小學高年級學生數(shù)學元認知水平常模的建立及其應用案例
——以天津市為例

王光明，陳 霞，周鵬冉

元認知是關于認知的認知，是反映或調(diào)節(jié)認知活動的任一方面的知識或者認知活動[1]，是認知活動的核心[2]。數(shù)學元認知是對自身數(shù)學認知的認知，本質(zhì)是對數(shù)學認知活動的自我認識、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)[3]，是影響數(shù)學學習的重要因素[4]。隨著國內(nèi)外對數(shù)學元認知研究的不斷深化，涌現(xiàn)了一系列頗具影響力的數(shù)學元認知測評工具[5][6][7][8]，采用相關測評工具進行的應用研究也不斷涌現(xiàn)[9][10][11]。然而，由于缺乏評價的參照系，無法在同一衡量標準下對測量結果進行比較分析，從而降低了測評工具的使用價值。

2020年10月，中共中央、國務院印發(fā)《深化新時代教育評價改革總體方案》，要求“促進學生全面發(fā)展的評價辦法更加多元”[12]。天津師范大學王光明團隊基于國內(nèi)外相關研究，針對小學高年級、初中、高中等基礎教育不同學段的數(shù)學學習者，開發(fā)了一系列數(shù)學元認知水平調(diào)查問卷[13][14][15]。其中《小學生數(shù)學元認知水平調(diào)查問卷》信效度良好，是測量小學生數(shù)學元認知水平的可信工具。但是，目前尚缺少將此量表工具應用于測評實踐的常模研究。因此，構建小學數(shù)學元認知水平常模并開展案例研究，既有助于貫徹落實新時代教育評價改革任務，又有助于全面推廣小學數(shù)學元認知水平測評問卷，為精準測評小學生數(shù)學元認知水平提供新的視角和方法。

本研究擬解決以下研究問題：（1）如何構建天津小學高年級學生數(shù)學元認知水平常模。（2）如何利用所建常模劃分小學高年級學生數(shù)學元認知水平的不同等級并歸納其具體特征。（3）如何應用所構建常模進行案例分析。

一、研究方法

（一）測評工具

以王光明等編制的《小學生數(shù)學元認知水平調(diào)查問卷》為測量工具。問卷包含數(shù)學元認知的三個主維度（數(shù)學元認知知識、數(shù)學元認知體驗、數(shù)學元認知監(jiān)控），以及十個子維度（個體知識、任務知識、策略知識、認知體驗、情感體驗、組織、調(diào)節(jié)、評價、檢驗和管理）。問卷共有33道測試題，含兩道測謊題。考慮到小學生心理發(fā)展特征，在Likert五點計分法的基礎上，將調(diào)查問卷設置為四點計分法。將選項依次設置為“符合”、“比較符合”、“比較不符合”、“不符合”，分別賦值4~1分，其中測謊題分別賦值1~4分。詳見表1。

表1.題項設置

用SPSS24.0進行信效度檢驗，總體問卷和三個主維度的Cronbach’s Alpha值介于0.664~0.923之間，Spearman-Brown分半信度在0.650~0.878之間，重測信度參考值大于0.955。問卷與實測數(shù)據(jù)效度的Pearson積差相關系數(shù)均大于0.955，表明該問卷信度良好，內(nèi)部一致性較高。此外，問卷結構合理，具有良好的結構效度。故可用作本研究的調(diào)查與測量工具。

（二）樣本選取

數(shù)學元認知在小學的低年級和中年級剛開始發(fā)展，到高年級才會發(fā)展的成熟一些[16]。因此，為保證研究結果的客觀性，將小學高年級學生作為調(diào)查對象，采用分層抽樣法，選取天津市12個區(qū)共22所小學的高年級學生（5-6年級）進行問卷調(diào)查。由于疫情原因，本次問卷全部通過線上方式發(fā)放與回收，共回收問卷1 518份。利用測謊題刪除無效問卷183份，最終確定1 335份有效問卷，問卷有效率為87.95%。數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計分析顯示樣本呈正態(tài)分布，符合研究要求。

