小學(xué)低年段HPM拓展課一例

章穎

摘要：以古羅馬數(shù)字1—20為素材，挖掘其思維內(nèi)涵，在學(xué)生學(xué)完一年級的《11—20各數(shù)的認(rèn)識》單元后，上一節(jié)拓展課，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。這節(jié)課的基本環(huán)節(jié)是：認(rèn)識基本數(shù)字1、5、10;用“組合加”的方法創(chuàng)編2、3、4、6、7、8、9;用“換位減”的方法創(chuàng)編4、9;運(yùn)用規(guī)則創(chuàng)編11—20;比較感受阿拉伯?dāng)?shù)字的簡潔性。相關(guān)的教學(xué)啟示有：數(shù)學(xué)史料的選擇要有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展;問題或任務(wù)的設(shè)計要有助于學(xué)生主動投入探究;認(rèn)知沖突的創(chuàng)設(shè)要有助于學(xué)生思辨能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)思維;拓展課;古羅馬數(shù)字

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊第五單元《6—10的認(rèn)識和加減法》的兩個《你知道嗎？》欄目分別呈現(xiàn)了中國古代的算籌記數(shù)法和古埃及的象形數(shù)字記數(shù)法。前者在記數(shù)1—5時體現(xiàn)了累加的思想，在記數(shù)6—9時又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換的思想;后者在記數(shù)1—9時都體現(xiàn)了累加的思想，在記數(shù)10時體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換的思想。

考慮到這兩種記數(shù)法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想較少，學(xué)習(xí)時需要的思考較淺，而且這兩種記數(shù)法在現(xiàn)代生活中已經(jīng)不再使用，筆者想到，可以古羅馬數(shù)字1—20（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ、、、ⅩⅤ、ⅩⅤⅠ、ⅩⅤⅠⅠ、ⅩⅤⅠⅠⅠ、ⅩⅠⅩ、ⅩⅩ）為素材，挖掘其思維內(nèi)涵，上一節(jié)拓展課，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。《認(rèn)識古羅馬數(shù)字》一課可安排在學(xué)生學(xué)完一年級上冊第六單元《11—20各數(shù)的認(rèn)識》后。

一、數(shù)學(xué)史料解讀

仔細(xì)分析古羅馬數(shù)字1—20，不難發(fā)現(xiàn)不同數(shù)字創(chuàng)編的思維層次有所不同（詳見下頁表1）。其中，1、5、10是直接規(guī)定的基本數(shù)字，只需要了解，思維層次較低。從2、3兩個

數(shù)字開始，就有了探究的價值。2、3是由基本數(shù)字Ⅰ累加得到的，6、7、8是由基本數(shù)字Ⅰ和Ⅴ組合而成的，它們遵循的是“小數(shù)在后是加”的規(guī)則。到了4和9，雖然也是兩個基本數(shù)字的疊加組合，但遵循的是“小數(shù)在前是減”的規(guī)則。這兩個規(guī)則可以讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、討論、交流，最終達(dá)成共識。這就有了學(xué)生思辨的基礎(chǔ)和空間。創(chuàng)編11—20時，則需要遷移運(yùn)用之前的規(guī)則。其中，14、19的創(chuàng)編對學(xué)生來說難度尤為顯著，因?yàn)樗鼈儾粌H是三個基本數(shù)字的疊加組合，而且在“組合加”的過程中還用到了“換位減”。此外，單一數(shù)字創(chuàng)編后還要遵循統(tǒng)一性規(guī)則，使創(chuàng)編數(shù)字符合整個數(shù)系的規(guī)律。這也是需要學(xué)生思考、探究的地方。

二、教學(xué)路徑設(shè)計

基于古羅馬數(shù)字創(chuàng)編的思維層次分析，本節(jié)課設(shè)計了如下的教學(xué)路徑：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生了解古羅馬數(shù)字中分別用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ代表1、5、10。

