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    解三角形的基本策略

    2022-03-12 09:43:12廖永福
    數(shù)理化解題研究 2022年4期
    關(guān)鍵詞:射影余弦定理正弦

    廖永福

    (福建省廈門第二中學(xué) 361009)

    解三角形問題的主要題型有:求三角形的邊和角;判斷三角形的形狀;與周長、面積有關(guān)的問題等.重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理和面積公式,有時(shí)也涉及三角函數(shù)、三角恒等變換和不等式等知識(shí).基本的解題策略有:邊角互化、余弦優(yōu)先、射影定理、消角轉(zhuǎn)化、整體代換和數(shù)形結(jié)合等.

    1 邊角互化

    解三角形時(shí),若已知邊的齊次式或角的正弦的齊次式,應(yīng)優(yōu)先考慮利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.

    例1 (2019年全國Ⅱ卷文15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=____.

    分析先根據(jù)正弦定理邊化角,再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.

    解析由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.

    因?yàn)閟inA≠0,所以sinB+cosB=0.

    即tanB=-1.

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值,滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角,屬于基礎(chǔ)題.

    例2 (2021年全國Ⅰ卷19)記△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.

    (1)證明:BD=b;

    (2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

    分析(1)由已知條件,結(jié)合正弦定理易證;(2)由∠ADB+∠CDB=π,結(jié)合余弦定理求解.

    圖1

    解析(1)如圖1,由BDsin∠ABC=asinC和b2=ac,結(jié)合正弦定理,得BD·b=ac=b2.

    所以BD=b.

    (2)由(1)知BD=b.

    因?yàn)椤螦DB+∠CDB=π,

    所以cos∠ADB+cos∠CDB=0.

    由余弦定理,得

    化簡,得6a2-11b2+3c2=0.

    即6a2-11ac+3c2=0.

    由余弦定理,得

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理和余弦定理,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),第(1)小題的關(guān)鍵是應(yīng)用正弦定理角化邊;第(2)小題的關(guān)鍵是挖掘隱含條件∠ADB+∠CDB=π,應(yīng)用余弦定理角化邊,屬于中檔題.

    變式練習(xí)1 (2019年全國Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)sin2A-sinBsinC=(sinB-sinC)2.

    (1)求A;

    2 余弦優(yōu)先

    解三角形時(shí),若已知三邊的二次齊次式或某個(gè)角的余弦值,應(yīng)優(yōu)先考慮利用余弦定理進(jìn)行邊角互化.

    分析先根據(jù)三角形的面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

    所以ac=4.

    因?yàn)閍2+c2=3ac,所以a2+c2=12.

    點(diǎn)評本題主要考查余弦定理和三角形的面積公式,考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn),選用三角形的面積公式和余弦定理求解,屬于中檔題.

    A.6 B.5 C.4 D.3

    分析利用正弦定理和余弦定理角化邊,得到關(guān)于a,b,c的方程組,消去a即可.

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理和余弦定理,考查推理能力和運(yùn)算能力,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn),選用正弦定理和余弦定理求解,屬于中檔題.

    (1)求cosA的值;

    (2)求sin(2B-A)的值.

    3 射影定理

    射影定理三角形的任意一邊等于其他兩邊在這邊上的射影之和.

    即在△ABC中,若角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.

    射影定理的證法很多,難度也不大,同學(xué)們不妨一試.

    例5 (2017年全國Ⅱ卷文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=____.

    分析由已知條件,結(jié)合射影定理求解.

    解析因?yàn)?bcosB=acosC+ccosA=b,

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理和三角恒等變換,這里運(yùn)用射影定理求解,簡便快捷,屬于基礎(chǔ)題.

    所以b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.

    所以bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC.

    由射影定理,得c=2a.

    (2)由(1)知c=2a,由余弦定理,得

    b2=a2+c2-2accosB.

    解得a=1.所以c=2.

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式,在解答第(1)小題時(shí),巧妙應(yīng)用射影定理,簡化了解題過程,屬于中檔題.

