSc與潛在滑移面深度d的關(guān)系。圖 3展示了這些計算與分析的結(jié)果。

圖 3揭示了，F(xiàn)OSc和d的圓形和十字散點存在局部最小值包絡(luò)線。局部最小FOSc值隨著潛在滑移面深度d增加，呈單調(diào)下降。初期下降速度極快，后期緩慢減小，直到平穩(wěn)不變。因此，采用以下反比例函數(shù)對這條曲線進行擬合：

(2a)

式中：d為潛在滑移面深度；a和λc是擬合系數(shù)。對于本節(jié)這幅均質(zhì)斜坡，擬合后的總體最小FOSc曲線如圖 3中的紅色虛線表示，具體如下：

(2b)

圖 3和式(3)揭示了，土體黏聚力c對斜坡安全系數(shù)的作用與規(guī)律是，對深度d小的潛在滑移面FOSc作用和貢獻大。隨著深度d的增大，它對FOSc作用和貢獻越來越小和恒定。FOSc的總體最小值所對應(yīng)的潛在滑移面在深部。

1.2.2 土體內(nèi)摩擦角φ對斜坡安全系數(shù)的作用與規(guī)律

再假設(shè)圖 1所示的典型均質(zhì)斜坡的c=0kPa，但是φ=35°。斜坡僅有內(nèi)摩擦角作為抵抗下滑的能力。在這個假設(shè)條件下，斜坡的安全系數(shù)定義為FOSφ。再采用1.1節(jié)中的論證方法，計算和分析這幅均質(zhì)斜坡的FOSφ與潛在滑移面深度d的關(guān)系。圖 4展示了這些計算與分析的結(jié)果。

圖 4揭示了，F(xiàn)OSφ和d的圓形和十字散點存在局部最小值包絡(luò)線。局部最小FOSφ值隨著潛在滑移面深度d增加，一直在單調(diào)增加。初期呈線性增大，后期呈加速增大。因此，采用以下線性函數(shù)對這條曲線進行擬合：

FOSφ=bd+λφ

(3a)

圖 4 典型均質(zhì)圖 1斜坡在c=0 kPa條件下的安全系數(shù) FOSφ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 4 Variations and features of FOSφ values with slip depth d for the slope in Fig. 1 at c=0 kPa condition(without groundwater)

式中：d為潛在滑移面深度；b和λφ是擬合系數(shù)。對于本節(jié)這幅均質(zhì)斜坡，擬合后的總體最小FOSφ曲線如圖 4中的紅色虛線表示，具體如下：

FOSφ=0.1791d+0.3152

(3b)

圖 4和式(3)揭示了，土體內(nèi)摩擦角φ對斜坡安全系數(shù)的作用與規(guī)律是，對深度d大的潛在滑移面的FOSφ作用和貢獻大。隨著深度d的減小，它對FOSφ作用和貢獻越來越小。FOSφ的總體最小值所對應(yīng)的潛在滑移面在淺表面。這個結(jié)果也論證了陳祖煜(2003)的觀點：“對于c=0 這樣一類無黏聚土相應(yīng)最小安全系數(shù)的臨界滑裂面是一個非常淺的淺弧。換句話說穩(wěn)定分析通常不能發(fā)現(xiàn)安全系數(shù)的極值，也不能發(fā)現(xiàn)一個具有物理意義的臨界滑裂面但是發(fā)生滑坡時臨界滑裂面卻是客觀存在的”。這個結(jié)果一致于西藏自治區(qū)林芝市波密縣境內(nèi)的沿帕隆藏布江展布的318國道山坡的流沙坡現(xiàn)象(Shang et al.， 2003)。這個結(jié)果也與無黏性土無限長斜坡的安全系數(shù)(tanφ/tanβ)一致，其中，β是無限長斜坡的坡度。

1.3 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因分析

定義由FOSc和FOSφ直接相加的共同作用安全系數(shù)FOSc+φ。它的計算公式如下：

FOSc+φ=FOSc+FOSφ

(4a)

(4b)

(4c)

式(4)揭示了，由FOSc和FOSφ直接相加獲得的FOSc+φ與FOSc×φ，具有局部最小值包絡(luò)線先降后升的規(guī)律。由土體黏聚力c控制的反比例降低函數(shù)和由內(nèi)摩擦角φ控制的線性增大函數(shù)的迭加作用所導(dǎo)致的。

表 1 在圖2、圖3和圖4所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和 FOSc+φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度d變化的數(shù)值與比值(M-P法)Table 1 Values and ratios of FOSc， FOSφ， FOSc×φ and FOSc+φ in Fig. 2，F(xiàn)ig. 3 and Fig. 4 vs slip depth d(M-P method)

表 1給出了圖 2到圖 4所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc+φ和FOSc×φ隨潛在滑移面深度d變化的數(shù)值與比值。FOSc/FOSc×φ的比值隨著d的增加而減小。由在d=0.6m的比值80.80%，逐漸降低到在d=7.07m 的比值33.10%。相反地，F(xiàn)OSφ/FOSc×φ的比值隨著d的增加而增大。由在d=0.6m 的比值16.10%，逐漸上升到在d=7.07m 的比值68.40%。FOSc+φ的值與FOSc×φ的相當一致，兩者相差不大。兩者的比值FOSc+φ/FOSc×φ的平均值為101.79%，最大值為104.98%，最小值為 96.08%。在最小安全系數(shù)的潛在滑移面上，F(xiàn)OSc+φ/FOSc×φ為98.74%。

