圖亦可料 變守其本

趙軍才 薛紅霞

摘 ?要：“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容，是在研究幾何圖形的本質(zhì)屬性之后，對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的規(guī)律和性質(zhì)的研究，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理能力和發(fā)展空間觀念有積極作用. 梳理2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題中有關(guān)“圖形的變化”的內(nèi)容，從考查內(nèi)容、命題思路、復(fù)習(xí)建議、原創(chuàng)賞析四個(gè)方面，為廣大初中數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)依據(jù)和參考.

關(guān)鍵詞：中考試題;圖形的變化;命題分析;核心素養(yǎng)

“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容，是在研究幾何圖形的本質(zhì)屬性之后，對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的規(guī)律和性質(zhì)的研究，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理能力和發(fā)展空間觀念有積極作用. 2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題中，重視對(duì)“圖形的變化”這一領(lǐng)域考查試題的命制，既關(guān)注了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握情況的考查，又注重對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決過程中表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

一、考查內(nèi)容分析

“圖形的變化”內(nèi)容隸屬于初中數(shù)學(xué)四大板塊內(nèi)容中的“圖形與幾何”，其內(nèi)容主要包括：圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，圖形的相似、位似，三角函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用，視圖與投影等.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)本內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求是：要求學(xué)生探索并掌握三角形相似的基本性質(zhì)與判定，探索并理解平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，認(rèn)識(shí)投影與視圖;在研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，建立幾何直觀;在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力;增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力;在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

綜觀2021年各地中考試題，題型豐富，考查方式靈活，從不同知識(shí)與能力的角度體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求與理念. 從對(duì)98份中考試題的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果來(lái)看，對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容考查的題型涉及填空題、選擇題、解答題、操作題等. 其中，考查分值達(dá)20分以上的占68.9%，最高分達(dá)35分，占整份試卷的30%. 由此可見，各地都非常重視對(duì)這部分內(nèi)容的考查. 本內(nèi)容中對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的考查試卷份數(shù)及比例如下表所示.

中考試卷命題中對(duì)這部分內(nèi)容的考查，首先，關(guān)注了對(duì)基本概念的理解和運(yùn)用;其次，盡可能設(shè)置生活化的實(shí)際背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)生所表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思維方式;最后，重視對(duì)學(xué)生幾何直觀、空間觀念、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的落實(shí)情況進(jìn)行考查.

二、命題思路分析

2021年中考對(duì)“圖形的變化”試題的命制，結(jié)合圖形變化的概念、性質(zhì)、操作等內(nèi)容，有梯度、層次分明、科學(xué)考查同一知識(shí)點(diǎn)的不同認(rèn)知水平，確?？疾槟繕?biāo)的準(zhǔn)確性;同時(shí)，多角度、多維度考查學(xué)生的空間想象、幾何直觀、合情推理與演繹推理等素養(yǎng)，突出考查初中階段圖形變化在“培養(yǎng)認(rèn)知能力，促進(jìn)思維發(fā)展，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)”等方面的教育價(jià)值. 試題命制突出基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，彰顯數(shù)學(xué)價(jià)值觀，體現(xiàn)“五育并舉”.

1. 源于《標(biāo)準(zhǔn)》，考查基礎(chǔ)

《標(biāo)準(zhǔn)》是中考數(shù)學(xué)試題命制的依據(jù)，教材是中考數(shù)學(xué)試題命制的范本. 依標(biāo)扣本，突出對(duì)學(xué)生終身學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，體現(xiàn)義務(wù)教育階段學(xué)業(yè)水平的基礎(chǔ)性.

（1）理清概念，明確判斷依據(jù).

例1 （山西卷）為推動(dòng)世界冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，我國(guó)將于2022年舉辦北京冬奧會(huì)，在此之前進(jìn)行了冬奧會(huì)會(huì)標(biāo)的征集活動(dòng)，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ? ?）.

設(shè)計(jì)思路分析：《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的要求是“了解”層次. 此題選取了我國(guó)2022年冬奧會(huì)會(huì)標(biāo)征集圖案，要求判斷是否既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，是對(duì)本知識(shí)點(diǎn)概念的直接考查，考查學(xué)生對(duì)基本概念的了解情況，并會(huì)區(qū)分. 當(dāng)圖形沿某條直線對(duì)折，直線兩旁部分能完全重合的是軸對(duì)稱圖形;當(dāng)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°之后，能與原圖形重合的是中心對(duì)稱圖形. 既考查學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，又考查學(xué)生在具體情境中應(yīng)用概念的能力. 類似地，在甘肅、湖北、湖南、江蘇、四川等地的15份試卷中都出現(xiàn)了此類試題和此種考法.