（2）讓學(xué)生創(chuàng)編10以內(nèi)的其他數(shù)字。在創(chuàng)編過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)字的增大，僅用Ⅰ疊加的方法很不方便，由此引入可以用不同的基本數(shù)字疊加。而4和6的創(chuàng)編，又引出數(shù)字組合的基本規(guī)則。

（3）讓學(xué)生創(chuàng)編11—20。特別是在創(chuàng)編14、19的過程中，讓學(xué)生通過討論、交流進(jìn)一步優(yōu)化、補(bǔ)充數(shù)字創(chuàng)編規(guī)則。

（4）在進(jìn)一步拓展中，將古羅馬數(shù)字與阿拉伯?dāng)?shù)字對比，從而感受阿拉伯?dāng)?shù)字沿用至今的緣由——簡潔性。

三、教學(xué)過程實(shí)施

（一）情境導(dǎo)入，認(rèn)識基本數(shù)字1、5、10

師這單元我們學(xué)習(xí)了20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識。這些數(shù)字有一個統(tǒng)一的名字，叫作“阿拉伯?dāng)?shù)字”。今天，讓我們穿越回古羅馬，做一回古羅馬人，創(chuàng)編古羅馬時代的數(shù)字吧！

師（出示情境圖）這是古羅馬人的斗獸場。數(shù)一數(shù)，有幾只猛獸？

生1只。

師（板書：Ⅰ）古羅馬人用Ⅰ表示1。（出示情境圖）現(xiàn)在有幾只？

生5只。

師古羅馬人用1只手表示5只動物。（做手勢）瞧，它像哪個字母？

生V。

師（板書：Ⅴ）對，就是很像V但不是V的字母。（出示情境圖）現(xiàn)在有幾只？

生10只。

師古羅馬人用2只手來表示10，但是他們還是想用1個字母來表示，他們就將一只手旋轉(zhuǎn)了一下。（做手勢）瞧，現(xiàn)在像什么字母？

生X。

師（板書：Ⅹ）同樣地，這是一個很像X但不是X的字母。

[設(shè)計意圖：通過情境導(dǎo)入，讓學(xué)生直觀了解古羅馬人創(chuàng)造的數(shù)字與身體有密切聯(lián)系，初步感受古羅馬人的字母數(shù)字系統(tǒng)，為后續(xù)運(yùn)用少量符號并通過它們不同個數(shù)的排列來表示不同的數(shù)做好鋪墊。]

（二）合作探究，用“組合加”的方法創(chuàng)編2、3、4、6、7、8、9

師Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ這三個字母就是古羅馬數(shù)字中的基本數(shù)字，將它們組合起來能變出很多其他的數(shù)字。

（教師出示任務(wù)一，見圖1。學(xué)生合作探究。）

生Ⅰ表示1，2里面有2個1，所以可以寫成Ⅱ;3就是3個1，可以寫成Ⅲ;4就可以寫成ⅠⅠⅠⅠ。

師大家都是把Ⅰ一個一個疊加起來?？磥?，把基本數(shù)字疊加起來是創(chuàng)編數(shù)字的好方法。（出示表2）這位同學(xué)創(chuàng)編的羅馬數(shù)字，你們覺得怎么樣？

師有沒有更簡便的疊加辦法？同桌討論。

生可以把Ⅴ和Ⅰ疊加起來。Ⅴ表示5，Ⅰ表示1，5+1=6，那6就可以寫成Ⅵ。

師除了6以外，還有哪些數(shù)字也能用這樣的辦法創(chuàng)編呢？

生7—9。

師請同桌一起修改6—9。

生6是Ⅵ，就是5+1，那么，7可以寫成Ⅶ，8可以寫成Ⅷ，而9就可以寫成ⅤⅠⅠⅠⅠ。

師小朋友們真厲害，都學(xué)會了用疊加的方法創(chuàng)編數(shù)字！

[設(shè)計意圖：創(chuàng)編2、3、4時，學(xué)生會自然想到直接用數(shù)字Ⅰ疊加。當(dāng)數(shù)字超過5以后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)用“逐一計數(shù)”的方法越來越麻煩，從而產(chǎn)生“簡化”的朦朧思想。通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將6—9都改寫成“5+□”的形式，于是，用兩個不同的基本數(shù)字疊加的想法也就油然而生。這樣從繁到簡自然過渡，學(xué)生能感覺到自己的想法和古人的想法是相通的，數(shù)學(xué)思想（思維）并不神秘。]

