分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運用論述

蔡基德

(福建省南平市第九中學(xué) 353001)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過分類討論思想的恰當(dāng)引用，既有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性的激發(fā)，也能夠促進(jìn)授課效率的顯著提升，幫助學(xué)生積累更多解題思路，應(yīng)給予足夠重視.

1 分類討論思想

簡單來講，這一思想中的分類著重強(qiáng)調(diào)的就是在數(shù)學(xué)問題解決過程中，指導(dǎo)學(xué)生圍繞不同情況來進(jìn)行分類，之后再一一討論，而討論思想則相對較為抽象，是一種思維方式，且常用在思考解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)中.該思想在解題中的巧妙運用，能夠?qū)⒃境橄?、?fù)雜的數(shù)學(xué)概念合理轉(zhuǎn)化成學(xué)生比較熟悉的，或者是比較簡單的、零散的知識細(xì)節(jié)，然后再從不同角度進(jìn)行分析、解答，從而實現(xiàn)對零散數(shù)學(xué)知識細(xì)節(jié)的全面梳理與有機(jī)整合，在此基礎(chǔ)上，再展開可靠分析.該思想在具體應(yīng)用中主要強(qiáng)調(diào)的是要從數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)著手，結(jié)合數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的異同來將其合理劃分成不同類別的數(shù)學(xué)思想.

2 分類討論思想的原則

第一，同一性.要引導(dǎo)學(xué)生在分類討論中堅持以同一種標(biāo)準(zhǔn)來對對象進(jìn)行合理分類，要正確認(rèn)識到，分類思想應(yīng)用的首要前提就是要明確研究對象，只有做到對研究對象特性的準(zhǔn)確把握，才能夠?qū)崿F(xiàn)靈活引用.且還要圍繞同一屬性來對對象進(jìn)行分類，防止同一組別中的對象產(chǎn)生屬性交集這一情況.

第二，層次性.在遇到多次分類的情況時，要實現(xiàn)對層次性這一準(zhǔn)則的準(zhǔn)確把握.結(jié)合概念差異來對研究對象進(jìn)行合理分類.且整個過程中，一定要考慮全面，絕不能因為對對象某一屬性的忽略而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯誤.

3 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 注重日常生活中分類討論思想培養(yǎng)

要想從整體上增強(qiáng)學(xué)生的分類意識，為學(xué)生分類討論習(xí)慣的培養(yǎng)帶來積極影響，除了要重視該思想在解題中的應(yīng)用，還要在實際生活中加強(qiáng)指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生在解決更多實際問題中靈活引用分類思想.同時，還需要注意的是，初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的區(qū)塊化較為顯著，所以，在實際授課時之，教師一定要做好各項準(zhǔn)備，對知識內(nèi)容作出合理分類后再進(jìn)行講解，這樣學(xué)生在聽講過程中便可以自然的形成分類思想，且通過分模塊來進(jìn)行相關(guān)知識內(nèi)容的講解，學(xué)生理解、掌握起來也更加輕松、高效.同時，學(xué)生也可以清晰把握各知識點之間的密切聯(lián)系，完善數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)架，全面激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

另外，通過在日常教學(xué)中加強(qiáng)分類思想的熏陶，學(xué)生能夠慢慢的對分類思想的意義產(chǎn)生透徹理解，也能夠正確認(rèn)識到引用分類思想來解答習(xí)題的便利性.在今后的解題中，也會積極的模仿教師來進(jìn)行分類討論，以此來為解題效率、準(zhǔn)確性的提升奠定良好基礎(chǔ)，為之后的學(xué)習(xí)、應(yīng)用提供有力支持.

3.2 引用分類討論思想解決簡單問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，絕對值、算術(shù)平方根等問題的分析過程通常都比較簡單.而在討論解決這類簡單問題時，若可以做到對分類討論思想的巧妙引用，可以幫助學(xué)生更好的把握分類對象與標(biāo)準(zhǔn).且在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，學(xué)生若可以做出對分類討論思想具體應(yīng)用方法的掌握，之后，若再遇到函數(shù)、圖像等具有一定難度，分析解答起來較為復(fù)雜的問題時，便可以將其中有價值的信息快速提煉出來，準(zhǔn)確的把握分類對象，高效解答問題.所以，為了給學(xué)生之后的學(xué)習(xí)、應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)，教師在解題教學(xué)中，應(yīng)循序漸進(jìn)的滲透分類討論思想.