例2 （四川·瀘州卷）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（ ? ?）.

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查三視圖的有關(guān)知識(shí). 學(xué)生要解答此題，需要知道主視圖指的是從物體的正面看到的視圖，并且能將立體圖形抽象成平面圖形，需要有一定的空間觀念. 從2021年全國(guó)各地中考試題來(lái)看，大多數(shù)注重對(duì)幾何體的表面展開圖、視圖與幾何體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系等內(nèi)容的考查，旨在考查學(xué)生對(duì)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考查學(xué)生的空間觀念. 這樣的考查形式較好地落實(shí)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求.

（2）理解概念，明晰解答思路.

例3 （四川·遂寧卷）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3 cm2，則四邊形BDEC的面積為（ ? ?）.

（A）12 cm2 ? （B）9 cm2

（C）6 cm2 ? （D）3 cm2

設(shè)計(jì)思路分析：此題以選擇題的形式考查三角形中位線、相似三角形的性質(zhì)（相似三角形的面積比等于相似比的平方）. 解題思路是：兩中點(diǎn)→中位線→平行→相似→相似比→面積比. 思路順暢，一氣呵成，主要考查學(xué)生對(duì)具體概念的理解和實(shí)踐應(yīng)用能力. 類似地，重慶A卷，已知相關(guān)線段之間的關(guān)系，求相似三角形的周長(zhǎng)比;重慶B卷，在網(wǎng)格中求位似比;浙江溫州卷，已知位似比，求對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng);等等. 這些試卷的命題很好地落實(shí)了對(duì)相似性質(zhì)基本應(yīng)用的考查. 此類試題源于教材，不僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，也關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，能較好地了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，有利于引導(dǎo)教師更新教學(xué)理念，以及探索、改進(jìn)、強(qiáng)化過程教學(xué).

例4 （浙江·金華卷）如圖2是一架人字梯，已知AB = AC = 2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（ ?）.

（A）4cos α米

（B）4sin α米

（C）4tan α米

（D） [4cosα]米

設(shè)計(jì)思路分析：此題以人字梯為問題背景，已知人字梯梯長(zhǎng)及梯與地面夾角，表示兩梯角之間的距離，將數(shù)學(xué)問題生活化，在具體生活情境中考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和意識(shí). 類似地，山西卷第14題，已知地鐵站扶梯的坡度，求扶梯上的人的上升高度;浙江湖州卷第12題，已知一個(gè)直角三角形的直角邊和斜邊長(zhǎng)，求該直角邊所對(duì)銳角的正弦值，直接考查銳角三角函數(shù)的概念，利用正弦函數(shù)的概念即可求得，體現(xiàn)對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解. 上述試題都是在具體生活實(shí)踐中考查具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容. 這樣的命題思路，旨在引導(dǎo)教師在日常教學(xué)中關(guān)注知識(shí)的傳授，以及學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和具體實(shí)踐應(yīng)用.

例5 （湖北·隨州卷）如圖3，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，BC =[3]，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0° < α < 180°），得到△AB′C′，并使點(diǎn)C′落在AB邊上，則點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為

（結(jié)果保留π）.

設(shè)計(jì)思路分析：此題將銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)及弧長(zhǎng)計(jì)算有機(jī)結(jié)合起來(lái)，重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)半徑及角度. 命題者從基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，結(jié)合相互關(guān)聯(lián)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，突出對(duì)靈活運(yùn)用水平的考查. 各地中考試卷對(duì)該部分內(nèi)容的考查，大多數(shù)通過解答題的設(shè)置，為學(xué)生充分展示數(shù)學(xué)思考，以及為解決問題的方法與策略提供機(jī)會(huì)，確保對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用程度的準(zhǔn)確考查. 此題的解答思路可逆向?yàn)椋郝窂健　〉膱A心和半徑←弧長(zhǎng)公式←半徑和圓心角←已知條件.

（3）運(yùn)用概念，規(guī)范作圖要求.

例6 （安徽卷）如圖4，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.