表 1進一步揭示了，土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ對斜坡安全系數(shù)的貢獻隨深度d變化具有相反，單調(diào)且數(shù)量相當?shù)囊?guī)律，也揭示了同一潛在滑移面上的FOSc+φ與FOSc×φ值的近似相等，從而進一步論證了土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ均不等于0的斜坡的FOSc×φ存在唯一極小值和必定會存在唯一的最小安全系數(shù)的原因是黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ對斜坡安全系數(shù)的不同作用規(guī)律。

圖 5 典型均質(zhì)圖 1斜坡的安全系數(shù) FOSc×φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(考慮地下水)Fig. 5 Variations and features of FOSc×φ values with slip depth d for the slope in Fig. 1(with groundwater)

2 考慮地下水作用的進一步論證與原因分析

2.1 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證

第1節(jié)的論證與原因分析沒有考慮地下水的作用與影響。本節(jié)再利用圖 1所示的斜坡，做考慮地下水作用的進一步論證與原因分析。在斜坡安全系數(shù)計算中，地下水的作用是通過有效應(yīng)力原理來獲得的(陳祖煜等， 2005)。圖 1所示斜坡含有一個地下水位線，可以獲得靜態(tài)孔隙水壓強，再帶入采用二維條分法公式中進行斜坡潛在滑移面所擁有的安全系數(shù)計算與分析。之后，這幅含有地下水位作用的典型均質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證與原因分析，完全依照第1節(jié)的數(shù)據(jù)作圖的論證與分析方法進行。

論證計算結(jié)果如圖 5中所示。圖 5中的每一個十字散點表示了在地下水作用下圖 1斜坡的某一個潛在滑移面的深度d值與該潛在滑移面安全系數(shù)FOSc×φ值。它們對應(yīng)了圖 1的13個潛在滑移面和圖 5的大量加密的潛在滑移面。潛在滑移面深度d在0.6m到8m之間，F(xiàn)OSc×φ值在1.510～2.803之間，均大于1，處于穩(wěn)定區(qū)。

圖 5揭示與驗證了，該幅含地下水土質(zhì)斜坡每個深度d的局部最小安全系數(shù)值存在一條包絡(luò)線(或最小FOSc×φ值曲線)。它也呈不對稱拋物線型曲線分布。當d小于2.19m，局部最小FOSc×φ值包絡(luò)線單調(diào)下降。當d大于2.19m時，局部最小FOSc×φ值包絡(luò)線又單調(diào)上升。因此，該含水斜坡存在唯一的最小安全系數(shù)(FOSmin=1.510，d=2.69m)，對應(yīng)于圖 5中紅色潛在滑移面。同樣地，圖 5中FOSc×φ和d的局部最小值包絡(luò)線的不對稱拋物線型變化規(guī)律，也可用以下的反比例函數(shù)和線性函數(shù)的迭加公式來擬合表示：

(5)

這條曲線函數(shù)僅存在一個最小值極點：d=2.30m， FOSc×φ=1.495。因此，論證和驗證了含地下水作用斜坡也存在唯一最小安全系數(shù)。

對比圖 2和圖 5的結(jié)果可知，地下水降低斜坡FOSc×φ值，并且對深度大的潛在滑移面所擁有的FOSc×φ值降低作用大。該斜坡在有地下水和無地下水作用下的總體最小安全系數(shù)分別為：FOSmin=1.510和FOSmin=1.673。對應(yīng)的潛在滑移面深度分別為：d=2.19m和d=2.69m。

圖 6 典型均質(zhì)圖 1斜坡在φ=0°條件下的安全系數(shù) FOSc 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(考慮地下水)Fig. 6 Variations and features of FOSc values with slip depth d for the slope in Fig. 1 at φ=0° condition(with groundwater)

圖 7 典型均質(zhì)圖 1斜坡在c=0kPa條件下的安全系數(shù) FOSφ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(考慮地下水)Fig. 7 Variations and features of FOSφ values with slip depth d for the slope in Fig. 1 at c=0 kPa condition(with groundwater)

2.2 土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)作用的不同規(guī)律

圖 6、圖 7給出的結(jié)果揭示了考慮地下水的影響下土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)隨潛在滑在滑移面的深度變化有不同的規(guī)律。圖 6揭示了，圖 1含地下水斜坡在φ=0°條件下的安全系數(shù)FOSc隨潛在滑移面深度d的變化與特征。對比圖 3和圖 6結(jié)果也揭示了，地下水對該幅斜坡的FOSc值影響極小，兩條局部最小FOSc值的包絡(luò)線幾乎重合。如圖 6十字點所示，每個潛在滑移面深度d所擁有的局部最小FOSc值隨著d的增大，呈單調(diào)下降。初期下降速度極快，后期緩慢減小，直到平穩(wěn)不變。因此，也可用以下反比例函數(shù)對這條包絡(luò)線進行擬合：

(6)

圖 7揭示了，圖 1含地下水斜坡在c=0kPa條件下的安全系數(shù)FOSφ隨潛在滑移面深度d的變化與特征。對比圖 4和圖 7結(jié)果也揭示了，圖 1的地下水可較大地降低該幅斜坡的FOSφ值，降幅一般在21%。如圖 7十字點所示，每個潛在滑移面深度d所擁有的局部最小FOSφ值隨著d的增大，呈單調(diào)增加。初期呈線性增大，后期呈加速增大。因此，也可用以下線性函數(shù)對這條包絡(luò)線進行擬合：

FOSφ=0.145d+0.256

(7)