（三）數(shù)據(jù)分析與處理

測驗的常模是指一個有代表性的樣組（即實際受測被試樣組，又稱常模團體）在某種測驗上的表現(xiàn)情況，是解釋測驗分數(shù)的參照系[17]。為了解被試的數(shù)學元認知在所屬群體中的位置，研究構建百分等級常模和標準分常模，前者可供研究者了解被試的數(shù)學元認知水平，后者可使各維度之間的測評結果具有可比性。此外，研究還進行了數(shù)學元認知及其三個主維度的水平等級劃分。

首先，采用SPSS24.0對原始數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，計算出天津市小學高年級學生數(shù)學元認知及各主維度的百分等級常模PR；其次，再依照正態(tài)分布表對數(shù)據(jù)進行正態(tài)化處理，將其轉化為標準分數(shù)Z；再者，通過公式“T=50+10×Z”進行線性轉換，確立T分數(shù)常模；最后，依據(jù)6σ原則將[-3，3]區(qū)間進行五等級水平劃分，并根據(jù)操作性定義、具體測評題目及小學高年級學生的心理發(fā)展水平和認知特征，確立天津市小學高年級學生數(shù)學元認知及各主維度的水平等級標準。

二、研究結果

（一）總體水平常模

應用常模構建方法對數(shù)據(jù)進行處理和分析，建立天津市小學高年級學生數(shù)學元認知水平常模（略），確立對應的等級評價標準（表2）。為了更精準地診斷小學高年級學生數(shù)學元認知各個維度水平上的優(yōu)勢和不足，下面將分別建立小學高年級學生數(shù)學元認知知識、體驗、監(jiān)控三個子維度的常模。

表2.天津市小學高年級學生數(shù)學元認知總體水平等級表

（二）“知識”水平常模及其等級評價標準

首先，選出問卷中測試數(shù)學元認知知識的8道題目，計算樣本在知識維度的總得分，按照上述方法，建立小學高年級學生數(shù)學元認知知識水平常模（略），并確定對應的等級評價標準（表3）。最后，分別計算五個等級水平下小學高年級學生數(shù)學元認知知識維度上個體知識、任務知識、策略知識三個子維度上的各個平均T值，并畫出柱形圖（圖1）?？梢园l(fā)現(xiàn)，在數(shù)學元認知知識維度上，天津市小學高年級學生普遍不存在“優(yōu)秀”等級。

表3.天津市小學高年級學生數(shù)學元認知知識水平等級表

圖1.知識子維度T分數(shù)柱形圖

根據(jù)元認知知識子維度T分數(shù)柱形圖（圖1），結合問卷中與知識相關的8道問題的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)不同等級小學生在數(shù)學元認知知識維度上有不同特征：優(yōu)秀等級小學生能夠理解和掌握數(shù)學學科知識，清晰地知道自己的學習狀況、學習任務和學習目標，靈活地選擇恰當?shù)膶W習策略解決數(shù)學問題。中上等級小學生能夠較好地掌握數(shù)學學科知識，對自身學習能力有較清晰的認識，知道學習任務、學習目標和要求，儲存一定的學習策略。中等小學生能夠掌握大部分數(shù)學學科知識，對任務、目標和要求的認識不夠充分，可以恰當?shù)剡\用部分學習策略。中下等級小學生能夠理解部分學科知識，對自身的學習狀況以及任務、目標和要求缺乏明確的認識，無法選擇和應用學習策略。差等小學生初步了解相應的數(shù)學知識，不能認識到自身的學習狀況，沒有找到合適的學習策略。

（三）“體驗”水平常模及其等級評價標準

使用上述相同方法，建立數(shù)學元認知“體驗”水平常模（略），確立等級評價標準（表4）。最后，計算不同等級下數(shù)學元認知體驗兩個子維度的平均值（圖2）?？梢园l(fā)現(xiàn)，在數(shù)學元認知體驗上，天津市小學高年級學生普遍也不存在“優(yōu)秀”等級。

