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    基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐初探

    2022-03-19 22:51:29徐明敏
    關(guān)鍵詞:APOS理論數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式

    徐明敏

    [摘 ?要] APOS理論是一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的建構(gòu)主義理論. 通過(guò)對(duì)APOS理論的理解和研究,筆者基于APOS理論設(shè)計(jì)了一次“直線和圓的位置關(guān)系”的概念教學(xué)實(shí)踐,分析和探討了初中學(xué)生在APOS理論四個(gè)階段體現(xiàn)的對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解情況,期待APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐中能有效地提升教學(xué)效率.

    [關(guān)鍵詞] APOS理論;教學(xué)模式;數(shù)學(xué)概念;理解情況

    前言

    APOS理論是在20世紀(jì)80年代末至90年代初由美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓塞斯(Dubinsky)等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論. APOS理論是一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的建構(gòu)主義理論,該理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)將數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的實(shí)例相結(jié)合,學(xué)生通過(guò)自身的經(jīng)驗(yàn),將兩者聯(lián)系起來(lái),讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程. APOS理論將數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程分為以下循序漸進(jìn)的四個(gè)階段:操作或活動(dòng)階段(Action)、過(guò)程階段(Process)、對(duì)象階段(Object)、模型階段(Schema). 其中,“操作或活動(dòng)階段”指學(xué)生通過(guò)一系列外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)去獲得概念的內(nèi)隱本質(zhì)的過(guò)程;“過(guò)程階段”是“操作或活動(dòng)階段”的內(nèi)化和提升,即學(xué)生通過(guò)對(duì)外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的進(jìn)一步思考,抽象出概念的本質(zhì)特征,將新概念納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu);“對(duì)象階段”是給抽象出的概念的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào),使其成為一個(gè)具體的對(duì)象;“模型階段”是學(xué)生知識(shí)積累的發(fā)揮階段,將新概念與其他概念建立聯(lián)系,形成知識(shí)的綜合模型,將這個(gè)模型納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu),與已有知識(shí)建立新的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系. 在這四個(gè)階段完成過(guò)程中,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在不斷地進(jìn)行調(diào)整,使自己不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,學(xué)生的認(rèn)知水平也會(huì)由此上升到更高層次.

    通過(guò)對(duì)APOS理論的理解和研究,筆者基于APOS理論設(shè)計(jì)了一次“直線和圓的位置關(guān)系”的概念教學(xué)實(shí)踐,分析和探討了初中學(xué)生在APOS理論四個(gè)階段體現(xiàn)的對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解情況,讓筆者深有感觸,由此以本文章展現(xiàn)出來(lái),期望對(duì)初中數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)概念教學(xué)模式有所幫助.

    基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概

    念教學(xué)模式的實(shí)踐過(guò)程

    1. 操作或活動(dòng)階段

    “操作或活動(dòng)階段”是學(xué)生通過(guò)一系列外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)去獲得概念的內(nèi)隱本質(zhì)的過(guò)程,雖說(shuō)“外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”是該階段學(xué)生獲得概念的內(nèi)隱本質(zhì)的關(guān)鍵所在,但是其中的“外顯”容易讓人誤會(huì)“探究活動(dòng)”只是具體實(shí)體的動(dòng)手表象活動(dòng),使得不少教師對(duì)課程使用的工具和時(shí)間的安排容易產(chǎn)生困惑和煩惱,這在一定程度上會(huì)讓教師本身對(duì)課程失去興趣和控制. 其實(shí),“外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”還包括一些“抽象的經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)”對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象內(nèi)隱本質(zhì)的顯現(xiàn).

    環(huán)節(jié)1 ?溫故知新.

    回顧1:點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有_____種. 如圖1所示,如果⊙O的半徑為r:①點(diǎn)P在圓_____,OP_____r;②點(diǎn)P在圓______,OP______r;③點(diǎn)P在圓______,OP______r.

    回顧2:如圖2所示,已知AB=4 cm:①以A為圓心,5 cm為半徑畫圓,點(diǎn)B在圓_____;②以A為圓心,4 cm為半徑畫圓,點(diǎn)B在圓____;③以A為圓心,3 cm為半徑畫圓,點(diǎn)B在圓____.

    設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?對(duì)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的溫故知新,是對(duì)上位概念的回味,由回味對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移,點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系對(duì)后面類比教學(xué)“直線和圓的位置關(guān)系”埋下了伏筆. 在回顧1和回顧2中,讓學(xué)生明白除了用“形”之外,還可以用“數(shù)”來(lái)判斷位置關(guān)系,這不僅滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想,而且讓學(xué)生深刻體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

    2. 過(guò)程階段

    “過(guò)程階段”是“操作或活動(dòng)階段”的內(nèi)化和提升,在課程中讓學(xué)生明白僅以“形”來(lái)判斷位置關(guān)系是模糊的,應(yīng)加以數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷更具嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性,將這樣新的研究意識(shí)納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)中. 不僅如此,在過(guò)程中通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、討論、合作等數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展,可使學(xué)生更加熟悉探究和創(chuàng)造,逐步了解探索、解決問(wèn)題的一般方法——類比、轉(zhuǎn)化等.

    環(huán)節(jié)2 ?類比、轉(zhuǎn)化.

    探究1:如果把“點(diǎn)”換成“直線”,直線和圓的位置關(guān)系有哪些?你能夠借此在紙上畫出來(lái)嗎?(學(xué)生繪畫后可以利用動(dòng)畫演示圖片)

    探究2:你畫的圖有公共點(diǎn)嗎?有幾個(gè)?

    探究3:如果⊙O的半徑為r,圓心到直線的距離為d,類比兩者的大小:①直線和圓相交?圳d____r,直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn);②直線和圓相切?圳d____r,直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn);③直線和圓相離?圳d____r,直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn).