2.3 存在唯一最小安全系數(shù)的原因分析

根據(jù)式(4a)，可再得到FOSc和FOSφ之和的FOSc+φ的數(shù)值。再根據(jù)式(6)和式(7)，可得到在地下水作用下，局部最小FOSc+φ的包絡(luò)線為：

(8)

表 2具體給出了圖 5到圖 7所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc+φ和FOSc×φ隨深度d變化的數(shù)值與比值。FOSc/FOSc×φ(FOSc與FOSc×φ的比值)隨d增加而單調(diào)減小，由d=0.6m的86.87%，降低到d=7.07m 的39.92%。相反地，F(xiàn)OSφ/FOSc×φ(比值)隨深度d增加而單調(diào)增大，由d=0.6m的13.06%，升高到d=7.07m的61.70%。表 2也揭示了，F(xiàn)OSc+φ值與FOSc×φ值幾乎相等。FOSc+φ/FOSc×φ的平均比值為102.65%，最大比值為106.40%，最小比值為 99.08%。在擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面上，F(xiàn)OSc+φ/FOSc×φ等于100.92%。這些定量計算結(jié)果，揭示了含地下水作用的斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因。這個原因與第1.3節(jié)中給出的原因一致。

表 2 在圖5、圖6和圖7所示的4類安全系數(shù)FOSc， FOSφ， FOSc×φ 和 FOSc+φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d變化的數(shù)值與比值(M-P法)Table 2 Values and ratios of FOSc， FOSφ， FOSc×φ and FOSc+φ in Fig. 5，F(xiàn)ig. 6 and Fig. 7 vs slip depth d(M-P method)

3 考慮不同經(jīng)典條分法影響的進一步論證與原因分析

3.1 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證

第1和第2節(jié)的論證與原因分析均是基于M-P條分法計算得到的圖 1斜坡多個潛在滑移面的安全系數(shù)值進行的。本節(jié)再采用其他4種基于經(jīng)典條分法進行相同的論證與原因分析。它們是瑞典條分法、Janbu法、Bishop法和Spencer法。本節(jié)采用這4種經(jīng)典條分法，對圖 1無水均質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證與原因分析，完全依照第1節(jié)的數(shù)據(jù)作圖方法進行。僅計算分析了圖 1中編號為①～號的13個潛在滑移面情況。

論證計算結(jié)果如圖 8所示。從圖 8可見，瑞典條分法、Janbu法、Bishop法和Spencer法計算給出的斜坡安全系數(shù)FOSc×φ隨潛在滑移面深度d的變化與特征，同M-P法計算給出的結(jié)果相當一致。它們的每個深度d的局部最小安全系數(shù)值均存在一條包絡(luò)線(總體最小FOSc×φ曲線)。每條曲線也呈不對稱拋物線型曲線分布，隨d的增加先單調(diào)減小，到達總體最小值后，再單調(diào)上升?？傮w最小值點位于d=2.07m。瑞典條分法、Janbu法、Bishop法和Spencer法計算得到的總體最小FOSc×φ值分別為1.757、1.773、1.699和1.718。

圖 8 典型均質(zhì)圖 1斜坡經(jīng)5個經(jīng)典極限平衡法計算的安全系數(shù) FOSc×φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 8 Variations and features of FOSc×φ values from five conventional limit equilibrium methods vs slip depth d for the slope in Fig. 1(without groundwater)

表 3 5個經(jīng)典極限平衡法計算的圖1所示斜坡的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ 和 FOSc+φ 全局最小曲線的擬合系數(shù)Table 3 Fitting coefficients of four global minimum curves of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ， and FOSc+φ from five conventional limit equilibrium methods for the slope in Fig. 1

用式(1a)的反比例函數(shù)和線性函數(shù)的迭加公式來擬合每條包絡(luò)線，獲得了表 3的擬合系數(shù)A，B，λslice數(shù)值。瑞典條分法、Janbu法、Bishop法和Spencer法的局部最小FOSc×φ值包絡(luò)線給出的總體最小FOSc×φ值和深度d分別為：FOSc×φ=1.739，d=2.36m； FOSc×φ=1.788，d=2.10m； FOSc×φ=1.2596，d=2.02m； FOSc×φ=1.637，d=2.07m。因此，第1節(jié)的論證結(jié)果也適用于這4種經(jīng)典極限平衡方法。該幅斜坡存在唯一最小安全系數(shù)值是與不同條分法本身無關(guān)。不同的條分法可能給出具體不同的最小安全系數(shù)值和不同的潛在滑移面位置，這些結(jié)果與Wan et al. (2003， 2004)給出的結(jié)果一致。

3.2 土體黏聚力和內(nèi)摩擦角在不同條分法中對斜坡安全系數(shù)的作用規(guī)律

圖 9 典型均質(zhì)圖1斜坡經(jīng)5個經(jīng)典極限平衡法計算的、在φ=0°條件下的安全系數(shù) FOSc隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 9 Variations and features of FOSc values from five conven-tional limit equilibrium method vs slip depth d for the slope in Fig. 1 at φ=0° condition(without groundwater)

圖 10 典型均質(zhì)圖1斜坡經(jīng)5個經(jīng)典極限平衡法計算的、在c=0kPa條件下的安全系數(shù) FOSφ隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d的變化與特征(不考慮地下水)Fig. 10 Variations and features of FOSφ values from five conven-tional limit equilibrium method vs slip depth d for the slope in Fig. 1 at c=0 kPa condition(without groundwater)

