模型化解題研究

廣西南寧市三美學(xué)校（530021） 甘 磊

初三學(xué)生數(shù)學(xué)知識的積累已經(jīng)比較豐富，且經(jīng)過三年的解題訓(xùn)練，解題能力也有明顯提高。但是，在解答一些知識點比較多，考查綜合能力，尤其是函數(shù)與幾何結(jié)合的題目時，他們依然覺得有困難。有的教師為講解這種“大型”題目，在課堂上耗費時間。更糟糕的是，學(xué)生重復(fù)訓(xùn)練此類題目，教師也多次重復(fù)講解，教學(xué)效果卻并不盡如人意。

為了解決這一問題，筆者站在學(xué)生“學(xué)”的角度去思考，總結(jié)出解答此類題目的策略，歸納出此類題目的數(shù)學(xué)模型。這樣，學(xué)生在遇到類似的問題時，就可以遵循一定的規(guī)律去解決，從而提高解題的效率。

［例1］如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A(4,0)、B(-2,0)，與y軸交于點C(0,-4)，AC與拋物線的對稱軸相交于點D。

圖1

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出點D的坐標(biāo)；

（2）過點B作BE⊥BC交拋物線于點E，求點E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點F在射線BE上，若△ABC∽△DFB，求點F的坐標(biāo)。

解析：

（1）此問考查二次函數(shù)的解析式求法，通過聯(lián)立方程組可得拋物線的表達(dá)式為y=得D(1,-3)。因為這不是本文的重點，所以具體過程省略。

（2）此問增加的條件是兩條線的垂直關(guān)系，而題目要求點坐標(biāo)的值，從而易聯(lián)想到點坐標(biāo)的值可轉(zhuǎn)換成垂線段長度。而轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是通過三角形相似或者三角函數(shù)。過程如下：

如圖2，過點E作EH⊥x軸，垂足為H。設(shè)E（x,y），

圖2

相關(guān)解題思路和基本模型可以通過如下示意圖來體現(xiàn)。

（3）增加的條件是點的坐標(biāo)以及相似三角形，依然是求點的坐標(biāo)，同樣容易聯(lián)想到通過求點與x軸（或y軸）的垂線段長度，從而轉(zhuǎn)換成點坐標(biāo)的值。解題思路跟（2）差不多，但是比（2）難的地方是，反過來利用了點坐標(biāo)的值，轉(zhuǎn)換成垂線段長度，再用三角函數(shù)得到角度，從而確定F點的位置。過程如下：

如圖3，∵△ABC∽△DFB，

圖3

∴∠BDF=∠BAC=45°，

∴點F在拋物線的對稱軸上。

∵拋物線的對稱軸為x=1，

相關(guān)解題思路和基本模型可以通過如下示意圖來體現(xiàn)。

解題總結(jié)：

已知點的坐標(biāo)，可以通過把坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換成線段長度，從而可以運用幾何圖形的性質(zhì)，并通過三角函數(shù)或者相似三角形將線段的數(shù)量關(guān)系找出來，用解方程來求出線段的長度，從而得到點的坐標(biāo)。也就是說，解決此類問題，可以遵循以下思考步驟。

（1）確定已知了哪些點坐標(biāo)，它們可以轉(zhuǎn)換成哪些線段的長度；

（2）明確有什么樣的幾何圖形，這些圖形有什么特性；

（3）利用相似三角形或者三角函數(shù)得到“數(shù)與形”的關(guān)系；

（4）建立求解的方程；

（5）把線段長度轉(zhuǎn)換成點坐標(biāo)。

［例2］如圖4，已知拋物線y=+bx+c經(jīng)過A，B，C三個點，其中點A(9,10)，點B(0,1)，BC∥x軸，點P是直線BC下方拋物線上的動點。

圖4

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、BC分別交于點E、F，當(dāng)四邊形BECP的面積最大時，求點P的坐標(biāo)和四邊形BECP的最大面積；

（3）當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線BC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