比如：以“不等式與不等式組”為例，在實際教學(xué)中，就可以先帶領(lǐng)學(xué)生對|x-3|>3與|x|>3中x的取值范圍進(jìn)行分別討論.在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生只需要對|x|>3進(jìn)行簡單的分類討論便可以獲得x>3或x<-3的結(jié)果.而在討論|x-3|>3中x的取值范圍時，學(xué)生則需要通過計算來得到最終的答案x>6或x<0.而通過對比分析這兩道絕對值不等式的解題情況，便可以引導(dǎo)學(xué)生清楚的認(rèn)識到，|x|>3之所以能夠在討論中直接得出取值范圍，是因為其絕對值內(nèi)的未知數(shù)只有x這一個，所以，這里的分類對象恰巧就是x，但一般情況下，未知數(shù)x并非是決定分類對象的關(guān)鍵，一般都是由絕對值來決定的，絕對值內(nèi)的數(shù)或者是式子才是分類討論的對象.

3.3 引用分類討論思想解決幾何問題

在解決幾何問題過程中引入分類討論思想，有助于學(xué)生空間想象力的培養(yǎng).但與數(shù)和式的分類討論不同，幾何問題中的分類討論過程，一般都需要對圖形展開空間想象，所以，若學(xué)生缺少想象力，極易在分類討論中出現(xiàn)遺漏，導(dǎo)致學(xué)生雖然投入了大量精力和時間，但最終得出的答案卻不是準(zhǔn)確、完整的.對此，為了學(xué)生在之后的學(xué)習(xí)中可以準(zhǔn)確的引用這一思想高效的完成幾何問題的解答，在解題教學(xué)中，可以聯(lián)系實際，通過新穎有效的輔助方法，或者是借助與之相關(guān)的道具來更直觀、形象的展現(xiàn)出問題中涉及到的圖形.這樣有助于提升解題教學(xué)效率，對其中涉及到的圖形圖案的理解上也會更加透徹.且在此背景下，學(xué)生可以高效解決問題，在之后的習(xí)題解答中，若再遇到類似的圖形問題，學(xué)生的想象、分析也會更加具體、全面.

比如：以“勾股定理”為例，就可以圍繞“已知一直角三角形兩邊長分別為3cm與5cm，求三角形未知邊邊長”這一問題來進(jìn)行講解.在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會接觸到3∶4∶5比例的三角形，所以，在實際解答中，大多都難以做到對題目中未規(guī)定給出的5cm是否是三角形斜邊這一情況做出充分考慮，因此，未進(jìn)行分類討論，這樣最終得出的結(jié)果只有一種.基于此，為了進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)成果，可以在講授之前，先利用多媒體直觀、形象的展現(xiàn)出由這兩條線段組成的兩種直角三角形的動圖.然后，為學(xué)生提供一定的自由空間，讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)有知識經(jīng)驗對這兩個三角形的具體構(gòu)成情況做出更全面、細(xì)致的觀察討論，使得學(xué)生可以在同學(xué)之間的相互啟發(fā)中對另一種答案情況進(jìn)行想象構(gòu)建，完成對幾何圖形中多種分類討論項的全面認(rèn)識.同時，也能夠從整體上提升學(xué)生的空間想象力，幫助學(xué)生輕松、準(zhǔn)確且高效的解決這類問題.

3.4 引用分類討論思想解決函數(shù)問題

函數(shù)問題一直都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，占據(jù)的比例很大，也是考試中的難點.在以往的解題教學(xué)中，雖然也會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，但很多學(xué)生都存在考慮不周的情況.如，在引導(dǎo)學(xué)生求解函數(shù)問題“已知函數(shù)y=ax2+2x+3,a為常數(shù),若函數(shù)圖像和x軸存在一個交點時,則a的取值是多少？”過程中，其主要考察的就是分類討論思想.但在具體解答中，一些學(xué)生因為對二次函數(shù)概念的理解不夠透徹、準(zhǔn)確，所以一遇到這類問題便融入陷入到某種誤區(qū)，將該函數(shù)直接視為二次函數(shù)，但其實必須要保障二次函數(shù)的定義，必須要確保a不為0，由此可見，a是否為零便是這一題目的難點所在.教師可以將其視為例題，引入到分類討論思想的講授當(dāng)中.一方面，要確保學(xué)生能夠做到對教材中相關(guān)概念的準(zhǔn)確掌握，能夠清晰的明確一次函數(shù)、二次函數(shù)存在怎樣的區(qū)別；另一方面，要對參數(shù)所在位置做出細(xì)致觀察，若參數(shù)所處位置較為特殊，那么一定要給予著重考慮.

