求函數(shù)值域的八種方法

陳秀紅

值域是函數(shù)的三大要素之一.求函數(shù)的值域問題比較常見，側(cè)重于考查函數(shù)的解析式、定義域、性質(zhì)、圖象的應(yīng)用.這類問題具有較強的綜合性，同學(xué)們需掌握扎實的基礎(chǔ)知識，具備較強的變通能力，才能從容應(yīng)對.下面，結(jié)合實例談一談求函數(shù)值域的八種方法.

一、觀察法

對于一些含基本初等函數(shù)的簡單復(fù)合函數(shù)值域問題，只需通過觀察和對函數(shù)解析式進(jìn)行簡單的變形， 便可根據(jù)自變量 x 的取值范圍，利用基本初等函數(shù)的非負(fù)性、單調(diào)性、有界性等求出目標(biāo)函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù) y =4- x2 的值域.

通過觀察，可發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)與冪函數(shù) y = 的復(fù)合函數(shù)，而 y =具有雙重非負(fù)性，即：（1）定義域的非負(fù)性；（2）值域的非負(fù)性.利用二次函數(shù)的有界性與冪函數(shù)的非負(fù)性，就可以輕松求得函數(shù)的值域.

二、配方法

當(dāng)所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為類二次函數(shù) F（x）= af2（x）+ bf（x）+ c（a ≠0）時，可以通過配方法求函數(shù)的值域.將函數(shù)式配方后得到形如 F（x）= af（x）+ m2+ n 的式子；再結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性即可求得函數(shù)的值域.值得注意的是，運用配方法解題，要先確定自變量的取值范圍，因為題中給定的或隱含的關(guān)于 x 的取值范圍會影響到二次函數(shù)的值域.

例2. 求函數(shù) y = x4 + 1 x4 - 1的值域.

求函數(shù)的值域，不但要重視自變量 x 、因變量 y 之間的對應(yīng)關(guān)系，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹?約作用.如本題中，在求得最值后，還要檢驗當(dāng)y取最 小值1時，x 的值是否滿足題目條件.

三、反函數(shù)法

若不易求得分式函數(shù)中 y 的取值范圍，就可將 y 看作參數(shù)，用y表示x，求得x的表達(dá)式，則該式為原函 數(shù)的反函數(shù).根據(jù)“原函數(shù)的定義域為其反函數(shù)的值 域，原函數(shù)的值域為其反函數(shù)的定義域”這一性質(zhì)，通 過求反函數(shù)的定義域，間接求得原函數(shù)的值域.

例3. 求函數(shù) y = 5x - 1 4x + 2 的值域.

直接求該目標(biāo)函數(shù)式的值域較為困難，于是將該 分式函數(shù)變形，用y表示x，就能求得原函數(shù)的反函數(shù)， 求得反函數(shù)的定義域即可解題.運用反函數(shù)法求函數(shù) 的值域，可轉(zhuǎn)換解題的思路，達(dá)到化難為易的效果.

四、分離常數(shù)法

若分式函數(shù)的分子中x的最高次數(shù)等于或高于分母 中x的最高次數(shù)，即形如y = cX + d aX + b （a ≠ 0）、y = cX2 + dX + e aX + b （a ≠ 0） 函數(shù)式，則需采用分離常數(shù)法，將原函數(shù)式轉(zhuǎn)化 為 y = c a + m aX + b 、y = cX + d a + z aX + b （a ≠ 0） 的形式；再 結(jié)合x的取值范圍，利用基本不等式、反比例函數(shù)與對 勾函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的值域.要特別注意函數(shù)的定 義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.求定義域是求值域的先決條 件，在求值域前，應(yīng)先求出定義域.

例4. 求函數(shù) y = x 2 - x x 2 - x + 5 的值域.

經(jīng)觀察，函數(shù)式的分子、分母中均含有 x 2 - x 項， 于是把它看作一個整體，進(jìn)行常數(shù)分離.分離常數(shù)后， 表達(dá)式中只有分母含有變量，借助二次函數(shù)的有界 性，即可確定分式函數(shù)的值域.本題中的分母 x 2 - x + 5 = ? è ? ? x - 1 2 2 + 19 4 大于0，在解題時一定要考慮到分母不 能為0的情況.若分母為0時，要剔除掉對應(yīng)的x、y值.