    探究4:判斷下列直線和圓的位置關(guān)系(如圖3所示).

    設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?由于學(xué)生對(duì)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的理解和掌握,知識(shí)的正遷移可以讓學(xué)生以點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外類比到直線和圓的三種位置關(guān)系——相交、相切、相離,并與相應(yīng)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相接連;但是當(dāng)直線和圓相交太近時(shí),學(xué)生無(wú)法從“形”的角度對(duì)直線和圓相交的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷(如圖3所示),讓學(xué)生開始明白除去用“形”之外,更加嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)的是用“數(shù)”來(lái)判斷直線和圓的位置關(guān)系,這對(duì)后面用數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷位置關(guān)系做下了鋪墊.

    3. 對(duì)象階段

    “對(duì)象階段”是給抽象出的概念的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào),使其成為一個(gè)具體的對(duì)象. 在“直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中,“對(duì)象階段”主要進(jìn)行的就是,學(xué)生在了解了直線和圓的三種位置關(guān)系的定義后,從數(shù)量關(guān)系的角度去研究直線和圓的三種位置關(guān)系. 在這個(gè)階段,學(xué)生會(huì)將動(dòng)態(tài)的直線和圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)變成靜態(tài)的、整體的結(jié)構(gòu)關(guān)系——圓的半徑r(或直徑)與圓心到直線的距離d的數(shù)量關(guān)系?圳直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)?圳直線和圓的位置關(guān)系.

    環(huán)節(jié)3 ?用數(shù)量關(guān)系判斷位置關(guān)系.

    問(wèn)題1:如果現(xiàn)在已知圖3中圓的直徑是15 mm,圓心到直線的距離分別是7.49 mm,7.50 mm,7.51 mm,那么圖3中直線和圓分別是什么位置關(guān)系?它們各有幾個(gè)公共點(diǎn)?

    問(wèn)題2:已知圓的半徑為4,設(shè)圓心到直線的距離為d,如果直線和圓相交,那么d的取值范圍是_______;如果直線和圓相切,那么d的取值范圍是________;如果直線和圓相離,那么d的取值范圍是______.

    問(wèn)題3:如圖4所示,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為300 m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B,C兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在B,C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000 m的筆直公路將兩村連通.經(jīng)測(cè)量,得∠ABC=45°,∠ACB=30°,問(wèn):此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園?請(qǐng)經(jīng)過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

    設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?利用圓心和直線的數(shù)量關(guān)系(距離和半徑)來(lái)判斷直線和圓的位置關(guān)系,是學(xué)生學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的階梯,加強(qiáng)了學(xué)生“數(shù)”“形”相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)和應(yīng)用,讓學(xué)生理解判斷直線和圓的位置關(guān)系為什么要轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離和圓的半徑的大小關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn).

    4. 模型階段

    “模型階段”是學(xué)生知識(shí)積累的發(fā)揮階段,將新概念與其他概念建立聯(lián)系,形成知識(shí)的綜合模型. 可以說(shuō),模型階段是學(xué)生知識(shí)總結(jié)和拓展階段,通過(guò)持續(xù)聯(lián)系、加工和深化,會(huì)使學(xué)生對(duì)新學(xué)的數(shù)學(xué)概念的理解不斷加深,學(xué)生的思維和認(rèn)知水平也會(huì)上升到更高水平和更高層次.

    環(huán)節(jié)4 ?總結(jié)和拓展.

    總結(jié):使用數(shù)據(jù)來(lái)判斷直線和圓的三種位置關(guān)系:

    拓展1:直線l與⊙O相切于點(diǎn)A,直徑AB與直線l有怎樣的位置關(guān)系?

    拓展2:圓心到直線的距離如何計(jì)算?有哪些方法?

    拓展3:直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與二次函數(shù)有什么聯(lián)系?

    設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?通過(guò)填表的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié),回顧本節(jié)課所學(xué)的主要知識(shí),幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)的好習(xí)慣;拓展的內(nèi)容比較適合學(xué)生課后自主探索,通過(guò)探索讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系,更容易加深和完善學(xué)生對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立,這對(duì)后期的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

    思考

    從APOS理論可以看出,數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的實(shí)踐是循序漸進(jìn)的概念建構(gòu)過(guò)程,在整個(gè)過(guò)程中,每個(gè)階段都缺一不可. 相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)在整個(gè)過(guò)程中或許有些不同,但每個(gè)階段都自有成立的關(guān)鍵之處. 在“操作或活動(dòng)階段”,外顯的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)需是學(xué)生能夠親身感知、有興趣去思考的教學(xué)活動(dòng),在活動(dòng)中能體驗(yàn)出概念的內(nèi)隱本質(zhì),這是活動(dòng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵. 在“過(guò)程階段”,要讓學(xué)生從直觀轉(zhuǎn)化到抽象,再?gòu)某橄筠D(zhuǎn)化到對(duì)象,這既是過(guò)程階段的教學(xué)步驟,也是教學(xué)指向. 在“對(duì)象階段”,是師生忙碌一陣后看到結(jié)果顯示的重要時(shí)間,無(wú)論結(jié)果是大或者小,是多或者少,對(duì)每位學(xué)生來(lái)說(shuō),都應(yīng)該熟悉和體驗(yàn)到自己的收獲. 在“模型階段”,知識(shí)的綜合模型并不是此段學(xué)習(xí)內(nèi)容的終點(diǎn),它是某個(gè)層次和更高層次的樞紐,這樣的意識(shí)是師生都應(yīng)該具有的.

    APOS理論是一種教學(xué)理論,更加適合數(shù)學(xué)概念教學(xué),期望有更多教師能夠了解它、研究它,得出更多的使用它的策略.

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