圖 9、圖 10不同經(jīng)典條分法中土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)隨潛在滑移面的深度變化有相反的規(guī)律。圖 9揭示了，這5個經(jīng)典極限平衡法計算獲得的圖 1斜坡在φ=0°條件下的安全系數(shù)FOSc值隨潛在滑移面深度d的變化與特征。它們的每個深度d所擁有的局部最小FOSc值隨深度d的增大，呈單調(diào)下降。初期下降速度極快，后期緩慢減小，直到平穩(wěn)不變。因此，每條都可用式(2a)的反比例函數(shù)對這條包絡(luò)線進行擬合，擬合系數(shù)a和λc數(shù)值如表 3所示。

圖 10揭示了，這5個經(jīng)典極限平衡法計算獲得的圖 1斜坡在c=0kPa條件下的安全系數(shù)FOSφ值隨潛在滑移面深度d的變化與特征。每個潛在滑移面深度d所擁有的局部最小FOSφ值隨著d的增大，呈單調(diào)線性增加。因此，每條包絡(luò)線也可用式(3a)的線性函數(shù)對這條包絡(luò)線進行擬合，擬合系數(shù)b和λφ數(shù)值如表 3所示。

表 4 在圖 8、圖 9和圖 10所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和FOSc+φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度d變化的數(shù)值與比值(瑞典條分法)Table 4 Values and ratios of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ and FOSc+φ in Fig. 8，F(xiàn)ig. 9 and Fig. 10 vs slip depth d(Ordinary method)

表 5 在圖 8、圖 9和圖 10所示的4類安全系數(shù) FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和FOSc+φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度d變化的數(shù)值與比值(Janbu法)Table 5 Values and ratios of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ and FOSc+φ in Fig. 8，F(xiàn)ig. 9 and Fig. 10 vs slip depth d(Janbu method)

表 6 在圖8、圖9和圖10所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和FOSc+φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度d變化的數(shù)值與比值(Bishop法)Table 6 Values and ratios of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φand FOSc+φ in Fig. 8，F(xiàn)ig. 9 and Fig. 10 vs slip depth d(Bishop method)

表 7 在圖8、圖9和圖10所示的4類安全系數(shù) FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和 FOSc+φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 變化的數(shù)值與比值(Spencer法)Table 7 Values and ratios of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ and FOSc+φ in Fig. 8，F(xiàn)ig. 9 and Fig. 10 vs slip depth d(Spencer method)

3.3 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因分析

表 4至表 7分別給出了圖 8到圖 10由4種條分計算方法獲得的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc+φ和FOSc×φ隨深度d變化的數(shù)值與比值。FOSc/FOSc×φ(比值)隨著d的增加而單調(diào)減小。FOSc+φ/FOSc×φ(比值)隨著d的增加而單調(diào)增大。另一方面，瑞典條分法、Bishop法、Janbu法和Spencer法給出的FOSc+φ/FOSc×φ的比值，分別在99.50%到100.06%之間、96.3%到100.64%之間、97.90%到110.65%之間、96.77%到104.80%之間。

因此，第1.3節(jié)獲得和揭示的土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ分別和共同對圖 1斜坡的安全系數(shù)作用和貢獻規(guī)律，與不同的經(jīng)典條分法無關(guān)。斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因在于土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ對安全系數(shù)的貢獻大小隨深度呈相反的減小和增大變化規(guī)律。

4 考慮斜坡分層不均質(zhì)影響的進一步論證與原因分析

4.1 斜坡模型

在1985年12月4日，廣西省天生橋二級電站右岸的一座山坡加人工填土的庫岸斜坡發(fā)生了滑坡災(zāi)害事件。陳祖煜和邵長明利用他們在1988年提出的基于M-P條分法的最優(yōu)化斜坡最小安全系數(shù)搜索方法，計算和分析了這座斜坡的最小安全系數(shù)問題(Chen et al.，1988)。如圖 11所示，斜坡坡面由12段直線組成，從坡腳到坡頂3個代表性坡角分別為43.2°， 39.2°， 37.2°。坡腳到坡頂?shù)母叨葹?3.76m。它是由6層土體組成的分層不均質(zhì)斜坡。第1層為新黏土和坡積物雜填土，第2層為老砂土、黏土和坡積物雜填土，第3層為第四紀含黏土碎石，第4層為第四紀粉細砂坡積土，第5層為第四紀淤泥黏土，第6層為第四紀砂礫坡積物。它們的抗剪強度和單位重量值在圖 11中給出。底部基巖為中第三紀頁巖和砂巖組成，黏聚力c=39.2kPa，內(nèi)摩擦角φ=45.0°，比重2.4。實際滑坡面從被頂部新填土所埋的塊石擋土墻外面開始，沿著深部近似橢球曲面一直滑到坡底。Chen et al.(1988)給出的最小安全系數(shù)值為0.8631，對應(yīng)的潛在滑移面在實際滑移面上部較淺處的7條相連直線段，實際滑移面所擁有的安全系數(shù)值為0.917。

圖 11 實際庫岸斜坡模型(據(jù) Chen et al.(1988)改)及不同深度局部潛在滑移面Fig. 11 Model of actual bank slope(modified after Chen et al.(1988) and its local potential slip surfaces at depths d

圖 12 實際庫岸圖 11斜坡不同深度全局潛在滑移面Fig. 12 Global potential slip surfaces at depths d of the slope in Fig. 11

4.2 斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的論證

本節(jié)論證采用第1節(jié)的數(shù)據(jù)作圖方法，計算和分析圖 11和圖 12中的76條穿過不同土層、不同深度的潛在滑移面的安全系數(shù)。其中圖 11中的17條局部滑移面位于斜坡上部5層土體。圖 12中的65條整體滑移面穿過所有6層土體。根據(jù)計算結(jié)果，分析這些潛在滑移面所擁有的安全系數(shù)值隨深度的變化規(guī)律，以論證斜坡存在唯一最小安全系數(shù)和其存在的原因。