（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1;

（2）將（1）中的△A1B1C1繞點(diǎn)C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1，畫出△A2B2C1.

設(shè)計(jì)思路分析：此題以網(wǎng)格為背景，以圖形平移和旋轉(zhuǎn)作圖為形式，考查學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解，解題關(guān)鍵是理解平移和旋轉(zhuǎn)的概念、要素、性質(zhì)等. 試題命制符合《標(biāo)準(zhǔn)》中“能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形”“能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形”的要求，能夠考查學(xué)生的幾何作圖和數(shù)學(xué)思考等，問題解答所需要的水平為掌握層次，具有較好的效度. 平移、旋轉(zhuǎn)和位似的有關(guān)作圖問題，考查《標(biāo)準(zhǔn)》的圖形變換，這種試題命制形式能較好地考查學(xué)生對(duì)圖形變換的本質(zhì)理解，以及利用正方形網(wǎng)格幾何特性作圖的基本技能. 上述操作，均可先根據(jù)變換規(guī)律計(jì)算變換后點(diǎn)的坐標(biāo)，再描點(diǎn)連線成形;也可根據(jù)要求中的變換方式直接進(jìn)行圖形變換.

2. 基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，考查素養(yǎng)

數(shù)學(xué)來(lái)源于社會(huì)生活實(shí)際，最終也服務(wù)于生產(chǎn)與實(shí)踐，并促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展. 各地通過設(shè)置體現(xiàn)發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)與方法可以解決許多具體問題的試題（數(shù)學(xué)內(nèi)部問題或?qū)嶋H問題），以及數(shù)學(xué)思想對(duì)人類的生活和行為具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用的試題，考查了初中生在三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是否積累了較豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，是否涵養(yǎng)了基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的普及型.

（1）談古論今，培育家國(guó)情懷.

例7 （四川·眉山卷）我國(guó)某型號(hào)運(yùn)載火箭的整流罩的三視圖如圖5所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：米）計(jì)算該整流罩的側(cè)面積（單位：平方米）是（ ? ?）.

（A） [7.2π] （B） [11.52π]

（C） [12π] （D） [13.44π]

設(shè)計(jì)思路分析：此題以運(yùn)載火箭的整流罩為背景，綜合考查三視圖、勾股定理、扇形的面積等知識(shí)，是對(duì)學(xué)生是否具有基本的分析問題、解決問題能力，以及直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的考查. 引導(dǎo)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生空間觀念的建立，數(shù)學(xué)分析能力、問題意識(shí)，以及基本運(yùn)算能力的培養(yǎng). 類似地，江蘇揚(yáng)州卷、山東菏澤卷、云南卷等都出現(xiàn)此類試題，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，滲透家國(guó)情懷思想，注重對(duì)學(xué)生的思政教育.

例8 （浙江·溫州卷）圖6中4 × 4與6 × 6的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成. 圖6（1）是繪成的七巧板圖案，它由7個(gè)圖形組成，試按以下要求選擇其中一個(gè)，并在圖6（2）、圖6（3）中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

（1）選一個(gè)四邊形畫在圖6（2）中，使點(diǎn)P為它的一個(gè)頂點(diǎn)，并畫出將它向右平移3個(gè)單位后所得的圖形.

（2）選一個(gè)合適的三角形，將它的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的[5]倍，畫在圖6（3）中.

設(shè)計(jì)思路分析：此題以方格紙為背景，以我國(guó)傳統(tǒng)智力玩具七巧板為依托，以圖形變換為主線，考查學(xué)生的圖形辨別能力、合情推理能力、問題探究能力、數(shù)形結(jié)合能力，問題的設(shè)置層次分明，體現(xiàn)了對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》中平移和位似作圖的考查要求.（1）直接將其中任意四邊形向右平移3個(gè)單位得出符合題意的圖形（如圖7（1）所示）;（2）直接將其中任意三角形邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的[5]倍，即可得出所求圖形（如圖7（2）所示）. 學(xué)生既可以通過運(yùn)用勾股定理計(jì)算，并用有理數(shù)估計(jì)無(wú)理數(shù)的大致范圍求解，也可以借助幾何直觀求解. 這樣的試題能在“理解”水平較為有效地考查學(xué)生通過方格與圖形的邏輯聯(lián)系進(jìn)行比較、估計(jì)、推斷.

（2）聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光.

