基于高斯成像公式測量凹透鏡焦距在初中物理教學(xué)中的應(yīng)用

湖北省教育技術(shù)裝備處(430079) 程 斌

安徽信息工程學(xué)院(241000) 單正葉

1 概述

初中物理是學(xué)生正式接觸物理學(xué)的開始，其中光學(xué)透鏡的學(xué)習(xí)更是拉近了物理學(xué)與日常生活的距離。然而初中物理的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生接觸更多的是凸透鏡的相關(guān)知識，對于凸透鏡有關(guān)概念、實驗測量等能較好的掌握，而對于凹透鏡僅僅是簡單了解，甚至很多學(xué)生對凹透鏡焦距為負值這一基本知識點都不知曉，更談不上實際應(yīng)用和實驗測量[1-2]，這使得初中物理的學(xué)習(xí)略有遺憾。

本文首先對凹透鏡的相關(guān)知識進行介紹，并引入透鏡成像的高斯公式。接著根據(jù)高斯成像公式，利用輔助凸透鏡得到所測凹透鏡的虛物，該虛物經(jīng)凹透鏡成一實像，通過測量該凹透鏡的虛物距和實像距，代入高斯成像公式求得焦距。多次測量后取得焦距平均值。最后，對此實驗的測量誤差進行理論分析。如此，為學(xué)生今后的發(fā)展、科學(xué)觀的形成奠基。

2 凹透鏡的介紹

凹透鏡在光學(xué)上稱為負球透鏡，即鏡片呈凹形，中央薄，周圍邊緣較厚。凹透鏡對入射的光線有發(fā)散作用，即平行光線通過凹透鏡后發(fā)生偏折，光線成發(fā)散光線，不會形成實性焦點，但是沿著發(fā)散光線的反向延長線，即在入射光線的同一側(cè)會相交于一點，此為虛焦點。

凹透鏡成像的幾何作圖與凸透鏡成像作圖原則相同。即從物體頂端做出兩條光線：一條平行于凹透鏡的主光軸，經(jīng)透鏡折射后為發(fā)散光線，但此發(fā)散光線的反向延長線會交于入射側(cè)的焦點；另一條光線通過凹透鏡的光心，不改變?nèi)肷浞较?。這兩條折射后的光線會相交于一點，此即為物體經(jīng)凹透鏡折射后的虛像。如圖1所示，為凹透鏡折射后的三條特殊光線。

圖1 經(jīng)凹透鏡折射后的三條特殊光線光路圖

如上所述，凹透鏡是一種發(fā)散透鏡。正常情況下，凹透鏡所成的像總是正立、縮小的虛像，這就導(dǎo)致凹透鏡焦距的測量相對復(fù)雜一些。這也是初中物理很少涉及凹透鏡焦距測量的原因之一。本文將利用高斯成像公式，通過巧妙方法得到凹透鏡的物距、像距，進而計算得到凹透鏡的焦距。

3 基于高斯成像公式測量凹透鏡焦距

幾何光學(xué)中研究和討論光學(xué)系統(tǒng)理想成像性質(zhì)的分支稱為高斯光學(xué)，或稱近軸光學(xué)。它通常只討論對某一軸線(即主光軸)具有旋轉(zhuǎn)對稱性的光學(xué)系統(tǒng)。幾何光學(xué)中的透鏡成像公式稱為高斯公式：

上式中，u為物距，v為像距，f為焦距。即物距的倒數(shù)加上像距的倒數(shù)等于焦距的倒數(shù)。需要注意的是，物距u和像距v均有正負之分，即實為正、虛為負；此外透鏡焦距f亦有正負，即凸透鏡為正、凹透鏡為負。

圖2 基于高斯公式的凹透鏡焦距測量實驗光路圖

激光筆調(diào)共軸等高。我們知道無論是凸透鏡還是凹透鏡都有一條特殊光線(或者說成像規(guī)律)，即穿過透鏡光心的光線不改變?nèi)肷浞较?。那么可以利用激光的方向性好、光束穩(wěn)定且易于觀察的特性，將激光筆出射的激光作為這條特殊光線穿過光軸，來實現(xiàn)物體AB、凸透鏡L1、凹透鏡L2、及擋光板P的共軸等高。實驗時，注意不要用眼睛直視激光線，只需順著激光線方向，調(diào)整各元器件高度，觀察并使激光光路基本與光學(xué)滑軌平行，擋光板上出現(xiàn)激光光斑即可。光路圖如圖3所示。

圖3 激光筆調(diào)共軸等高光路圖

圖4 利用輔助透鏡得到實像A′ B′光路圖

計算凹透鏡的虛物距u和實像距v，代入高斯成像公式計算出凹透鏡焦距f。

根據(jù)高斯光學(xué)中對于物距和像距的定義，物距u和像距v均有正負之分，即實為正、虛為負。本測量實驗中，虛物距u可表示為：

同理，實像距v可表示為：

于此，將虛物距u和實像距v代入高斯成像公式：

4 理論分析本實驗的測量誤差

由實驗誤差理論可知，本實驗誤差主要有兩個方面，即A類誤差uA(f)(亦稱標準偏差)和B類誤差uB(f)(亦稱實驗儀器誤差)，分別計算如下：

故本實驗所得焦距f的誤差u(f)可表示為：

5 結(jié)語

綜上，本實驗基于高斯成像公式，在測得凹透鏡的虛物距和實像距基礎(chǔ)上，計算得到焦距，并分析了實驗誤差。本實驗依據(jù)成像原理，實驗的物理意義明確，有助于學(xué)生對凹透鏡成像規(guī)律的認識，對初中物理教學(xué)具有一定的理論指導(dǎo)意義。