對(duì)一道直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解法的探究

艾志景

一般地，若兩條直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這兩條直線(xiàn) 平行，且到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離相等.直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的 常見(jiàn)命題形式有兩種：（1）求某條直線(xiàn)的方程；（2）求 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到兩條直線(xiàn)之間的距離.求解直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 問(wèn)題，通常需靈活運(yùn)用中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的 性質(zhì)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.下面，結(jié)合一道例題談一談 求解直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的思路.

例題：已知直線(xiàn) l：2x + y + 3 = 0 與直線(xiàn)為 l ' 關(guān)于點(diǎn) P（1，2） 對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn) l ' 的方程.

兩條直線(xiàn)關(guān)于一點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，實(shí)質(zhì)上是兩條直線(xiàn)上 的任意一點(diǎn)都關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，則本題為中心對(duì)稱(chēng) 問(wèn)題.解答該問(wèn)題需靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以從如 下三個(gè)角度去思考問(wèn)題.

思路一：根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求解

求某條直線(xiàn)的方程，只要知道這條直線(xiàn)上的任意 兩點(diǎn)，即可根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求出該直線(xiàn)的方程. 在求解直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直 線(xiàn)的方程問(wèn)題，根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求解.其步驟 為：（1）在已知直線(xiàn)上任取兩點(diǎn)；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公 式求出這兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn) 式方程寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程.

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得所求直線(xiàn)上的兩點(diǎn) M′、N′ 的坐標(biāo)，即可根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求得直線(xiàn)的方程.該 思路簡(jiǎn)單明了，只需執(zhí)果索因，由所求目標(biāo)出發(fā)，根據(jù)已 知條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得兩點(diǎn) M′、N′的坐標(biāo).

思路二：根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程求解

若兩條直線(xiàn)關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這兩條直線(xiàn)平行， 且其斜率相等.在求解直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，可根據(jù) 直線(xiàn)的斜截式方程進(jìn)行求解.首先由兩條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)求 出所求直線(xiàn)的斜率；然后在已知直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，利 用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出該點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；最后根據(jù) 直線(xiàn)的斜截式方程寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程.

運(yùn)用該方法解題，需把握兩條直線(xiàn)之間的位置關(guān) 系，求得其斜率；然后根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和中點(diǎn) 坐標(biāo)公式求解.

思路三：利用代入法求解

若 點(diǎn) M（x，y） 與 N（x′，y′） 的 中 點(diǎn) 為 P（a，b） ，則 ì í ? ? ? a = x + x′ 2 ， b = y + y′ 2 . 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知兩條直線(xiàn)上關(guān)于點(diǎn)對(duì) 稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在聯(lián)系，于是采用代入法，先設(shè) 出所求直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)P；然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式， 用 P 點(diǎn)的坐標(biāo)將對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)表示出來(lái)；再將點(diǎn) Q 的坐標(biāo)代入已知直線(xiàn)的方程，整理即可求得所求直線(xiàn) 的方程.

代入法的應(yīng)用范圍較廣，對(duì)于一些求曲線(xiàn)的方 程、直線(xiàn)的方程問(wèn)題，都可以運(yùn)用該方法求解.需要注 意的是，在求出對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程后，要將滿(mǎn)足題意的 某個(gè)點(diǎn)代入所求的方程中去驗(yàn)證.

總之，求解直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的關(guān)鍵是：（1）靈 活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式；（2）根據(jù)直線(xiàn)與點(diǎn)的位置關(guān)系 建立方程（組）.

（作者單位：江西省撫州市臨川第一中學(xué)）