表4.天津市小學高年級學生數(shù)學元認知體驗水平等級表

圖2.體驗子維度T分數(shù)柱形圖

根據(jù)數(shù)學元認知體驗的相關定義，結合問卷中與體驗相關題目的內(nèi)容以及小學高年級學生的認知情感特征，歸納出不同水平等級小學生在數(shù)學元認知體驗維度上的具體特征：優(yōu)秀等級小學生能夠積極地感受到豐富的數(shù)學學習內(nèi)容與學習過程，會正確地對待和改善消極的認知和情感。中上等級小學生能夠獲得愉快的認知體驗和情感體驗，具備良好的自信心。中等小學生基本能夠認知到數(shù)學學習的內(nèi)容與過程，具有部分積極的情感體驗，能夠建立數(shù)學學習的信心。中下等級小學生能夠感知到學習的難易程度，會克服一些困難，但容易產(chǎn)生焦慮，缺乏自信。差等小學生缺乏數(shù)學學習積極的認知和情感體驗。

（四）“監(jiān)控”水平常模及其等級評價標準

使用以上相同的方法，建立數(shù)學元認知監(jiān)控水平常模（略），制定對應的等級評價標準（見表5)。最后，計算不同等級下數(shù)學元認知監(jiān)控五個子維度的平均T值（見圖3）。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：在組織與管理、定向與計劃、反思與評價這三個子維度下，天津市小學生得分沒有優(yōu)秀等級，說明小學高年級學生在組織與管理、定向與計劃、反思與評價這三個方面的元認知監(jiān)控能力比較欠缺。

表5.天津市小學高年級學生數(shù)學元認知監(jiān)控水平等級表

圖3.監(jiān)控子維度T分數(shù)柱形圖

根據(jù)數(shù)學元認知監(jiān)控的相關定義，結合問卷中監(jiān)控題目的內(nèi)容以及小學高年級學生監(jiān)控能力表現(xiàn)，歸納出不同等級水平的小學生在數(shù)學元認知監(jiān)控維度上特征：優(yōu)秀等級小學生能夠制定科學的學習計劃、形成學習方法和習慣、診斷并評價學習成果、調(diào)控學習過程。中上等級小學生能夠較好地運用和調(diào)節(jié)學習策略、會主動地反思和檢驗學習成果、合理評價學習過程[18]。中等小學生能夠檢驗問題、會評價部分學習結果。中下等小學生缺乏完整的元認知監(jiān)控五因子能力，無法調(diào)節(jié)學習方法，無法反思和評價整個學習。差等小學生缺乏元認知監(jiān)控能力，難以監(jiān)控和調(diào)節(jié)自身學習過程，不會反思和客觀評價學習結果。

三、應用案例

以天津市南開區(qū)某小學六年級某普通班學生為測驗對象，從班級整體和學生個體兩個評估視角，對學生數(shù)學元認知水平進行測評診斷，并基于分析結果提出精準提升建議。

（一）班級應用案例分析

1.被試班級學生數(shù)學元認知水平診斷分析

被試班級有50名學生，全部進行問卷調(diào)查。剔除測謊題后，有效問卷為46份。首先，對該班學生數(shù)學元認知原始分數(shù)進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)：該班男生的數(shù)學元認知均值高于班級整體均值，而女生的數(shù)學元認知均值低于班級整體均值，可見該班男生的數(shù)學元認知整體水平表現(xiàn)比女生要好。但是，男生的數(shù)學元認知整體均值離散程度較大，說明男生之間的數(shù)學元認知總體水平差距較大。

被試班級學生整體數(shù)學元認知原始分均值為104.28，T分數(shù)為48.2，所處的百分等級為42.27，根據(jù)天津市小學高年級學生數(shù)學元認知總體水平常模（略）及等級水平表（表2）可知：被試班級學生的數(shù)學元認知整體平均水平處于天津市“中等”，超過了全市大約42%的學生。

被試班級在數(shù)學元認知三個主維度“元認知知識”“元認知體驗”“元認知監(jiān)控”上的T分數(shù)平均值分別為：51.60、55.08、47.20，根據(jù)主維度常模表（略）和水平等級表（表3、表4、表5）可知，各項水平均值分別超過了天津市約57%、69%、39%的小學生。整體而言，被試在數(shù)學元認知三個主維度上的水平均值皆處于天津市“中等”水平。

