注重函數(shù)性質(zhì)交匯 明晰函數(shù)圖象判別

黃雅蘭

(廣東省東莞市第一中學(xué) 523000)

基本初等函數(shù)的性質(zhì)是高考試題中最為常考的一種題型之一，通過(guò)函數(shù)圖象去研究函數(shù)性質(zhì)是數(shù)學(xué)方法中常見(jiàn)的一種研究手段，本文立足函數(shù)性質(zhì)，分析了函數(shù)圖象的相關(guān)問(wèn)題.

1 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例1 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)為偶函數(shù)，若f(-1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( ).

A．4 B．2 C．0 D．-2

解法1f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以-f(x)=f(-x).

①

因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù)，

所以f(-x+1)=f(x+1).

②

在②式中，用x+1替代x，

則f(-x)=f(x+2).

所以f(x)=-f(x+2).

③

在①式中，令x+2替代x，

則-f(x+2)=f(-x-2).

④

因?yàn)閒(-x-2)=f[-(x+3)+1]，

再根據(jù)②式關(guān)系，得

f(-x-2)=f[-(x+3)+1]=f[(x+3)+1]=f(x+4).

綜上所述，得f(x)=f(x+4).

所以f(x)的周期為4.

由已知得，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則

f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,

f(2)=f(1+1)=f(-1+1)=f(0)=0,

f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,

f(4)=f(0+4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

解法2 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)為偶函數(shù)，可知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

又f(-1)=2,取f(x)=-2x,x∈[-1,1],

則f(1)=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=2，f(4)=f(0)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

點(diǎn)評(píng)已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．

2 函數(shù)圖象的識(shí)別

圖1

所以f(x)是偶函數(shù).

所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C,D.

即f(x)<0，故排除B，選A.

例3(2021年廣東湛江模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖2所示，則f(x)可以為( ).

圖2

點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象與解析式之間的4種對(duì)應(yīng)關(guān)系:

(1)從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域(或有界性)，判斷圖象的上下位置；

(2)從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的升降變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對(duì)稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；

(4)從函數(shù)的周期性判斷圖象是否具有循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)．

3 函數(shù)圖象的變換

例4已知定義在區(qū)間[0,4]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖3所示，則y=-f(2-x)的圖象為( ).

圖3

圖4

解法1先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)=f(-x)的圖象；然后將y=f(-x)的圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=f(2-x)的圖象；再作y=f(2-x)的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象.故選D.

解法2先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)=-f(-x)的圖象；然后將y=-f(-x)的圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象．故選D.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)圖象變換識(shí)別函數(shù)圖象要掌握的兩點(diǎn)：

(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象)；

(2)了解一些常見(jiàn)的變換形式，如平移變換、翻折變換．

4 函數(shù)圖象的應(yīng)用

圖5

故方程2f2(x)-3f(x)+1=0有5個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題，有關(guān)不等式的問(wèn)題等，當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).