例9 （浙江·嘉興卷）將一張三角形紙片按如圖8所示步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（ ? ）.

（A）等腰三角形 （B）直角三角形

（C）矩形 （D）菱形

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查了軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，較好地體現(xiàn)了軸對(duì)稱變換的工具性作用. 題目直接給出了兩次折疊裁剪后展開圖形可能的結(jié)果. 關(guān)鍵是第二次折疊的數(shù)學(xué)理解：兩個(gè)折痕互相垂直且平分，因此，陰影部分展開圖形是菱形. 試題在對(duì)學(xué)生的空間觀念進(jìn)行有效考查的同時(shí)，考查了學(xué)生對(duì)菱形判定的掌握. 此類試題引導(dǎo)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)，更要關(guān)注學(xué)生在操作過程中能否敏銳獲悉對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如由折疊想到軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱想到相關(guān)性質(zhì)，這些性質(zhì)方為解題關(guān)鍵.

例10 （山東·臨沂卷）如圖9，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來(lái)，已知CM = 3 m，CO = 5 m，DO = 3 m，∠AOD = 70°，汽車從A處前行多少米才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童（結(jié)果保留整數(shù)）？

（參考數(shù)據(jù)：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75;sin 70° ≈ 0.94，cos 70° ≈ 0.34，tan 70° ≈ 2.75.）

設(shè)計(jì)思路分析：此題是利用解直角三角形的知識(shí)，解決生活中非常實(shí)際的問題，與當(dāng)下學(xué)生安全問題密切相關(guān)，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義. 題目中以求線段AB的長(zhǎng)度為載體，將解直角三角形與三角形相似綜合運(yùn)用到解決具體問題之中，具有很好的效度和可推廣度. 類似地，全國(guó)各地中考試卷中，甘肅卷以測(cè)量平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)為背景設(shè)計(jì)試題;河南卷以測(cè)量開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟中的最大佛像盧舍那佛像的高度為試題背景;湖北荊州卷以手機(jī)支架為背景;湖南衡陽(yáng)卷以商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯為背景;湖南婁底卷以天舟二號(hào)的升空速度為背景;等等. 這些試題均有此類運(yùn)用三角函數(shù)與相似或全等結(jié)合解決的實(shí)際問題，試題背景是所有學(xué)生均熟悉的，有效體現(xiàn)了試題背景的公平性.

（3）逐步深入，培植解題習(xí)慣.

例11 （北京卷）如圖10，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段AE，連接BE，DE.

（1）比較∠BAE與∠CAD的大小;用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

設(shè)計(jì)思路分析：此題通過對(duì)線段AD的旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造全等三角形，使得問題得以依次解決. 以問題“比較∠BAE與∠CAD的大小”引導(dǎo)學(xué)生鎖定相關(guān)三角形，從而證得全等，即可解得第（1）小題;第（2）小題在第（1）小題的基礎(chǔ)上，由證三角形全等，可得線段BE = CD，∠ACD = ∠ABE. 再根據(jù)AB = AC，可得∠ACD = ∠ABC. 繼而可得∠ABC = ∠ABE. 學(xué)生根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，可猜想NE與ND的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是相等，因條件“M為BC的中點(diǎn)”聯(lián)想到三角形中位線知識(shí)，于是可想到過點(diǎn)E作AB的垂線，交BC于點(diǎn)H，垂足是點(diǎn)G（如圖11）. 于是，問題得以解決. 在問題的設(shè)置上，命題者可謂用心良苦，層層遞進(jìn)，小問題為大問題做鋪墊，前問題為后問題做指引，不斷引導(dǎo)學(xué)生找到解題的突破口——構(gòu)造三角形的中位線. 當(dāng)然，此題還有其他解法，但不論何種解法，都很好地考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形知識(shí)、三角形全等、三角形中位線等三角形重要定理的掌握情況，由此可推斷出學(xué)生的邏輯推理能力，以及構(gòu)造能力方面的發(fā)展情況.

例12 （上海卷）如圖12，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，AD = CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接BO，并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上.

① 求證：△DAC ∽ △OBC;

② 若BE⊥CD，求[ADBC]的值.