為了深入探索此班級“中等”水平小學生在數(shù)學元認知能力上的表現(xiàn)程度，計算并繪制被試班級學生與全市“中等”水平學生在數(shù)學元認知三個主維度上的T分數(shù)平均分雷達圖（圖4）。由圖4發(fā)現(xiàn)，該班級學生在數(shù)學元認知知識、體驗、監(jiān)控三個主維度上都整體高于全市中等平均水平，尤其是在數(shù)學元認知體驗和數(shù)學元認知監(jiān)控上遠遠高于全市中等平均水平。相比之下，被試班級學生數(shù)學元認知知識平均水平較為薄弱，僅僅略高于全市中等平均水平。

為了精準找到問題所在，進一步診斷分析該班級學生數(shù)學元認知知識水平，計算并繪制數(shù)學元認知知識的三個子維度T分數(shù)雷達圖（圖5）。由圖5可知：該班學生個體知識比全市中等學生的整體水平略好，而關于任務與策略的知識則沒有達到全市中等學生的整體水平。

圖4.被試學生與全市中等水平學生數(shù)學元認知主維度雷達圖

圖5.被試學生與全市數(shù)學元認知知識維度雷達圖

2.被試班級數(shù)學元認知水平改進建議

任務維度提高措施：教師可以鼓勵學生自主尋找研究問題及解決問題的方法。通過任務設置和課堂追問等方式，有效啟發(fā)學生的數(shù)學思維，啟迪學生明確數(shù)學學習任務。

策略維度提高措施：教師可以借鑒喬治·波利亞（George Polya）《怎樣解題表》，提高學生對策略知識的認知水平。依據(jù)“弄清問題→擬定計劃→實現(xiàn)計劃→檢驗回顧”的四個環(huán)節(jié)[19]，教師循序漸進地培養(yǎng)小學生的數(shù)學思維能力，鼓勵學生獨立思考，應用數(shù)學知識和技能，選擇恰當?shù)臄?shù)學策略。

（二）個體案例分析

1.被試個體數(shù)學元認知水平診斷分析

被試學生數(shù)學元認知水平的原始總分是109，各個子維度的T分數(shù)分別為：51.6（元認知知識）、63（元認知體驗）、47.2（元認知監(jiān)控）。對照總體常模和三個主維度常模等級表可知，在天津市小學高年級學生中，該學生數(shù)學元認知總體水平位于中等。具體到子維度可發(fā)現(xiàn)，該生在體驗維度上位于中上等水平，但是在知識和監(jiān)控維度上位于中等水平?？梢?，該學生數(shù)學元認知體驗水平表現(xiàn)較好，但數(shù)學元認知知識和監(jiān)控水平表現(xiàn)不佳。

為了找到該生數(shù)學元認知知識和監(jiān)控水平表現(xiàn)不佳的具體原因，下面對該生數(shù)學元認知知識和監(jiān)控維度進行深入分析，并與全市小學高年級學生數(shù)學元認知體驗和監(jiān)控中等水平相比較，具體雷達圖見圖6、圖7。

圖6.個案數(shù)學元認知知識維度雷達圖

圖7.個案數(shù)學元認知監(jiān)控維度雷達圖

由圖6、圖7發(fā)現(xiàn)，在元認知知識維度上，該生關于任務的知識比全市中等水平學生更豐富，關于策略的知識與全市中等水平相一致，但是關于個體的知識有所欠缺；監(jiān)控維度上，組織與管理水平有所欠缺，但是在其他四個子維度上都表現(xiàn)良好，而且都優(yōu)于全市中等學生水平。

2.被試個體數(shù)學元認知干預訓練

已有研究發(fā)現(xiàn)，對小學生進行元認知訓練，不僅能夠提高學生的元認知水平，還能夠有效地提高學生的數(shù)學成績[20][21][22]?；谘芯拷Y果，聯(lián)系數(shù)學教師對被試學生進行干預訓練。經(jīng)過一個月的指導，再重新測試該生的數(shù)學元認知水平，發(fā)現(xiàn)該生的數(shù)學元認知整體水平以及知識和監(jiān)控兩個子維度的得分都有所提升，尤其是知識維度，從中等水平提升到了中上等水平。被試學生一個月后的數(shù)學成績較一個月前有了顯著提升。