3.5 平面幾何歸類教學(xué)

初中是培養(yǎng)、發(fā)展空間能力的關(guān)鍵時期，而幾何知識的講解則能夠為這一能力的形成發(fā)展提供有力支持.幾何學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钌a(chǎn)中有著廣泛應(yīng)用，同時，幾何圖形也存在較為顯著的可區(qū)別性，且種類相對較少.基于這一特點數(shù)學(xué)教師應(yīng)基于充分把握，靈活引用分類教學(xué)模式來優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助大家更輕松、準(zhǔn)確且全面的掌握平面幾何的相關(guān)知識點.

在初中階段的幾何課上，除了要引導(dǎo)大家對不同的幾何圖形的特征做出深入了解之外，還要實現(xiàn)對各圖形面積計算、具體引用的準(zhǔn)確靈活掌握.為此，在具體講授中，對于幾何多相似這一特點的利用應(yīng)充分重視，通過不斷增強(qiáng)分類教學(xué)有效性為幾何解題授課品質(zhì)提供一定保障.比如：針對平行四邊形的教學(xué)，就可以在授課前進(jìn)行普通、特殊兩類四邊形的劃分.對于特殊這一類，主要涉及到長方形、正方形，還有菱形等平行四邊形.而在進(jìn)行面積習(xí)題的講解時，則可以鼓勵大家以長乘高、分割法等不同的方式來解題，或者是結(jié)合實際來進(jìn)行分類教學(xué)活動組織，讓學(xué)生在分類討論解題中對四邊形有更全面、深入的了解，從整體上提升大家對四邊形面積的解題能力.除此之外，在其他幾何課上，也可以結(jié)合實際授課需求，以類似于分類教學(xué)的方式，為大家進(jìn)行系統(tǒng)化的歸類，幫助大家快速、準(zhǔn)確的理清思路，增強(qiáng)幾何解題教學(xué)有效性.

3.6 分類討論直線型習(xí)題

對于直線型習(xí)題來講，主要是圍繞線段、三角形來展開的分類討論，尤其是對三角形高的相關(guān)問題的討論.

比如：已知一個三角形為等腰三角形，兩邊的邊長分別是3cm、6cm，請計算這個三角形的周長.很多學(xué)生在解答這一習(xí)題時都容易出現(xiàn)錯誤.在剛閱讀這一習(xí)題時，有的學(xué)生可能會覺得沒有什么難度，非?？焖俚木屯瓿闪私獯?，但之后一和答案對照卻發(fā)現(xiàn)自己的答案是錯誤的.之后再思考的時候才明白自己錯在了哪.很多學(xué)生在遇到這類習(xí)題時，習(xí)慣性的馬上解答，很少會對解題的第二種方案作出細(xì)致考慮，進(jìn)而導(dǎo)致最終沒有得出完整的答案.而之所以會出現(xiàn)片面的答案，其中一個主要原因就是因為大家未做到對分類討論思想的準(zhǔn)確、靈活掌握.因此，不論是為了學(xué)生現(xiàn)階段解題準(zhǔn)確性與效率的提升，還是為了大家未來的學(xué)習(xí)發(fā)展，都要重視起分類討論思想在日常解題教學(xué)活動中的有效滲透.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，通過分類討論思想的恰當(dāng)引入，既可以幫助學(xué)生明確分類討論對象與標(biāo)準(zhǔn)，也能夠引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來作出深入思考與探究.這樣既有助于學(xué)生空間想象力的激活，也能夠促進(jìn)學(xué)生解題效率與準(zhǔn)確性的顯著提升，為生動、高效數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)建提供有力支持.同時，學(xué)生也能夠在分類討論中逐漸養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.