例談導(dǎo)數(shù)中與構(gòu)造函數(shù)有關(guān)的兩類(lèi)問(wèn)題

楊生華 舒巧云

(湖南省懷化市鐵路第一中學(xué))

導(dǎo)數(shù)與不等式有關(guān)的求解及證明是高考的重點(diǎn),而學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)方面的能力較弱.高考中導(dǎo)數(shù)題具有較大的難度,其中一部分原因源于學(xué)生對(duì)函數(shù)的構(gòu)造欠缺思考.在2020年的高考中,與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造在絕大多數(shù)省份數(shù)學(xué)壓軸題中均有體現(xiàn).為提高學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)方面的能力,本文通過(guò)實(shí)例,對(duì)構(gòu)造函數(shù)求解不等式問(wèn)題和構(gòu)造函數(shù)證明與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題進(jìn)行了探討.

1 構(gòu)造函數(shù)求解不等式問(wèn)題

常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)策略:

1)f′(x)－g′(x)＞0?F(x)＝f(x)－g(x).

2)xf′(x)－f(x)＞0?F(x)＝

3)f′(x)＋f(x)＞0?F(x)＝exf(x).

4)f′(x)－f(x)＞0?F(x)＝

5)(x＋1)f(x)＋xf′(x)＞0?

6)f′(x)xlnx＋f(x)＞0?F(x)＝f(x)lnx.

例1設(shè)定義域?yàn)镽 的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿(mǎn)足f′(x)＜f(x),且f(x＋2)為偶函數(shù),f(4)＝1,則不等式f(x)＜ex的解集為_(kāi)________.

所以F(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(x＋2)為偶函數(shù),所以f(－x＋2)＝f(x＋2),所以f(x)關(guān)于x＝2 對(duì)稱(chēng),所以f(0)＝f(4)＝1,故F(0)＝1.因?yàn)椋?,所以F(x)＜1,所以F(x)＜F(0),即x＞0.

綜上,f(x)＜ex的解集為(0,＋∞).

例2若定義在R 上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＋f′(x)＞1,f(0)＝4,則不等式f(x)＞＋1的解集為_(kāi)_____.

構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)－ex,則F′(x)＝ex(f′(x)＋f(x)－1)＞0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增.不等式f(x)＞＋1可化為exf(x)－ex＞3.因?yàn)閒(0)＝4,所以F(0)＝3,則原不等式可化為F(x)＞F(0),即f(x)＞＋1的解集為(0,＋∞).

例3設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(－2)＝0,當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)－f(x)＜0,則不等式f(x)＞0的解集為_(kāi)_______.

構(gòu)造函數(shù)F(x)＝,故當(dāng)x＞0時(shí),有

即F(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,而f(x)為R 上的奇函數(shù),所以F(－x)＝＝F(x),故F(x)為(－∞,0),(0,＋∞)上的偶函數(shù),所以F(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(－2)＝0,所以F(－2)＝F(2)＝0.

當(dāng)x＞0 時(shí),f(x)＞0?F(x)＞0,即F(x)＞F(2),從而x∈(0,2).

當(dāng)x＜0 時(shí),f(x)＞0?F(x)＜0,即F(x)＜F(－2),從而x∈(－∞,－2).

綜上,f(x)＞0的解集為(－∞,－2)∪(0,2).

1)例1、例3可直接根據(jù)題給條件形式構(gòu)造函數(shù).

2)例2中構(gòu)造函數(shù)需要根據(jù)條件中的給定形式以及求解不等式的關(guān)系共同構(gòu)造.

3)在求解過(guò)程中(如例1、例3),要根據(jù)具體條件,分情況討論和分析函數(shù)圖像的特點(diǎn),再求解范圍.

2 構(gòu)造函數(shù)證明與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題

構(gòu)造與對(duì)數(shù)有關(guān)的函數(shù)證明不等式源于人教A版高中數(shù)學(xué)《選修2-2》上第32 頁(yè)習(xí)題:ex＞1＋x(x≠0)及l(fā)nx＜x＜ex(x＞0),由此可以類(lèi)推得到一些重要的不等式,為構(gòu)造函數(shù)提供方向.

例4設(shè)m,n∈R*,且m＞n,求證:

該題在構(gòu)造函數(shù)時(shí)需要對(duì)所證明的不等式進(jìn)行等價(jià)變換,再證明有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性.

例5證明:

證明令F(x)＝ln(x＋1)－x,則F′(x)＝故F(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增,在[0,＋∞)上單調(diào)遞減.

又F(0)＝0,所以F(x)＜F(0)＝0(x＞0),即ln(x＋1)＜x(x＞0),令x＝,則

證明由例5 可知ln(x＋1)＜x(x＞0),即lnx＜x－1(x＞1).因?yàn)?/p>

所以當(dāng)x∈[1,＋∞)時(shí),F(x)單調(diào)遞減.而F(1)＝0,所以當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),F(x)＜0恒成立.故當(dāng)n∈N*,n≥2時(shí),有

發(fā)現(xiàn)例6中要求證明的不等式右邊是一個(gè)等差數(shù)列求和,因而在構(gòu)造函數(shù)式時(shí)需要考慮累加法.

(完)