被試班級的數(shù)學教師認為應用常模能夠有效地評價出學生的數(shù)學元認知水平。通過本研究所構建的水平常模表和等級評價表，能夠獲得每一位被試學生在本班乃至天津市所處的相對位置，精準發(fā)現(xiàn)學生在數(shù)學學習中的不足以及今后需要重點提高的方向。被試學生認為通過常模，能夠獲得自己在班級乃至天津市小學高年級學生中所處的相對位置，清楚地認識到了自己的數(shù)學元認知水平以及各個維度下的等級特征，并且描述得較為準確。經(jīng)過教師的針對性指導和干預訓練后，數(shù)學學習效率和學習成績得到了明顯改善，自身的整體數(shù)學元認知水平得到了顯著提升。

四、討論

與已有的天津市初中生、高中生數(shù)學元認知水平常模研究[23][24]相比，本研究有兩個新的發(fā)現(xiàn)：第一，研究發(fā)現(xiàn)小學高年級學生的數(shù)學元認知水平整體偏低，只有“監(jiān)控與調(diào)節(jié)”和“反饋與檢驗”這兩個元認知監(jiān)控子維度下存在少量優(yōu)秀等級的學生，其他子維度下大部分學生處于中上等和中等水平，少數(shù)學生處于中下等水平以下。換言之，天津市小學高年級學生的數(shù)學元認知水平整體處于中等，優(yōu)秀學生占比很少，各個子維度也都普遍低于初中生和高中生的數(shù)學元認知水平。王光明等關于小學高年級學生數(shù)學學習非智力因素常模及應用案例研究也發(fā)現(xiàn)小學高年級學生認知動機和情緒穩(wěn)定性表現(xiàn)不足[25]。這與歐慧謀、唐劍嵐的研究發(fā)現(xiàn)相一致[4]。這說明小學高年級學生的數(shù)學元認知水平發(fā)展尚未成熟，還有很大的發(fā)展空間。但是，小學高年級學生的監(jiān)控調(diào)節(jié)能力和反饋檢驗能力較好，這可能和“以考促學”的教學模式有關。在數(shù)學學科中，教師經(jīng)常通過考試來檢驗學生的數(shù)學學習效果，各種課堂小測、周考、月考等教學評價方式依然普遍存在，所以學生通過考試的方式調(diào)節(jié)監(jiān)控數(shù)學學習的能力整體較為突出。第二，本研究還發(fā)現(xiàn)，在教學中對小學生進行數(shù)學元認知訓練，可以有效提高學生應用題解題能力，其效果明顯優(yōu)于一般思維策略訓練。這一結論與國內(nèi)外關于元認知訓練的已有研究結果一致，即元認知訓練是提高教學質(zhì)量的有效手段[26]。

與已有的天津市初中生和高中生數(shù)學元認知常模研究相比，本研究對水平等級表做了改進，對數(shù)學元認知各個維度上不同等級學生的描述更加符合小學生的特征，更有利于施測者應用常模進行測量與評價。

本研究還存在一些局限。首先，常模本身存在的局限性。因為選取的是某一地區(qū)某一時期的樣本，所以建立的常模具有區(qū)域性和時效性。由于教育的不斷發(fā)展以及不同地區(qū)教育水平的差異性，本研究所建立的常模不能普遍性地適用于天津市以外的其他地區(qū)，也不能長期性地適用于被測區(qū)域內(nèi)。其次，研究對象自身的局限性。無論是從理論上還是從整體的調(diào)查結果來看，小學生的數(shù)學元認知水平整體上還處于中等及以下的水平。調(diào)查對象數(shù)學元認知能力發(fā)展的不足，在一定程度上影響了研究結果的有效性。

五、結論

天津市小學高年級學生數(shù)學元認知總體及三個主維度的常模及其水平等級標準是對小學生數(shù)學元認知實踐研究的豐富和拓展，為特定區(qū)域（天津市及教育水平相近地區(qū)）小學高年級學生的數(shù)學元認知評價提供了標尺，為精確診斷小學高年級學生數(shù)學元認知水平提供了依據(jù)。

后續(xù)研究中，希望可以擴大樣本選取范圍，確立小學高年級學生數(shù)學元認知全國常模；并基于常模使用的時效性，根據(jù)辦學水平的不同和學生構成的差異，定期修訂常模及其相應的水平等級標準。