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    2021年清華大學強基計劃數(shù)學試題及其詳解

    2022-03-12 09:45:02甘志國
    數(shù)理化解題研究 2022年4期
    關鍵詞:題設正整數(shù)情形

    甘志國

    (北京豐臺二中 100071)

    全卷共35道不定項選擇題.以下試題是回憶版(只有21道,差14道,有的試題還差選項,題目順序及試題內(nèi)容也可能不準確),其解答詳盡.

    試題涉及函數(shù)與方程(第1,8,10,14題);集合及計數(shù)原理(第2,13題);整數(shù)性質(zhì)(第3題);平面解析幾何(第4,11題);數(shù)列(第5題);定積分(第6題);平面幾何(第7題);平面向量與線性規(guī)劃(第9題);概率(第12題);三角(第15,20題);組合數(shù)學(第16題);復數(shù)(第17題);立體幾何(第18題);代數(shù)運算(第19題);不等式(第21題).其中第9,10均是往年的高考題,第17道是往年的高中數(shù)學聯(lián)賽一試試題.

    題1 若恰有一個實數(shù)x使得x3-ax-1=0成立,則常數(shù)a的取值范圍是( ).

    圖1

    題2 若集合U={0,1,2,…,2021},S?U,且集合S中的任意兩個元素之和均不是5的倍數(shù),則集合S元素個數(shù)的最大值是____.

    解析集合U中元素(共2022個)分5類:

    (1)(共405個)5×0,5×1,5×2,…,5×404;

    (2)(共405個)5×0+1,5×1+1,5×2+1,…,5×404+1;

    (3)(共404個)5×0+2,5×1+2,5×2+2,…,5×403+2;

    (4)(共404個)5×0+3,5×1+3,5×2+3,…,5×403+3;

    (5)(共404個)5×0+4,5×1+4,5×2+4,…,5×403+4.

    由題設可知,第(2)類與第(5)類的元素不能同選;第(3)類與第(4)類的元素也不能同選.因而,集合S元素個數(shù)至多是405+405+404=1214.

    當?shù)?1)(2)(3)類的元素全選,或第(1)(2)(4)類的元素全選時得到的集合S元素的個數(shù)均是1214,此時滿足題意,且當集合S元素個數(shù)取最大值時,沒有別的情形.

    綜上所述,可得所求答案是1214.

    題3 若正整數(shù)(m,n)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)分別是10!,50!,則數(shù)對(m,n)的對數(shù)是( ).

    A.29B.215C.218D.221

    解析可設m=10!a,n=10!b,正整數(shù)a,b互質(zhì),且ab=11×12×13×…×50.

    可得ab的質(zhì)因數(shù)共15個:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

    再由正整數(shù)a,b互質(zhì),可得數(shù)對(a,b)的對數(shù)是215,進而可得數(shù)對(m,n)的對數(shù)也是215.

    題4 在平面直角坐標系xOy中,過點A(-2,3)作拋物線y2=4x的兩條切線,分別與y軸交于點B,C,則△ABC的外接圓方程是( ).

    圖2

    題5 若一個k項等差數(shù)列的公差是4,且首項的平方與除首項外的各項和小于100,則k的取值范圍是____.

    解析設該等差數(shù)列的首項是a1,由題設及等差數(shù)列前n項和公式可得

    再由等差數(shù)列的項數(shù)k≥3,

    可得k∈{3,4,5,6,7,8}.

    ?k∈{3,4,5,6,7,8},方程①均有實數(shù)根

    即滿足題設的等差數(shù)列均存在(有且僅有兩個),所以所求k的取值范圍是{3,4,5,6,7,8}.

    解析由題中的結論及微元法、定積分的知識,可得該桿的質(zhì)心坐標是

    題7 如圖3所示,四邊形AEBC內(nèi)接于⊙O,邊BC是⊙O的一條直徑,過點E作ED∥BC交邊AC于點D.若BE=12,DC=DE=14,則線段AE,BD的長分別是____.

    解析如圖4所示,連接OD,OE,CE.由DC=DE,OC=OE,可得DO是線段CE的中垂線,所以DO⊥CE.再由邊BC是⊙O的一條直徑,可得BE⊥CE,所以BE∥OD.再由ED∥BC,可得EBOD,OB=OC=CD=DE=14,還得菱形OCDE.

    圖4

    所以在△BDE中,由余弦定理可求得

    C.?x,y∈R,f(x+y)=2f(x)f(y)

    D.滿足題設的函數(shù)f(x)不唯一

    解析令x=y=0,

    令y=0,可得f(x)=f(a-x).

    所以選項B正確,選項D不正確.

    圖5

    解析如圖6與圖7所示,可得題中的函數(shù)圖象即圓弧(x-3)2+(y+2)2=13(0≤x≤6,y≥0)(其圓心是點(3,0),圓弧的弦是OB):

    圖6

    圖7 圖8

    A.|PB|+|PC|是定值'

    B.|PB|·|PC|是定值

    C.|PB|+|PC|的值可以是2

    D.|PB|·|PC|的值可以是2

    解析可設直線l:y=k(x-1),

    可得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0.

    由一元二次方程根與系數(shù)的關系,可得

    所以|PB|+|PC|

    因而選項A錯誤C正確.當且僅當k=±1時|PB|+|PC|=2.

    還可得|PB|·|PC|

    因而選項B正確D錯誤.