（三）迭代優(yōu)化，用“換位減”的方法創(chuàng)編4、9

師小朋友們把1—10的羅馬數(shù)字都創(chuàng)編出來了。可是，在古羅馬人的創(chuàng)編規(guī)則里， 還有這樣一條：相同的基本數(shù)字可以連用，但不能超過3個。根據(jù)古羅馬人的規(guī)則，你們覺得哪幾個數(shù)字需要修改？

生4和9。

師先來看4，要想不連用4個Ⅰ，除了Ⅰ之外，還得用什么？

生Ⅴ。

師4=5-1，看來得用一個Ⅴ和一個Ⅰ?？墒?，6=5+1，也用了一個Ⅴ和一個Ⅰ，是Ⅵ。那么，4和6怎么區(qū)分呢？

生可以把Ⅴ和Ⅰ換個位置，變成Ⅳ。

師你們真會動腦筋！古羅馬人也是這樣，把小的數(shù)放在左邊表示減，放在右邊表示加。那么，9怎么創(chuàng)編呢？

生9就是10-1，所以把Ⅰ放在Ⅹ的左邊就可以了，就是Ⅸ。

師既然你們創(chuàng)編出了9，那么，哪個數(shù)也能很快地創(chuàng)編出來？

生11=10+1。把Ⅰ放在Ⅹ右邊就可以了，就是Ⅺ。

師比較一下前后創(chuàng)編的4和9，你能理解為什么基本數(shù)字連用不能超過3個嗎？

生連用超過3個不簡潔。

生連用超過3個數(shù)不清，容易看錯。

[設(shè)計意圖：新的創(chuàng)編規(guī)則激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突。學(xué)生觀察、討論4、6與5的關(guān)系后，發(fā)現(xiàn)只要調(diào)整Ⅰ的位置，就能區(qū)分5+1與5-1。進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，新的創(chuàng)編規(guī)則讓一些數(shù)字的寫法得到了優(yōu)化。]

（四）提煉遷移，運(yùn)用規(guī)則創(chuàng)編11-20

師剛才，我們創(chuàng)編10以內(nèi)的數(shù)時，遵守了哪些規(guī)則？

生要用基本數(shù)字：Ⅰ=1，Ⅴ=5，Ⅹ=10。

生相同的基本數(shù)字可以連用，但不能超過3個。

生小的數(shù)在左是減，在右是加。

師現(xiàn)在請你們用這些規(guī)則來繼續(xù)創(chuàng)編11-20。

（教師出示任務(wù)二，見圖2。學(xué)生合作探究。）

生我們能確定11是Ⅺ，12是Ⅻ，13是。它們都是先寫10，再分別加上1、2、3。

生我們能確定的數(shù)是15、16、17、18，它們的寫法和11、12、13相同，都是用10加上個位上的數(shù)。15是10+5，所以就是ⅩⅤ;16是10+6，而6是Ⅵ，因此就是ⅩⅤⅠ。按照這樣的規(guī)律，我們知道17是ⅩⅤⅠⅠ，18是ⅩⅤⅠⅠⅠ。