（2）若DE = 2，OE = 3，求CD的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)思路分析：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及勾股定理，能夠運(yùn)用相似三角形邊的關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵. 此題設(shè)置遵循“低起點(diǎn)、慢上坡”的命題理念，科學(xué)設(shè)置問題. 第（1）小題中兩個(gè)小問重點(diǎn)考查相似三角形的判定及含30°角的直角三角形邊的關(guān)系，分屬于基礎(chǔ)題及中等題;第（2）小題考查學(xué)生分情況討論問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累情況，以及利用相似構(gòu)造方程的解題經(jīng)驗(yàn). 此題對(duì)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)模型等素養(yǎng)的考查方式值得推廣.

3. 歸于思維品質(zhì)，考查能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，問題是思維的起點(diǎn)，解決問題是思維的歸宿. 從起點(diǎn)出發(fā)，能否到達(dá)歸宿的關(guān)鍵就是能力. 2021年各地中考試題對(duì)學(xué)生能力的重點(diǎn)關(guān)注，對(duì)于引導(dǎo)教師在平時(shí)的教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的思維的訓(xùn)練，更好地、有針對(duì)性地落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的各項(xiàng)學(xué)習(xí)指標(biāo)具有積極的促進(jìn)作用. 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基本要求——特別是基本的數(shù)學(xué)思想;二是學(xué)生具備對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力. 對(duì)學(xué)生能力的關(guān)注，體現(xiàn)義務(wù)教育學(xué)業(yè)水平的發(fā)展性.

（1）讀懂操作，還原數(shù)學(xué)本質(zhì).

例13 （河南卷）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖13（1），在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，AC = 1. 第一步，在[AB]邊上找一點(diǎn)[D]，將紙片沿[CD]折疊，點(diǎn)[A]落在點(diǎn)[A]處，如圖13（2）所示. 第二步，將紙片沿[CA]折疊，點(diǎn)[D]落在點(diǎn)[D]處，如圖13（3）所示. 當(dāng)點(diǎn)[D]恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段[AD]的長(zhǎng)為 ? ? ? ? .

設(shè)計(jì)思路分析：此題以常見的含30°角的直角三角形紙片折疊為背景，以軸對(duì)稱性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)為載體，考查學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、分類討論思想及直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的培養(yǎng). 命題巧妙，有四兩撥千斤之意，尤其是分類思想的靈活運(yùn)用，有效考查學(xué)生敏銳的觀察力、較高的想象力，以及全方位、多角度考慮問題的能力.

例14 （江蘇·宿遷卷）如圖14，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB = 8，AD = 4，則MN的長(zhǎng)是（ ? ?）.

（A） [535]

（B） [25]

（C） [735]

（D） [45]

設(shè)計(jì)思路分析：此題以矩形折疊為背景，考查圖形的翻折變換、勾股定理、菱形面積公式的運(yùn)用. 解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如此題中折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等. 主要考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，以及建立方程模型的能

力. 具體解題思路為：如圖15，連接BM，利用折疊的性質(zhì)證明四邊形BMDN為菱形，設(shè)DN = NB = x，在Rt△ABD中，由勾股定理求BD，在Rt△ADN中，由勾股定理求x，利用菱形計(jì)算面積的兩種方法，建立等式求MN.

（2）步步為營(yíng)，架構(gòu)分析通道.

例15 （四川·瀘州卷）如圖16，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF = 3DF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則△AGF的面積是________.

設(shè)計(jì)思路分析：三角形全等的判定和性質(zhì)與三角形相似的判定和性質(zhì)是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的“相近”規(guī)則，有關(guān)三角形相似的判定和性質(zhì)的結(jié)論可以在類比對(duì)應(yīng)的三角形全等的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)上得到. 命題者通過對(duì)一個(gè)基本圖形進(jìn)行變化，再現(xiàn)了這種類比的過程，從而揭示了相近規(guī)則之間的關(guān)系，凸顯了對(duì)探索過程目標(biāo)考查的目的. 此題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、割補(bǔ)法求三角形面積等知識(shí)，掌握這些定理及方法，并能熟練運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵. 具體解題思路為：如圖17，延長(zhǎng)AG交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GH⊥CD，交CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)N，先證明△ABE ≌ △MCE. 由CF = 3DF，可求DF = 1，CF = 3. 再證△ABG ∽ △MFG，利用相似比可計(jì)算出GN. 再利用兩個(gè)三角形的面積差計(jì)算S△BEG，即可求得[△]AGF的面積.