圖 13 實際庫岸圖 11斜坡的安全系數(shù) FOSc×φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征Fig. 13 Variations and features of FOSc×φ values with slip depth d for the slope model in Fig. 11

表 8 在圖 13、圖 14和圖 15所示的4類安全系數(shù)FOSc， FOSφ，F(xiàn)OSc×φ和 FOSc+φ隨對應(yīng)潛在滑移面深度d的變化數(shù)值與比值(圖11局部潛在滑移面)Table 8 Values and rations of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ and FOSc+φ in Fig. 13，F(xiàn)ig. 14 and Fig. 15 vs slip depth d (Local potential slip surfaces in Fig. 11)

表 9 在圖 13、圖 14和圖 15所示的4類安全系數(shù)FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ和 FOSc+φ 隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d的變化數(shù)值與比值(圖 12全局潛在滑移面)Table 9 Values and rations of FOSc，F(xiàn)OSφ，F(xiàn)OSc×φ and FOSc+φ in Fig. 13，F(xiàn)ig. 14 and Fig. 15 vs slip depth d(Global potential slip surfaces in Fig. 12)

論證計算結(jié)果如圖 13、表 8和表 9所示。圖 13給出了深度d在0m到13m之間的局部和總體潛在滑移面所擁有的、隨深度d變化的FOSc×φ值。在深度d從6.34m到9.49m的深度區(qū)間，加密了潛在滑移面。圖 13中空心倒三角點所代表圖 11中局部潛在滑移面FOSc×φ值，十字散點所代表圖 12中整體滑移面FOSc×φ值?？梢姡斏疃认嗤瑫r，十字散點位于空心倒三角點下方，局部潛在滑移面FOSc×φ值比整體潛在滑移面FOSc×φ值大。因此，這座斜坡發(fā)生整體滑坡的可能性大于發(fā)生局部和淺層滑坡的可能性。

圖 13中空心倒三角點和十字散點的分布特征揭示了，每個潛在滑移面深度d所擁有的局部最小FOSc×φ值存在一條包絡(luò)線。它在d從0m增大到8.69m區(qū)間是單調(diào)減小。當d從8.69m增大到13m區(qū)間，這條包絡(luò)線再單調(diào)增大。因此，這個計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)和證實了該斜坡存在唯一最小FOSc×φ值(=0.786)，對應(yīng)的臨界潛在滑移面如圖 11和圖 12中紅色滑移線所示。

這條臨界潛在滑移面位于Chen et al. (1988)給出的那條臨界滑移面(d=10.17m)上方。本文計算的Chen et al. (1988)給出的那條臨界滑移面(圖 11中綠色滑移面)所擁有的安全系數(shù)值為0.837，比Chen et al. (1988)的最小值0.8631小3.0%。該斜坡實際滑坡發(fā)生的滑移面如圖 11和圖 12中藍色滑移線所示，其深度d=11.40m，本文計算的該實際滑移面安全系數(shù)值為0.875，比Chen et al. (1988)的0.917小4.6%。這些計算差別應(yīng)該是M-P條分法不同條間力函數(shù)假設(shè)和不同垂直細長土條劃分所導(dǎo)致的。

根據(jù)圖 13中FOSc×φ和d的局部最小值包絡(luò)線的不對稱拋物線型變化規(guī)律，也可用式(1a)的反比例函數(shù)和線性函數(shù)的迭加公式來擬合：

(9)

4.3 土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對不均勻斜坡安全系數(shù)的作用規(guī)律

圖 14揭示了局部和整體潛在滑移面所擁有的FOSc值隨深度d的變化與特征。圖 14空心倒三角點和十字散點揭示了，局部潛在滑移面所擁有的FOSφ值與整體潛在滑移面所擁有的FOSφ值相差不大。隨著d從0m增大到13m，每個潛在滑移面深度d的局部最小FOSc值從2.241單調(diào)地降低到0.352。初期降低速度快，后來變緩慢。因此，可用式(2a)擬合這條包絡(luò)線：

(10)

圖 14 實際庫岸圖 11斜坡在φ=0°條件下的安全系數(shù) FOSc隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征Fig. 14 Variations and features of FOSc values with slip depth d for the slope in Fig. 11 at φ=0° condition

圖 15揭示了局部和整體潛在滑移面所擁有的FOSφ值隨深度d的變化與特征。圖 15空心倒三角點和十字散點揭示了，局部潛在滑移面所擁有的FOSφ值比整體潛在滑移面所擁有的FOSφ值大很多。隨著d從0m增大到13m，每個潛在滑移面深度d的局部最小FOSφ從0.444幾乎線性地增大到0.581。因此，也可采用式(3a)對FOSφ～d包絡(luò)點進行擬合，得到這條FOSφ包絡(luò)線：

FOSφ=0.0395d+0.079

(11)

圖 15 實際庫岸圖 11斜坡在c=0 kPa條件下的安全系數(shù)FOSφ隨對應(yīng)潛在滑移面深度 d 的變化與特征Fig. 15 Variations and features of FOSφ values with slip depth d for the slope in Fig. 11 at c=0 kPa condition

4.4 存在唯一最小安全系數(shù)的原因分析

式(10)和式(11)之和給出了FOSc+φ的包絡(luò)線方程：

(12)