生我們還能確定20，20是兩個10相加，就是ⅩⅩ。

師那你們不太確定的就是14、19這兩個數(shù)字吧？請把你們的寫法貼到黑板上，大家一起來討論。我們先貼14這個數(shù)。

（學(xué)生貼寫法，見圖3。）

生我覺得ⅠⅤⅩ是對的，ⅠⅤⅩ可以看作ⅠⅤ和Ⅹ合起來，ⅠⅤ是4，Ⅹ是10，合起來是14。

生我覺得ⅩⅠⅤ是對的，ⅩⅠⅤ可以看作Ⅹ和ⅠⅤ合起來，也是10+4=14。

師大家覺得呢？

生好像都有道理。

師那我們再想一想之前的規(guī)則，或者把這兩個數(shù)字放到11—20的表格中仔細(xì)觀察。（稍停）現(xiàn)在，你覺得哪種寫法更合適？

生小的數(shù)在左是減，在右是加。ⅩⅠⅤ才是10+4，ⅠⅤⅩ應(yīng)該是10-4。

生我覺得ⅩⅠⅤ更合適，11是ⅩⅠ，12是ⅩⅠⅠ，13是ⅩⅠⅠⅠ，這3個數(shù)都是把Ⅹ放在前面，所以14也應(yīng)該把Ⅹ放在前面。

師非常好！你們都找到了依據(jù)，說出了道理。現(xiàn)在，你覺得19應(yīng)該怎么寫？

生11—18都是把Ⅹ放在前面，變成10加幾的樣子，所以19也要把表示10的Ⅹ放在前面，應(yīng)該是ⅩⅠⅩ。

師對，古羅馬人在創(chuàng)造數(shù)字時，就遵守了這樣的統(tǒng)一規(guī)則。你們和他們一樣， 很有智慧！

[設(shè)計意圖：創(chuàng)編11—20，既是對規(guī)則的運(yùn)用，又是對規(guī)則的進(jìn)一步理解。此時，學(xué)生會在14、19這兩個數(shù)上遇到困難，因?yàn)檫@兩個數(shù)的創(chuàng)編既要用到4、9的“換位減”方法，又要將個位和十位上的數(shù)進(jìn)行“組合加”，這對一年級的學(xué)生來說顯得尤為困難。當(dāng)學(xué)生覺得ⅠⅤⅩ和ⅩⅠⅤ都有道理，不知如何選擇時，教師引導(dǎo)學(xué)生回想之前的規(guī)則或?qū)⑦@些數(shù)字放入數(shù)系中觀察，這就從微觀的角度拓展到宏觀的角度，從而讓學(xué)生感受到既要遵循創(chuàng)編的基本規(guī)律，也要保持?jǐn)?shù)系的統(tǒng)一性。]

（五）拓展比較，感受阿拉伯?dāng)?shù)字的簡潔性

師其實(shí)，隨著數(shù)字變大，古羅馬數(shù)字還會用到好多個基本數(shù)字呢！比如，表示3888，你們猜猜要用到多少個基本數(shù)字？

生5個。

生10個。

師（課件出示3888的古羅馬數(shù)字）一起來數(shù)一數(shù)。

生??！一共要用到15個基本數(shù)字。

師你們有什么感覺？

生太麻煩了。

師那你們知道為什么現(xiàn)在我們的生活中只是偶爾用古羅馬數(shù)字，而常用阿拉伯?dāng)?shù)字了吧？

生還是阿拉伯?dāng)?shù)字方便。

師是的，阿拉伯?dāng)?shù)字采用十進(jìn)制記數(shù)法，只有10個基本數(shù)字，放在不同的數(shù)位就能表示不同的數(shù)，非常方便。

[設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)1—20的過程中，學(xué)生很難感受到古羅馬數(shù)字的劣勢，畢竟只要用到3個基本數(shù)字。但是，當(dāng)數(shù)字變大后，古羅馬數(shù)字的煩瑣性就充分顯示出來了。通過直觀呈現(xiàn)的對比，讓學(xué)生感受到阿拉伯?dāng)?shù)字的簡潔性，理解為什么阿拉伯?dāng)?shù)字會流傳至今，這也是數(shù)學(xué)史文化價值的充分體現(xiàn)。]

四、教學(xué)啟示

（一）數(shù)學(xué)史料的選擇要有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

數(shù)學(xué)史料極其豐富，每一份史料的價值也十分多元。作為一線教師，在數(shù)學(xué)史料的選擇上，不僅要關(guān)注其文化導(dǎo)向功能，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還要關(guān)注其蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思維價值，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展與數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)更好地融通起來。

