相機選用“有挑戰(zhàn)的問題”驅動新知探究

李庾南　劉東升

【摘 要】在課堂教學中要基于學情相機提出一些“有挑戰(zhàn)的問題”，把學生的思維卷入新的問題中，激發(fā)學生探索新知的興趣。初中階段反比例函數(shù)圖象和性質的教學進程中，找準學生“最近發(fā)展區(qū)”，相機改變之前研究函數(shù)圖象的“序”，讓學生先由“式”想“形”，再舉例畫圖、驗證猜想。實踐表明，這樣教學是符合九年級學生認知特點的，有利于對學生高階思維的培養(yǎng)。

【關鍵詞】反比例函數(shù);單元教學起始課;教學設計

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）03-0030-03

【作者簡介】1.李庾南，江蘇省南通市啟秀中學（江蘇南通，226600）教師，正高級教師，江蘇省特級教師;2.劉東升，江蘇省南通市教育科學研究院（江蘇南通，226600）教研員，高級教師。

“反比例函數(shù)”的單元教學起始課是很多教研活動經常選用的一個課題?；趯Α爸亟M教材”的認識，很多教師都不再“照本宣科”（只講教材上“反比例函數(shù)”的概念及相關概念，然后安排一些價值不大的練習），而是運用幾個情境問題快速引出反比例函數(shù)的概念之后，就組織學生進入對反比例函數(shù)圖象和性質的研究。那樣做固然很好，但有沒有更好的方法呢？筆者曾提出反比例函數(shù)圖象的教學不必再模仿八年級初學函數(shù)圖象時“列表、描點、連線”的機械做法，可以讓學生先舉例研究一個特殊的反比例函數(shù)（如y=[6x]），學生認真觀察反比例函數(shù)解析式的特點，由“式”想“形”，畫出圖象，驗證猜想，然后再結合幾何畫板驗證反比例系數(shù)對反比例函數(shù)圖象的影響，最后梳理、完善反比例函數(shù)的圖象和性質。[1]

最近一次教研活動中，我們基于承辦學校南通市啟秀中學的學情，對教學設計又做了一些改進。下面，筆者從本節(jié)課的教學設計及過程出發(fā)，進一步闡釋在課堂中設計“有挑戰(zhàn)的問題”的教學立意，希望可以與廣大教師進行探討。

一、反比例函數(shù)單元教學起始課教學設計

1.教學目標。

（1）認識反比例函數(shù)是描述具有反比例變化規(guī)律的數(shù)學模型;（2）自主運用研究函數(shù)的經驗和方法，探究反比例函數(shù)的圖象和性質;（3）理解反比例函數(shù)的圖象和性質。

2.教學重點與難點。

重點與難點：探究反比例函數(shù)的圖象和性質。

3.教學過程。

活動1：結合具體情境，構建反比例函數(shù)的概念。

師：請同學們分析下列問題中的兩個變量之間的關系。

問題1：距離為100 km，平均速度v與運行時間t之間的關系。

問題2：矩形面積為6，矩形長y與寬x之間的關系。

【教學組織】安排學生說出上述問題中兩個變量之間的關系：對于一個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與它對應。這說明兩個變量之間具有函數(shù)關系，函數(shù)解析式可列為y= [k/x]（k為常數(shù)，且k≠0），引出反比例函數(shù)的概念。

活動2：探究反比例函數(shù)的圖象特征和性質。

師：同學們之前已研究過正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征和性質。接下來該如何研究反比例函數(shù)的圖象和性質呢？

生：列表、描點、連線。

師：這樣做當然是可行的，但為了讓我們對反比例函數(shù)圖象的研究更加高效，可以先觀察反比例函數(shù)解析式的特點，由“數(shù)”猜想“形”，最后再來畫圖驗證。觀察反比例函數(shù)的解析式，同學們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

（學生進行自主探究與思考。）

生1：我發(fā)現(xiàn)了解析式y(tǒng)=[k/x]（k為常數(shù)，且k≠0）的自變量x和函數(shù)y的取值范圍及相互關系。其中x≠0且y≠0，k>0時，x和y同號;k<0時，x和y異號。

生2：從“以（x，y）為坐標的點”的位置可以看出，反比例函數(shù)的圖象應該不會經過原點，而且這些點不可能在坐標軸上，k>0時，點分別位于第一或第三象限。

生3：k<0時，點分別位于第二或第四象限。

生4：連接這些點所成的圖形是斷開的。

生5：反比例函數(shù)的圖象應該是關于原點對稱的。

師（追問）：你是如何想到的？

生5：我是舉例驗證的，比如y= [6/x]中，當x=1時，y=6;當x=-1時，y=-6;它們對應的點（1，6）和（-1，-6）就是關于原點對稱的。

師：同學們的發(fā)現(xiàn)太豐富了！接下來我們來實踐操作，驗證同學們的分析與猜想。在k>0時，就取學生剛剛提到的k=6，用描點法研究y= [6/x]的圖象和性質。請同學們完成下面的表格。（見表1）