由式(9)和式(12)可知，F(xiàn)OSc×φ和FOSc+φ的兩條包絡(luò)線，隨著潛在滑移面深度d的變化規(guī)律一致。

表 8和表 9分別進一步給出了局部和整體潛在滑移面所用的4類安全系數(shù)值和它們的比值隨d的變化。表 9揭示了，F(xiàn)OSc/FOSc×φ(比值)，隨著d增加而不斷減小，由d=0.8m 的89.43%，降低至d=12.63m 的39.15%。FOSφ/FOSc×φ(比值)，隨著d增加而不斷增大，由d=0.8m的10.18%，升高至d=12.63m 的64.63%。同時，F(xiàn)OSc+φ/FOSc×φ的平均比值為100.24%，最大比值為103.78%，最小比值為 98.80%，最小安全系數(shù)滑移面的FOSc+φ/FOSc×φ比值為100.25%。同一潛在滑移面的FOSc+φ數(shù)值約等于FOSc×φ。因此，F(xiàn)OSc+φ與FOSc×φ的比值相當或相等。這些定量計算結(jié)果，揭示了含多層不均質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)的原因是與第1.3節(jié)中給出的原因一致。

5 進一步的論證、分析與討論

5.1 基于安全系數(shù)基本定義的論證與原因

基于土體莫爾-庫侖抗剪強度準則和太沙基孔隙水有效應(yīng)力原理，斜坡安全系數(shù)定義如下(陳祖煜， 2003)：

(13)

式中：c′ 為土體有效黏聚力；φ′ 為土體有效內(nèi)摩擦角；σ′n、τn和u分別為潛在滑移面上的總正應(yīng)力、剪切應(yīng)力和孔隙水壓強。

如果再定義，僅由土體黏聚力貢獻和僅由內(nèi)摩擦角貢獻的斜坡安全系數(shù)分別為FOSc和FOSφ。根據(jù)式(13)，它們可表示為：

(14)

(15)

因此，上述4類安全系數(shù)有以下關(guān)系：

FOSc+φ=FOSc+FOSφ

(16)

在定義式(13)～式(16)中，相對于一座給定的斜坡，c′ 和φ′ 值是常數(shù)，σ′n、τn、u和(σ′n-u)/τn一般均隨潛在滑移面深度d的增大而增大。因此，可以有以下變化規(guī)律與特征。1)FOSc隨d增大而單調(diào)減小； 2)FOSφ隨d增大而單調(diào)增大； 3)FOSc×φ隨d增大先單調(diào)減小、再單調(diào)增大； 4)FOSc一般不隨u變化； 5)FOSφ隨u增大而單調(diào)減小； 6)FOSc×φ隨u增大而單調(diào)減??； 7)FOSc×φ=或≈FOSc+φ。這些變化特征和規(guī)律是與第1到第4節(jié)所論證的特征和規(guī)律相一致，它們共同使得斜坡安全系數(shù)存在唯一最小值。

5.2 唯一最小安全系數(shù)滑移面的不唯一性：最小安全系數(shù)的潛在滑移面區(qū)間

上述數(shù)據(jù)作圖法也揭示了，最小安全系數(shù)對應(yīng)的潛在滑移面附近還存在大量的潛在滑移面，它們的安全系數(shù)值僅略高于最小值。將深度d的局部最小安全系數(shù)與總體最小安全系數(shù)相差在5%內(nèi)的深度區(qū)間定義為最小安全系數(shù)滑移面區(qū)間。由圖 2可知，圖 1的典型均質(zhì)斜坡最小安全系數(shù)為1.673，對應(yīng)潛在滑移面深度d為2.19m。但是，在深度d位于2.00m到2.95m之間條件下，每個深度d所對應(yīng)的大量潛在滑移面的局部最小安全系數(shù)值在1.673～1.756之間，與總體最小安全系數(shù)相差在0～4.96%之間。因此，在臨界潛在滑移面深度d附近的2.00m到2.95m之間，存在一系列潛在滑移面，它們的安全系數(shù)值近乎等于或略大于這個所謂的最小安全系數(shù)值。

圖 5揭示了，圖 1的典型均質(zhì)斜坡在地下水作用下的最小安全系數(shù)值為1.510，對應(yīng)的臨界潛在滑移面深度為2.69m。但是，在深度d位于2.40m到2.95m之間條件下，每個深度d所對應(yīng)的大量潛在滑移面的局部最小安全系數(shù)值在1.510～1.580之間，與總體最小安全系數(shù)相差在0～4.64%之間。因此，在臨界潛在滑移面深度d附近的2.40m到2.95m之間時，存在一系列潛在滑移面，它們的安全系數(shù)值近乎等于或略大于這個所謂的最小安全系數(shù)值。

圖 13進一步揭示了，圖 11的分層不均質(zhì)斜坡最小安全系數(shù)為0.786，對應(yīng)滑移面深度為8.69m。但是，在深度d位于7.13m到9.49m之間條件下，每個深度d所對應(yīng)的大量潛在滑移面的局部最小安全系數(shù)值在0.786～0.823之間，與總體最小安全系數(shù)相差在0～2.80%之間。因此，在臨界潛在滑移面深度d附近的7.13m到11.40m之間，存在一系列潛在滑移面，它們的安全系數(shù)值近乎等于或略大于這個所謂的最小安全系數(shù)值。