本節(jié)課，筆者通過對數(shù)學(xué)史料的細(xì)致解讀與重新定位，發(fā)現(xiàn)1—20各數(shù)的創(chuàng)編規(guī)則及其難易程度不同。因此，教學(xué)中不能對每一個數(shù)字平均用力，否則，容易陷入知識的零散學(xué)習(xí)和技能的重復(fù)練習(xí)中。所以，本節(jié)課以“自主創(chuàng)編—提煉方法—運(yùn)用方法—優(yōu)化方法”為知識學(xué)習(xí)主線，并以“編—辨—辯”為思維發(fā)展主線，將數(shù)字創(chuàng)編的思維層次不斷提升，從而促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

（二）問題或任務(wù)的設(shè)計要有助于學(xué)生主動投入探究

教學(xué)中，問題或任務(wù)能驅(qū)動學(xué)習(xí)真正發(fā)生，落實(shí)學(xué)生的主體地位。教師要設(shè)計探究性的問題或任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的探究動力，驅(qū)動學(xué)生自主探究，進(jìn)而合作交流，質(zhì)疑問難，深入思考，發(fā)展思維。

本節(jié)課，筆者用“你能用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ創(chuàng)編1—10中其他的數(shù)嗎？”和“你能用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ創(chuàng)編11—20各數(shù)嗎？”這兩個探究性問題（任務(wù)）串聯(lián)、驅(qū)動。這兩個問題看似重復(fù)，其實(shí)目的不同。前者主要是讓學(xué)生通過自主探索、同伴討論、展示交流，得出數(shù)字創(chuàng)編的基本方法。后者則是讓學(xué)生遷移運(yùn)用，并從單個數(shù)字創(chuàng)編的微觀角度拓展到數(shù)系中數(shù)字規(guī)律統(tǒng)一的宏觀角度，讓學(xué)生的思維廣度得到進(jìn)一步拓展，思維深度得到進(jìn)一步提升。雖然這兩個問題的目的略有不同，但是它們的作用仍有相通之處：引發(fā)學(xué)生的高階思維。這兩個問題將可以直觀呈現(xiàn)的知識以自主創(chuàng)編的形式加以轉(zhuǎn)化，通過挑戰(zhàn)學(xué)生的原有認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生的探究動力，并讓探究的過程開放：不是隨意寫幾個數(shù)字，而是需要抽象概括、邏輯推理、猜想驗(yàn)證、比較辨析等。這一過程能讓學(xué)生的思維得到充分的發(fā)展。

（三）認(rèn)知沖突的創(chuàng)設(shè)要有助于學(xué)生思辨能力的發(fā)展

思辨能力的發(fā)展對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的，它依賴于直覺思維，更依賴于邏輯分析。認(rèn)知沖突的創(chuàng)設(shè)有助于讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察分析、嘗試解決、批判質(zhì)疑、分析論證、反思優(yōu)化”等過程，從而提升思辨能力。

本節(jié)課的第一個探究問題（任務(wù)）側(cè)重于讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察分析、嘗試解決”的過程。在創(chuàng)編4、6時，引發(fā)了第一次認(rèn)知沖突。學(xué)生通過思考，發(fā)現(xiàn)只要將Ⅰ和Ⅴ交換位置就能解決5+1和5-1的組合問題。第一次認(rèn)知沖突讓學(xué)生感受到思辨的意義，他們在對比辨析中發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)編規(guī)則不只有“加”的方法，“減”也是一種很有效的方法。

本節(jié)課的第二個探究問題（任務(wù)）更側(cè)重于利用認(rèn)知沖突讓學(xué)生經(jīng)歷“批判質(zhì)疑、分析論證、反思優(yōu)化”的過程。學(xué)生對14、19兩個數(shù)的創(chuàng)編各有想法，而且對每種創(chuàng)編都能說出道理，但學(xué)生也知道只有一種創(chuàng)編是正確的。于是在這一過程中，“質(zhì)疑”就自然而然地產(chǎn)生了。當(dāng)從微觀角度不能作出正確決斷時，宏觀的角度就成為必需。學(xué)生的思辨能力，就在比較辨析、討論爭辯的過程中得到了發(fā)展。

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