【教學組織】教師在學生列表之后引導學生觀察表格中數(shù)據(jù)的特點，驗證學生的分析和猜想。之后，教師進一步引導學生分析表格中的數(shù)據(jù)，得出結論：在k>0的前提下，x<0時，y隨x的增大而減小;x>0時，y隨x的增大而減小。對應著圖象特征：在k>0的前提下，反比例函數(shù)圖象分別位于第一和第三象限內，并且在每一個象限內，圖象從左向右的趨勢是下降的，并且越來越靠近坐標軸，但不與坐標軸相交。接下來再安排學生描點、連線，得到反比例函數(shù)的圖象。（見圖1）

教師歸納反比例函數(shù)y=[6/x]的圖象和性質，板書“雙曲線”的概念。再運用幾何畫板演示k為其他正數(shù)時函數(shù)的圖象，讓學生發(fā)現(xiàn)、確認雙曲線的變與不變。最后概括、完善反比例函數(shù)y=[k/x]（k>0）的圖象和性質，并完善板書。完成以上教學內容后，教師可安排學生探究反比例函數(shù)y=- [6/x]的圖象和性質，這個過程可以根據(jù)學情快速推進，結合幾何畫板演示，幫助學生快速掌握反比例函數(shù)y=[k/x]（k<0）的圖象和性質。

活動3：課堂小結與布置作業(yè)

【教學組織】在這一環(huán)節(jié)，教師引導學生回顧本節(jié)課所學的內容，特別強調研究順序與以前學習一次函數(shù)時并不一致，總結研究函數(shù)圖象和性質的一般方法：分析函數(shù)解析式，研究自變量和函數(shù)的取值范圍，根據(jù)自變量和對應的函數(shù)值的特點，研究函數(shù)圖象的大致位置和特征，確定函數(shù)的增減性。最后完善并總結關于反比例函數(shù)的圖象和性質的“結構化板書”。（限于版面，板書及作業(yè)略）

二、對于教學立意的進一步闡釋

1.基于理解數(shù)學和理解學情，預設教學活動。

數(shù)學是一門前后聯(lián)系、邏輯連貫的學科，函數(shù)作為一個重要的數(shù)學分支，在初、高中數(shù)學教學中都是很重要的一部分。對函數(shù)的圖象和性質的學習，初中階段相對形象直觀，只要求學生能夠用“列表、描點、連線”的方法畫出“系數(shù)明確”的函數(shù)圖象，然后結合圖象說出該函數(shù)的特征和性質;而高中階段則比較抽象，函數(shù)解析式中的參數(shù)較多，這時教師需要引導學生認真觀察解析式的特點，先想象、推定函數(shù)的圖象和部分性質，最后再賦值驗證得出結論。基于上述對不同學段所學的函數(shù)的理解和承辦校學生的學習情況，教師從理解數(shù)學、理解學情出發(fā)，預設反比例函數(shù)單元教學策略，將教材中前兩個課時的內容重組為一個課時，并且在課堂上根據(jù)學情“相機”呈現(xiàn)反比例函數(shù)圖象和性質的研究“順序”。

2.設計“有挑戰(zhàn)的問題”，發(fā)展學生數(shù)學思維。

從教學實際看，在兩個情境問題的引導下，學生類比一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，能概括出反比例函數(shù)的定義及其圖象和性質。這樣“很順利的開課”卻不利于學生真正理解并掌握反比例函數(shù)，所以我們決定適當放慢教學節(jié)奏：沒有讓學生繼續(xù)類比一次函數(shù)的圖象研究順序（“列表、描點、連線”），而是提出“研究函數(shù)圖象的順序能否改變”這一問題，讓學生仔細觀察反比例函數(shù)解析式的特點，想象、猜想出反比例函數(shù)的圖象特征和部分性質后，再舉例驗證，減少了直接“列表、描點、連線”的方法的盲目性，提高了課堂教學的效率和質量。

單墫教授在《數(shù)學是思維的科學》一文中指出，“數(shù)學是思維的科學，應當在培養(yǎng)‘會思想’方面起更大的作用”[2]，并認為“不一定追求形式上的新，原有的內容也可以用新的觀點去考查，特別是應當進一步挖掘它們在培養(yǎng)思維方面的作用”。我們關于反比例函數(shù)單元教學的實踐表明：對于初中階段很多經典教學內容，如果用“新的觀點去考查”，就能發(fā)揮它們在培養(yǎng)學生思維方面的積極作用，讓學生學會思考，變得更有智慧?！緟⒖嘉墨I】

[1]李庾南，劉東升.反比例函數(shù)單元教學起始課教學研究[J].中學數(shù)學，2018（12）：3-5.

[2]單墫.單墫數(shù)學與教育文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：615-620.

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