    變式練習(xí)3 (2013年全國Ⅱ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

    (1)求B;

    (2)若b=2,求△ABC面積的最大值.

    4 消角轉(zhuǎn)化

    分析由正弦定理找出sinA與sinC的關(guān)系,將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式,先求出A,再求C.

    又因?yàn)锽=π-(A+C),

    所以sinB+sinA(sinC-cosC)

    =sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC

    =sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC

    =(sinA+cosA)sinC=0.

    又C為三角形的內(nèi)角,故sinC≠0.

    則sinA+cosA=0,即tanA=-1.

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理和三角恒等變換,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理,將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式,屬于中檔題.

    (1)求角B的大??;

    (2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等,考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力,解題關(guān)鍵是利用內(nèi)角和定理,將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化為角A的三角函數(shù)的形式,屬于中檔題.

    5 整體代換

    整體代換就是根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)特征,將含某些未知量的式子看作一個(gè)整體,建立已知與所求之間的關(guān)系,進(jìn)而解決問題.采用這種策略解題,往往能收到化繁為簡、化難為易的效果.

    例9 (2018年全國Ⅰ卷文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為____.

    分析由正弦定理結(jié)合條件bsinC+csinB=4asinBsinC,求得sinA,由余弦定理結(jié)合條件b2+c2-a2=8,可求得△ABC的面積.

    解析因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC,

    所以由正弦定理,得

    sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.

    因?yàn)閎2+c2-a2=8,

    所以由余弦定理,得

    所以△ABC的面積

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件,列出關(guān)于bc的方程,再整體求出bc,屬于中檔題.

    例10 (2020年全國Ⅱ卷理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

    (1)求A;

    (2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

    分析(1)由正弦定理結(jié)合條件sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC化角為邊,再根據(jù)余弦定理求出cosA的值,進(jìn)而求得A;(2)由(1)可得(AC+AB)2-AC·AB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值,進(jìn)而得到結(jié)果.

    解析(1)由已知和正弦定理,得

    BC2-AC2-AB2=AC·AB.

    (2)由BC=3及(1),得9=BC2=AC2+AB2+AC·AB=(AC+AB)2-AC·AB.

    所以9=(AC+AB)2-AC·AB

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件,列出關(guān)于邊AB和AC的方程后,結(jié)合基本不等式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB+AC的不等式,進(jìn)而求出△ABC周長的最大值,屬于中檔題.

    變式練習(xí)5 (2016年全國Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

    (1)求角C;

    6 數(shù)形結(jié)合

    數(shù)形結(jié)合是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì),研究三角形邊、角之間的關(guān)系,以尋求三角形問題的解決途徑.充分挖掘幾何圖形隱含的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,必要時(shí)可適當(dāng)添加輔助線.

    例11 (2015年全國Ⅰ卷理16)如圖2,在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是____.

    圖2

    分析先找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E,得到AB的兩個(gè)極限值FB和EB,再求解即可.

    解析延長BA與CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF∥DA交AB于點(diǎn)F,則FB

    在等腰△BCF中,F(xiàn)C=BC=2,∠BCF=30°.

    又在等腰△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、余弦定理和極限思想,滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是構(gòu)造△BCE,找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E,屬于中檔題.

    例12 (2014年全國Ⅰ卷理16)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且a=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為____.

    分析先用正弦定理化角為邊,再用余弦定理求出A,最后畫出△ABC及其外接圓,結(jié)合圖形求解.

    解析由a=2和

    (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,

    得(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

    根據(jù)正弦定理,得

    (a+b)(a-b)=(c-b)c.

    即b2+c2-a2=bc.

    圖3

    點(diǎn)評本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用,滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是巧妙利用正弦定理和2=a進(jìn)行代換,將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式,進(jìn)而求出A,再借助△ABC的外接圓,求出△ABC面積的最大值,屬于中檔題.

    (1)求B;

    (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

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