五、判別式法

對于二次函數(shù)值域問題，我們通?？梢詫?y 看作參數(shù)，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x 的一元二次方程 A（y）x2+ B（y）x + C（y）=0 ；再根據(jù)判別式 B（y）2-4A（y）? C （y）≥0，求出y 的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域.

例5.求函數(shù) y = 的值域.

該函數(shù)的分子、分母都是關(guān)于x 的二次式，故可將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程；然后判斷二次項系數(shù)是否為0.當(dāng)系數(shù)為0時，方程為一次方程，判斷該情形是否滿足題意；當(dāng)系數(shù)不為0時，方程才為二次方程，才能運用判別式法來求函數(shù)的值域.值得注意的是，若原函數(shù)的定義域不是整個實數(shù)集時，應(yīng)將值域里擴大的部分剔除掉.

六、換元法

換元法是一種重要的解題方法，即是通過等量代換，求得函數(shù)的值域.在解題時，往往要先設(shè)出新的變 量，將其替換函數(shù)式中復(fù)雜的代數(shù)式，使函數(shù)式變得更為簡單、熟悉；再根據(jù)新變量的取值范圍，來確定新函數(shù)的值域.

例6.求函數(shù) y =2x -3+ 13-4x 的值域.

對于形如 y = ax + b± （ a ≠0）的含有根式的函數(shù)式，往往要將根式或根號下的式子進(jìn)行換元，以去掉根號，將函數(shù)式化為簡單的二次函數(shù)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求函數(shù)的值域.換元后，一定要求出新變量的取值范圍，以此來限定新函數(shù)的值域.

七、圖象法

對于一些容易畫出圖形的函數(shù)值域問題，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，通過研究圖象，確定函數(shù)圖象的最高點、最低點，從而求得函數(shù)的值域.在解題時，首先要深入挖掘函數(shù)式中代數(shù)式，如絕對值、根式、方程的幾何意義，根據(jù)其幾何意義來畫出相應(yīng)的圖形.

例7.求函數(shù) y = + 的值域.

經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)化，便可將看似復(fù)雜的函數(shù)式以簡單的圖形呈現(xiàn)出來.通過直觀的函數(shù)圖象，即可將函數(shù)的最值一目了然了地呈現(xiàn)出來.

八、基本不等式法

基本不等式 a + b ≥2a >0， b >0是求函數(shù)值域的重要工具.在求函數(shù)的值域時，通常要將函數(shù)式進(jìn) 行合理的變形，如添項、拆項等，以便配湊出兩式的和 或積，并使其中之一為定值，就能運用基本不等式及 其變形式 a2 + b 2 ≥ 2ab、a + b + c ≥ 3 abc 3 求得函數(shù)式的 最值.運用基本不等式求得函數(shù)的值域，要滿足“一正” “二定”“三相等”的條件.

例8. 求函數(shù) f （x） = x 2 + 2x + 2 x + 1 的值域.

由于定義域為 x ≠ -1，所以不能確定 x + 1的符號， 故要分 x + 1 > 0 和 x + 1 < 0 兩種情況，利用基本不等式 來求函數(shù)的最值.將函數(shù)式變形為 f （x） = x + 1 + 1 x + 1 ， 即可發(fā)現(xiàn) x + 1、 1 x + 1 互為倒數(shù)，且為和式，這便為運用 基本不等式創(chuàng)造了條件.

除了上述的八種方法外，求函數(shù)的值域，還有最 值法、導(dǎo)數(shù)法等.在解題中，應(yīng)注意結(jié)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特 征，選擇最合適的方法.總之，求函數(shù)的值域沒有固定 的方法和模式，有時一道題可有多種解法，有時多道 題目的解法又可化歸為一種解法，這就要求同學(xué)們不 斷積累解題的經(jīng)驗，提升解題的能力.

（作者單位：江蘇省泗洪姜堰高級中學(xué)）