初中幾何證明題復習題型設置初探

福建漳州市第三中學（363000） 張秋菊

傳統(tǒng)的初中幾何復習課中，教師大多是先讓學生回顧梳理已學知識，然后再讓學生進行習題練習。這樣的復習課不但枯燥乏味，而且學生興趣不大，教學效率也不高。對此，教師在引導學生復習知識點的同時還應引導學生找到數(shù)學本質(zhì)，總結(jié)歸納出解題的一般思路，進而逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合和概括的能力。初中幾何證明復習課中，復習題型的設置是關鍵。下面筆者結(jié)合教學實踐，介紹三類初中幾何證明題的復習題型。

一、“一題多解”題型

在初中幾何證明復習中設置“一題多解”題型，不僅能讓學生牢固掌握和運用所學知識，還能讓學生通過分析比較多種解法，找到解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

［例1］如圖1，已知AB=DC，AC=DB，試說明：∠1=∠2。

圖1

此例可在復習三角形全等時設置。從學生獨立完成到教師展示評價，多種解法應運而生，而從這些解法中，學生牢固掌握了三角形全等的判定和性質(zhì)。通過比較分析，顯然解法四是最簡單的。

［例2］如圖2，在平行四邊形ABCD中，BE=DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形。

圖2

此例可在復習平行四邊形的判定時設置。關于平行四邊形的證明通常有5 種判定方法：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④兩條對角線互相平分；⑤兩組對角分別相等。此例用了4 種判定來證明，這大大提高了復習的效率。通過解法優(yōu)化比較，發(fā)現(xiàn)解法一是最簡便的。

二、開放性題型

開放性題型可為每個學生提供更多交流與合作的機會，學生通過積極主動的思考和交流，培養(yǎng)了發(fā)散性思維，提高了數(shù)學學科核心素養(yǎng)。開放性題型在初中幾何證明中的優(yōu)勢尤為突出。

［例3］如圖3，要使△EDB≌△EAC，△AOB≌△DOC，需添加的兩個條件是____________，并說明理由。

圖3

分析：因為圖中隱含公共角和對頂角，所以不管添加的條件是先使△EDB與△EAC全等，還是先使△AOB與△DOC全等，都是添一角一邊或是兩邊。不過要注意在添兩邊時必須是夾公共角或?qū)斀堑膬蛇叀?/p>

此題一出，學生就進行了激烈的討論，通過討論發(fā)現(xiàn)此題可添的條件不下10 種。例如：①AE=DE，BE=CE；②AE=DE，∠B=∠C；③AC=BD，∠B=∠C；④AE=DE，∠EAC=∠EDB；⑤BE=CE，∠B=∠C；⑥OA=OD，OB=OC；⑦OA=OD，∠B=∠C；⑧OB=OC，∠B=∠C；⑨OB=OC，∠BAC=∠CDB；⑩AB=CD，∠B=∠C；等等。這樣，學生根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，自主去探索，去發(fā)現(xiàn)有關的數(shù)學知識，既調(diào)動了學生的學習積極性和主動性，又使學生對判定定理印象深刻，大大提高了復習效率。

三、變式題型

在初中幾何證明復習課中設置變式題型，可以引導學生多方面、多角度、多途徑地思考問題，讓學生多合作探討、多交流爭論，從而有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

［例4］如圖4，已知OA=OD，AC=BD。試說明：∠B=∠C。

圖4

分析：由已知OA=OD，AC=BD，根據(jù)等式的基本性質(zhì)得到OB=OC。因為∠AOB與∠DOC是對頂角，所以∠AOB與∠DOC相等，可得△AOB≌△DOC。再由全等三角形的對應角相等得∠B=∠C。

圖5

變式2：如圖6，BE=CE，AB=DC，請你在圖中找出所有全等三角形，并說明理由。

圖6

變式3：如圖7，EO平分∠BEC，CA⊥BE于點A，BD⊥CE于 點D。求 證：OB=OC。

圖7

此例可在專題復習判定三角形全等時設置。此例從原題到變式是由全等基本圖形通過添邊或角來變化的，學生可以直觀感知圖形之間的關系，并且對?？嫉闹攸c模型進行詳細分析，加深對全等基本模型的理解，掌握全等三角形的證明方法，培養(yǎng)幾何直觀能力、推理能力、思維能力和概括歸納能力。

［例5］如圖8，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA和OC的中點。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

圖8

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵點E，F(xiàn)分別是OA和OC的中點，

∴OE=OA，OF=OC，即OE=OF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形。

變式題：如圖9，點E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩個點，且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

圖9

解：連接BD，交AC于點O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形。

變式題與原題相比，部分條件變而需要求證的內(nèi)容沒變，通過這樣的變式可幫助學生將所學的知識舉一反三、融會貫通。

總之，在幾何證明復習課中設置上述題型，既能夠激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的學習積極性和主動性，促使學生更加扎實地掌握基礎知識，提高學生分析問題和解決問題的能力，同時又給學生創(chuàng)造了更多的展示機會，提高了初中幾何證明復習的有效性。