例16 （河北卷）在一平面內(nèi)，線段AB = 20，線段BC = CD = DA = 10，將這四條線段首尾順次相接.把AB固定，讓AD繞點(diǎn)A從AB開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（α > 0°）到某一位置時(shí)，BC，CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖18（1），當(dāng)AD∥BC時(shí)，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，求證：AO = 10.

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α = 60°時(shí)，∠ADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，求點(diǎn)M到AB的距離.

拓展：① 如圖18（2），設(shè)點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)P，直接寫出BP的長(zhǎng)（用含d的式子表示）;

② 當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且AD與CD垂直時(shí)，直接寫出α的余弦值.

設(shè)計(jì)思路分析：此題匠心獨(dú)具，以簡(jiǎn)潔的“線段AD的旋轉(zhuǎn)變換”為載體，由“旋轉(zhuǎn)角α（α > 0°）到某一位置時(shí)，BC，CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置”為基礎(chǔ)，通過論證、發(fā)現(xiàn)、嘗試、拓展等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造系列圖形，利用數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱向邏輯聯(lián)系設(shè)計(jì)由易到難、形式各異且相互關(guān)聯(lián)的五個(gè)問題. 這樣設(shè)計(jì)不僅使得問題的內(nèi)涵更豐富，既有閱讀理解，又有動(dòng)手操作，而且背景清晰、明快、自然、合理，有助于學(xué)生理解題目.

求解此題需要學(xué)生在三角形中添加輔助線構(gòu)造直角三角形、全等形或相似形，繼而依據(jù)勾股定理或線段的比建立方程. 需要用到平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等、相似、勾股定理、三角函數(shù)、解方程等知識(shí)，考查知識(shí)涵蓋面廣，考查方式簡(jiǎn)潔明快，學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在不知不覺中探得解題思路. 在此過程中，學(xué)生探究相關(guān)角或線段之間的關(guān)系，完成從特殊到一般的推理. 正確、合理地完成這一過程需要具備一定的邏輯分析與綜合論證能力. 因此，根據(jù)學(xué)生解答此題所展現(xiàn)出來(lái)的推理、探究活動(dòng)的表現(xiàn)，可推斷學(xué)生在數(shù)學(xué)推理能力和思考方式方面的發(fā)展情況.

三、復(fù)習(xí)建議

1. 理解基本概念的要義，掌握基本概念的本質(zhì)含義

例如，平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三大變換的要素、性質(zhì)及聯(lián)系與區(qū)別，相似的判定與性質(zhì)，什么是位似、位似有何用途，如何認(rèn)識(shí)三視圖、三視圖與實(shí)物幾何體是如何轉(zhuǎn)換的，等等. 理清這些概念和關(guān)系是解決“圖形的變化”的關(guān)鍵.

2. 構(gòu)建圖形觀念，理清圖形之間的關(guān)系

會(huì)識(shí)別圖形，就是會(huì)在復(fù)雜交錯(cuò)的圖形中尋找圖形（如尋找相似圖形）;能解釋圖，是指能將圖形進(jìn)行分解、重組，從而發(fā)現(xiàn)有用信息;引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的研究方法，即當(dāng)圖形發(fā)生變化時(shí)，如旋轉(zhuǎn)，要學(xué)會(huì)從以下三個(gè)角度分析：新圖形自身的性質(zhì)有哪些變化？對(duì)應(yīng)元素之間有何關(guān)系（數(shù)量的和位置的）？從整體的角度來(lái)看，又生成哪些性質(zhì)或規(guī)律？

3. 發(fā)展邏輯推理能力

任何幾何結(jié)論都不是想當(dāng)然來(lái)的，是有前因后果的，是經(jīng)過嚴(yán)密推理論證而來(lái)的. 教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提升他們的幾何推理能力，發(fā)展邏輯思維，使他們養(yǎng)成有條理、有邏輯的思維習(xí)慣，這樣有助于學(xué)生幾何素養(yǎng)的提升.

4. 培養(yǎng)空間觀念

“圖形的變化”主要考查的就是學(xué)生的空間觀念，因?yàn)閳D形是動(dòng)態(tài)的，而我們的呈現(xiàn)則是靜態(tài)的，這樣勢(shì)必會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)的難度. 教學(xué)中，要通過具體實(shí)踐操作，或適時(shí)地借助幾何畫板軟件等信息技術(shù)工具，通過動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖形的變化狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、探究規(guī)律，從而幫助學(xué)生形成空間觀念，固化幾何認(rèn)知，有效落實(shí)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等素養(yǎng).