本文數(shù)據(jù)作圖法的結(jié)果揭示和論證了，一般斜坡存在唯一最小安全系數(shù)FOSc×φ值和對應(yīng)的一條臨界潛在滑移面。但是，在這條臨界潛在滑移面附近存在大量其他潛在滑移面，它們各自的安全系數(shù)FOSc×φ值幾乎等于或略高于這個最小安全系數(shù)值。特別地，不少擁有略大于這個最小安全系數(shù)值的潛在滑移面位于更深處，擁有更多可下滑的土體體積和重量，更具下滑破壞能力。因此，最深處擁有略大于這個最小安全系數(shù)值的潛在滑移面，從安全角度考慮，應(yīng)該最為重要。這個結(jié)果也就揭示和解釋了，圖 11所示的實際滑坡面位置(d=11.40m)深度大于Chen et al. (1988)和本文給出的兩條臨界滑移面位置(d=10.18m和d=8.69m)。本文統(tǒng)一計算的這3條潛在滑移面所擁有的安全系數(shù)值分別為0.875、0.837和0.786。潛在滑移面深度越大，滑移面上方土體體積越大，成為實際滑坡面的可能性和危害性也更大。

因此，所謂的唯一最小安全系數(shù)和其所對應(yīng)的臨界潛在滑移面的概念應(yīng)該主要是數(shù)學(xué)計算上的概念。這可能導(dǎo)致了，人們建立的多種最小安全系數(shù)值搜索算法的結(jié)果總是存在一些差異。最為重要的是，這些算法得到的最小安全系數(shù)值可能僅有微小的差異，但是，它們搜索到的臨界潛在滑移面深度位置可能相差較大。本文從圖 2、圖 5和圖 13給出的局部最小安全系數(shù)值包絡(luò)線方法，揭示和給出了這些與最小安全系數(shù)值幾乎相等的大量潛在滑移面位置區(qū)間，這個結(jié)果可以更好地確定和選擇最具實際危險的潛在滑移面，進行斜坡穩(wěn)定安全性評價和滑坡防治設(shè)計。例如，Wan et al. (2003，2004)年發(fā)現(xiàn)和揭示了，在土釘加固潛在不穩(wěn)定斜坡的設(shè)計計算中，需要設(shè)防的潛在滑移面比擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面更深，需要從土釘獲得更大抗滑阻力，以達到同樣的安全系數(shù)設(shè)計標準值(1.4)。

5.3 土體黏聚力和內(nèi)摩擦角隨時間和含水量的變化與作用

應(yīng)該指出，以上論證與認識是，基于太沙基土體孔隙水有效應(yīng)力原理，假設(shè)土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ值(或有效黏聚力c′和有效內(nèi)摩擦角φ′值)是常數(shù)的條件下獲得的。根據(jù)岳中琦等(2013)和岳中琦(2015)的研究結(jié)果，土體黏聚力(c或c′)和內(nèi)摩擦角(φ或φ′)值在時間上不是常數(shù)，它們隨土體孔隙含水量的增大而逐漸、快速減小。它們隨時間和含水量增大而減小使得斜坡抗下滑能力大大降低，是發(fā)生滑坡的最根本原因之一。本文結(jié)果進一步揭示了，在土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ值下降到某種臨界值時，原來穩(wěn)定的斜坡要發(fā)生滑坡的規(guī)律。這個規(guī)律就是，一座斜坡在理論上存在唯一的最小安全系數(shù)和對應(yīng)的臨界潛在滑移面。同時，在這個理論臨界滑移面附近存在大量其他潛在滑移面，它們擁有的安全系數(shù)值僅僅略大于這個最小安全系數(shù)值。因此，真正發(fā)生滑坡的潛在滑移面可能比這個理論臨界潛在滑移面位于較深的位置。

5.4 斜坡土體內(nèi)結(jié)構(gòu)面的控制作用

本文上述論證和分析是基于斜坡不存在黏聚力或內(nèi)摩擦角極小的控制性軟弱或光滑結(jié)構(gòu)面。如果土體中存在控制性結(jié)構(gòu)面，那么，該斜坡的擁有最小安全系數(shù)的臨界滑移面可能沿著這條控制性結(jié)構(gòu)面發(fā)展。這個控制性結(jié)構(gòu)面可能是斷層面和地層界面(王思敬， 1997；Yue et al.， 2002)。

特別地，圖 11所示的庫岸斜坡，它的頂部滑坡面是沿著填土和擋土墻之間的接觸面，下部滑移面是沿著第四紀坡積土石體與基巖的接觸面。因此，這個滑坡可能是由這兩個結(jié)構(gòu)接觸面控制的。特別地，如果最頂部新填土與墻面接觸面的黏聚力和內(nèi)摩擦角值小于這層新填土的黏聚力和內(nèi)摩擦角值，那么，這個土-墻接觸面就能成為一條軟弱或光滑控制性結(jié)構(gòu)面。它會導(dǎo)致沿土墻接觸面發(fā)展的潛在滑移面的安全系數(shù)值降低。這會使得從這個算例的實際滑坡面的安全系數(shù)值0.875降低到相當于上述臨界滑移面擁有的最小安全系數(shù)值0.786。因此，由結(jié)構(gòu)面控制的斜坡會有另外一類滑坡模式。這需要進一步、具體地研究這種條件對本文所論證和揭示規(guī)律的影響。

6 結(jié) 論

本文提出了為什么一般土質(zhì)斜坡存在唯一最小安全系數(shù)和唯一最小安全系數(shù)存在的原因是什么的問題。為解決這兩個基本問題，本文定義了每一潛在滑移面所擁有的4類安全系數(shù)FOSc×φ、FOSc、FOSφ和FOSc+φ。采用經(jīng)典極限平衡原理的有限條分算法，計算了斜坡大量不同深度d潛在滑移面的安全系數(shù)，并用數(shù)據(jù)作圖法進行論證和分析，研究了黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)的分開和共同作用隨潛在滑移面深度d變化的規(guī)律。FOSc×φ、FOSc、FOSφ和FOSc+φ隨潛在滑移面深度d變化有以下4條特征和規(guī)律。