本題的第（3）小問與本文闡述的觀點相關(guān)，所以筆者重點講解第（3）小問。解題的思路基本遵循文中闡述的解答此類題目的規(guī)律：通過點坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成線段長度，并利用三角函數(shù)找到相等的角，從而確定相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，建立方程，得到線段長度再轉(zhuǎn)換成點的坐標(biāo)。

解：（1）∵點A(9,10)，B(0,1)在拋物線上，

（2）∵BC∥x軸，B(0,1)，∴-2x+1=1，解得x1=6，x2=0（舍去），∴點C的坐標(biāo)(6,1)，∵點A(9,10)，B(0,1)，∴直線AB的解析式為y=x+1。

［例3］如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=+bx+c與x軸 交于點B(-2,0)和點A，與y軸交于點C(0,-3)，經(jīng)過點B的射線與y軸相交于點E，與拋物線的另一個交點為F，且。

圖5

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）求∠FBA的余切值；

（3）點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點P是y軸上一點，且∠BFP=∠DBA，求點P的坐標(biāo)。

解：（1）把C(0,-3)代入得c=-3，∴拋物線的解析式為y=

（2）如圖6，過點F作FM⊥x軸，垂足為M。

圖6

（3）∵拋物線的對稱軸為x=1，C(0,-3)，點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，

∴D(2,-3)，∴cot∠DBA=，∴∠FBA=∠DBA。

如圖7 所示，當(dāng)點P在BF的上方時，∠PFB=∠DBA=∠FBA，∴PF∥AB，∴yp=yF=6。

圖7

由（2）可知F(6,4k)，∴F(6,6)，點P的坐標(biāo)為(0,6)。

如圖8所示，當(dāng)點P在BF的下方時，

圖8

設(shè)FP與x軸的交點為G(h,0)，則∠PFB=∠FBA，可得到FG=BG，∴(6-h)2+62=(h+2)2，解 得。

設(shè)PF的解析式為y=kx+b，將點F和點G的坐標(biāo)代入得

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(0,6)或。

［例4］如圖9，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線y=分別與x軸、y軸交于點B、C。拋物線bx+c過點C，與x軸交點為點A、B。點D在該拋物線上，且位于直線BC的上方。

圖9

（1）求上述拋物線的表達(dá)式；

（2）連接AC、AD，且AD交BC于點E，如果△ABE的面積與△ABC的面積之比為4∶5，求∠DBA的余切值；

（3）過點D作DF⊥BC，垂足為點F，連接CD。若△CFD與△AOC相似，求點D的坐標(biāo)。

∴拋物線的解析式為y=

（2）過點E作EH⊥AB于點H，如圖10所示，

圖10

當(dāng)y=0時，-2=0，解得x1=-4（舍去），x2=1，則A(1,0)。

在Rt△AHE中，cot∠EAH=即。

（3）∠BOC=∠DFC=90°。若∠DCF=∠BCO，△DCF∽△BCO，如圖11，過點D作DG⊥y軸于點G，過點C作CQ⊥DC交x軸于點Q，∵∠DCQ=∠BOC=90°，∴∠DCF+∠BCQ=90°，即∠BCO+∠BCQ=90°，而∠BCO+∠CBO=90°，∴∠BCQ=∠CBO，∴QB=QC，

圖11

設(shè)Q(t,0)，則t+4=，解得，

整理得8k2-3k=0，解得k1=0（舍去），k2=

如圖12，若∠DCF=∠CBO，△DCF∽△CBO，則CD∥BO，∴點D的縱坐標(biāo)為2，

圖12

把y=2 代入y=--得+2=2，解得x1=-3，x2=0（舍去），∴D(-3,2)。

綜上所述，點D的坐標(biāo)為或(-3,2)。

綜上可知，題目是千變?nèi)f化的，我們在講解題目的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生去尋找數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行歸類，使學(xué)生慢慢會總結(jié)出解題的基本思路，進(jìn)而順利解決問題。