    注筆者還證得了本題的一般情形的結論:

    題12 已知x1,x2,x3,x4是兩兩不等的實數(shù),xi1,xi2,xi3,xi4是x1,x2,x3,x4的任意一個排列,若記X=max{min{xi1,xi2},min(xi3,xi4}},Y=min{max{xi1,xi2},max{xi3,xi4}},則X>Y的概率是____.

    解析可不妨設x1

    對于確定的xi1,xi2,xi3,xi4,可得min{xi1,xi2},min{xi3,xi4},max{xi1,xi2},max{xi3,xi4}兩兩不等(因而這四個值依次也組成x1,x2,x3,x4的一個排列),所以X≠Y.

    還可得min{xi1,xi2}x0.

    因而X∈{x2,x3}.同理,還可證得Y∈{x2,x3}.

    題13 已知A1,A2,…,A10是某個圓的十等分點,則取其中的四點能是梯形的四個頂點的取法種數(shù)是( ).

    A.60 B.45 C.40 D.50

    這10個梯形還可旋轉成另外的9個位置,所以所求答案是10×6=60.

    A.30 B.40 C.50 D.60

    解析可得原方程即

    可設x=30n+r(r=0,1,2,…,29),由②可得當且僅當r=0,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28時n=0(即x=0,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28);當且僅當r=1,2,…,14,17,19,23,29時n=1(即x=31,32,…,44,47,49,53,59).

    所以原方程實根的個數(shù)是30.

    由待定系數(shù)法及均值不等式可得

    題16甲、乙、丙、丁四人共同參加4項體育比賽,每項比賽第一名到第四名的分數(shù)依次是4,3,2,1分.比賽結束時甲獲得14分第一名,乙獲得13分第二名,則( ).

    A.第三名不超過9分

    B.第三名可能獲得其中一場比賽的第一名

    C.最后一名不超過6分

    D.第四名可能有一項比賽拿到3分

    解析因為四個人的得分之和是4(4+3+2+1)=40,甲、乙得分之和是14+13=27,所以丙、丁得分之和是40-27=13.可得第四名至少得4分,因而選項AC均正確.

    所有項目的第一名與第二名分數(shù)之和是4(4+3)=28,只比甲、乙得分之和高1分,說明甲、乙包攬了所有項目的第一名,還拿到了3個第二名與1個第三名,因而選項B錯誤.

    由下面的情形(表中的數(shù)字指得分)可知選項D正確:

    第一項比賽第二項比賽第三項比賽第四項比賽甲4442乙3334丙2221丁1113

    A.x4+x3+x2+x+1

    =(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)

    B.x4-x3+x2-x+1

    =(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)

    C.x4-x3-x2+x+1

    =(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)

    D.x4+x3+x2-x-1

    =(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)

    x10-1=(x-1)(x-ω)(x-ω2)…(x-ω9),

    x5-1=(x-1)(x-ω2)(x-ω4)(x-ω6)(x-ω8).

    把它們相除,得

    x5+1

    =(x-1)(x-ω3)(x-ω5)(x-ω7)(x-ω9).

    再由ω5=-1,可得

    (x-1)(x-ω3)(x-ω5)(x-ω7)(x-ω9)

    =x4-x3+x2-x+1.

    題18 在四面體ABCD中,若AC=BC=AD=BD=1,則四面體ABCD體積的最大值是( ).

    圖10

    再由三元均值不等式,可得

    解析可用數(shù)學歸納法證得

    (…((a1*a2)*a3)*…)*an

    當n=2時成立:

    假設n=k時成立:

    (…((a1*a2)*a3)*…)*ak

    由n=2時的結論成立可得

    (…((a1*a2)*a3)*…)*ak+1

    得n=k+1時也成立,所以欲證結論成立.因而(…((2*3)*4)*…)*21

    題20 在△ABC中,邊BC的中點是D,∠CAD=15°,則∠ABC的最大值是( ).

    A.120° B.105° C.90° D.60°

    解析如圖11所示,由∠CAD=15°可得:在兩點C,D確定的情形下,點A的軌跡是一段圓弧.作△ACD的外接圓⊙O,當∠ABC最大時,直線BA與⊙O相切.

    圖11

    在四邊形OABC中,∠BAO=90°,∠OCB=75°,(因為∠COD=2∠CAD=30°).

    由∠BAD=∠BCA,∠ABD=∠CBA,

    可得△BAD∽△BCA,

    由切割線定理,可得BA2=BD·BC=2BD2.

    在△ACD中,∠CAD=15°,設∠ACD=θ,

    可得∠ADC=165°-θ(0°<θ<165°).

    因而∠AOD=2∠ACD=60°,

    ∠AOC=∠AOD+∠DOC=90°.

    所以∠ABC=360°-∠OAB-∠AOC-∠OCB=360°-90°-90°-75°=105°.

    所以∠ABC的最大值是105°.

    題21 若非負數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)的最大值是____.

    解析由題中的a,b,c是輪換對稱知,可不妨設max{a,b,c}=a.可得a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a),欲使a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)取最大值,可只考慮a≥b≥c的情形(否則a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)<0).

    可設a=c+x+y,b=c+x(x≥0,y≥0),再設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)的最大值是k(k≥0),即a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)≤k(等號能取到,下同),即a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)≤k(a+b+c)3,即(c+x+y)2x-(c+x)2(x+y)+c2y≤k(3c+2x+y)3,故27kc3+27k(2x+y)c2+9k(2x2+y)2c+k(2x+y)3-xy(x+y)≥0在c≥0時恒成立.

    由以上關于c的一元三次不等式除常數(shù)外的系數(shù)均非負,可知以上不等式即k(2x+y)3-xy(x+y)≥0.

    當x=0或y=0時上式成立.

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