(1)FOSc×φ由土體黏聚力和內(nèi)摩擦角貢獻的安全系數(shù)。計算結(jié)果揭示了，它在每個潛在滑移面深度d的局部最小值隨d的增加先單調(diào)減小，到達一段最小值區(qū)間后，再單調(diào)增大，呈不對稱拋物線型變化，局部最小值包絡(luò)線可用反比例函數(shù)和線性函數(shù)的迭加公式擬合。因此，它必然存在一個總體最小值，而一般土體斜坡總是在有限深度存在一條擁有唯一最小安全系數(shù)的潛在滑移面。

(2)FOSc僅由土體黏聚力貢獻的安全系數(shù)。計算結(jié)果揭示了，它在每個潛在滑移面深度d的局部最小值隨d的增加先快速、再緩慢單調(diào)減小，局部最小值包絡(luò)線可用反比例函數(shù)公式擬合。從而，內(nèi)摩擦角等于0的純黏土斜坡總是在深處存在多條擁有唯一最小安全系數(shù)的潛在滑移面。

(3)FOSφ僅由土體內(nèi)摩擦角貢獻的另外一部分安全系數(shù)。計算結(jié)果揭示了，它在每個潛在滑移面深度d的局部最小值隨d的增加線性減小，局部最小值包絡(luò)線可用線性函數(shù)公式擬合。從而，黏聚力等于0的純砂土斜坡總是以坡表面做為唯一最小安全系數(shù)的潛在滑移面。

(4)FOSc+φ等于FOSc+FOSφ。計算結(jié)果揭示了，F(xiàn)OSc+φ數(shù)值幾乎等同于FOSc×φ數(shù)值，也有相同的隨d的變化特征與規(guī)律。因此，更進一步揭示了，經(jīng)典有限條分計算方法在土體黏聚力和內(nèi)摩擦角對斜坡安全系數(shù)FOSc×φ的耦合作用和貢獻極其有限。

上述4條特征和規(guī)律論證了土質(zhì)斜坡安全系數(shù)存在唯一最小值，揭示了土體內(nèi)摩擦角和黏聚力對斜坡安全系數(shù)的作用隨深度變化的不同規(guī)律，從而給出了土質(zhì)斜坡安全系數(shù)存在唯一最小值。

基于有效應(yīng)力原理，考慮地下孔隙水壓強作用的計算結(jié)果揭示了，上述(1)到(4)條特征和規(guī)律是適用于地下孔隙水壓強作用的結(jié)果。地下孔隙水壓強可有效地降低FOSc×φ值和FOSφ值，對FOSc值的影響極其有限，同時地下水會加深擁有最小安全系數(shù)的潛在滑移面的深度?；?種經(jīng)典有限條分計算方法的結(jié)果揭示了，上述(1)到(4)條特征和規(guī)律適用于不同條分計算方法的結(jié)果?；诳紤]斜坡土體分層不均質(zhì)的計算結(jié)果揭示了，上述(1)到(4)條特征和規(guī)律適用于斜坡土體分層不均質(zhì)斜坡的結(jié)果。

本文給出的數(shù)據(jù)作圖結(jié)果也揭示了唯一最小安全系數(shù)FOSc×φ值對應(yīng)的潛在滑移面附近存在大量安全系數(shù)FOSc×φ值與最小安全系數(shù)值相差極少的其他潛在滑移面。特別地，不少擁有略大于這個最小安全系數(shù)值的潛在滑移面位于更深處，擁有更多可下滑的土體體積和重量，更具下滑破壞能力。本文給出的安全系數(shù)值包絡(luò)線方法，揭示和給出了這些與最小安全系數(shù)值幾乎相等的大量潛在滑移面位置區(qū)間，這個結(jié)果可以更好地確定和選擇最具實際危險的潛在滑移面，進行斜坡穩(wěn)定安全性評價和滑坡防治設(shè)計。

本文指出了，土體黏聚力(c或c′)和內(nèi)摩擦角(φ或φ′)值在時間上不是常數(shù)，它們隨土體孔隙含水量的增大而逐漸、快速減小。在土體黏聚力和/或內(nèi)摩擦角值下降到某種臨界值時，原來穩(wěn)定的斜坡要發(fā)生滑坡。這是原來穩(wěn)定斜坡再發(fā)生滑坡的最根本原因之一。另外，如果斜坡土體中存在控制性(黏聚力或內(nèi)摩擦角極小)軟弱或光滑結(jié)構(gòu)面，那么，需要進一步、具體地研究這種條件對本文所論證和揭示規(guī)律的影響。

致 謝岳中琦感謝2017年全國工程地質(zhì)學(xué)術(shù)年會組委會的邀請在大會上做了題目為《土體內(nèi)摩擦角和黏聚力對斜坡安全系數(shù)作用的同異規(guī)律》特邀報告、2013年第四屆全國巖土與工程學(xué)術(shù)大會組委會的邀請在大會上做了題目為《巖土工程行業(yè)發(fā)展的技術(shù)性思考》特邀報告和2013年第六屆全國地質(zhì)災(zāi)害與防治學(xué)術(shù)會組委會的邀請在大會上做了題目為《現(xiàn)今滑坡災(zāi)難防治的兩個本質(zhì)性錯誤》特邀報告?？蹬d宇感謝香港大學(xué)的博士生獎學(xué)金資助。