四、模擬題欣賞

1. 已知某幾何體的三視圖如圖19所示，則該幾何體可能是（ ?）.

答案：A.

2. 如圖20，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)H. E為邊BC的中點(diǎn)，連接HE，交AC于點(diǎn)P. 若AC = 12，BD = 16，則線段PC的長(zhǎng)為_________.

答案：5.

3. 閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：

探索位似的性質(zhì)

利用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)工具，可以很方便地將圖形放大或縮小，還可以探索位似的性質(zhì).

小明利用幾何畫板軟件，嘗試用“觀察—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”的方法進(jìn)行探究，步驟如下.

如圖21，任意畫一個(gè)△ABC，以點(diǎn)O為位似中心，自選新舊圖形的相似比為k，得到△A′B′C′.

第一步，度量對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度，并計(jì)算它們的比值，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與k的值相等.

第二步，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，分別度量點(diǎn)A，A′的橫坐標(biāo)，并計(jì)算比值;分別度量點(diǎn)A，A′的縱坐標(biāo)，并計(jì)算比值，觀察比值與k的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們相等. 接下來(lái)對(duì)其他頂點(diǎn)做相同的操作，得出相同的結(jié)論.

第三步，作線段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′，度量它們，發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是__________.

第四步，任意改變△ABC的位置或形狀，發(fā)現(xiàn)上面探究得出的結(jié)論仍然成立.

于是，小明總結(jié)并得出了位似的性質(zhì).

任務(wù)：

（1）第三步發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是________.

（2）已知圖21中點(diǎn)A（6，2），A′（9，3），B（4，3），S△ABC = 2，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)和[S△ABC]分別是_____，_____.

（3）如圖22，以點(diǎn)P為位似中心，畫出與矩形MNOP的相似比為0.75的一個(gè)圖形.

答案：（1）答案不唯一，如位似中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線之比等于相似比，結(jié)論正確即可.

（2）（6，4.5），4.5.

（3）略.

4. 道閘桿，在生活中很常見，又稱為八角桿，經(jīng)過鋁合金擠壓成型，后經(jīng)噴涂，貼紅色反光膜而成，主要是跟道閘配套使用，廣泛應(yīng)用于公路收費(fèi)站、停車場(chǎng)、小區(qū)等，用于管理車輛的出入，可單獨(dú)通過無(wú)線遙控實(shí)現(xiàn)起落桿，也可以通過停車場(chǎng)管理系統(tǒng)實(shí)行自動(dòng)管理狀態(tài). 如圖23（1），是某停車場(chǎng)使用的直桿型道閘桿，圖23（2）是示意圖. 已知道閘桿CD平行于地面，且距離地面的高度BC為1米. 一輛長(zhǎng)4.20米、寬1.80米、高1.80米的箱式小貨車要沿寬度為3米的道路AB的中心線進(jìn)入停車場(chǎng)，則道閘桿CD至少需要繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度，小貨車才能安全通過？試通過計(jì)算說(shuō)明.（參考數(shù)據(jù)：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75.）

答案：道閘桿CD至少需要繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)53°，小貨車才能安全通過.

5. 問題背景：

如圖24，在矩形ABCD中，AB = 10，BC = 8. E為邊BC上一點(diǎn)，沿直線DE將矩形折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)C′處.

猜想驗(yàn)證：

（1）填空：AC′的長(zhǎng)為_______.

（2）如圖25，將△DC′E沿線段AB向右平移，使點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，得到△D′BE′，D′E′與BC交于點(diǎn)F，D′B與DE交于點(diǎn)G.

① 求EF的長(zhǎng);

② 連接GF，EE′，則四邊形GEE′F是平行四邊形嗎？若是，予以證明;若不是，通過計(jì)算說(shuō)明理由.

拓展探究：

（3）如圖26，將△D′BE′繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度α（0° < α < 90°），D′E′分別交DE和BC于點(diǎn)M和點(diǎn)N. 當(dāng)D′B∥DE時(shí)，分別直接寫出tan α的值和線段MN的長(zhǎng).

答案：（1）6.

（2）① EF = 2;

② 四邊形GEE′F不是平行四邊形，理由略.

（3） [12];[45-6].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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