立體幾何創(chuàng)新題型賞析

田 麟

(甘肅省酒泉市第一中學(xué)，735000)

創(chuàng)新題形式新穎、解法別致,能很好地考查學(xué)生的觀察、分析、比較、概括和創(chuàng)新能力,并且滲透到各部分內(nèi)容中,是近年高考命題的熱點(diǎn)題型.立體幾何作為高考的重要內(nèi)容,是創(chuàng)新命題的“基地”.本文擷取立體幾何中幾類(lèi)創(chuàng)新問(wèn)題加以分析,旨在探索其題型規(guī)律.

一、信息遷移問(wèn)題

例1(2021年北京高考題)對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)進(jìn)行如下定義:小雨(0 mm-10 mm),中雨(10 mm-25 mm),大雨(25 mm-50 mm),暴雨(50 mm-100 mm).小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水(如圖1),則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)( )

(A)小雨 (B)中雨

(C)大雨 (D)暴雨

屬于中雨.選B.

評(píng)注新信息遷移問(wèn)題,主要是指通過(guò)定義一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)、新性質(zhì)、新法則等,要求考生讀懂題意,用已有的知識(shí)、能力進(jìn)行理解,并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移、分析、探索,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題構(gòu)思巧妙、題意新穎,具有啟發(fā)性、深刻性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn),能很好地考查考生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力和探究能力,是考查考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、挖掘考生潛能的良好素材.本題給出“降雨程度(等級(jí))”新定義信息,在理解的基礎(chǔ)上將信息遷移,通過(guò)圓錐與圓柱的等積變換即可得降雨厚度,使問(wèn)題獲解.

二、平面圖形轉(zhuǎn)動(dòng)

(1)求整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程木板掃過(guò)的體積;

(2)求平面AB1C2D1與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

設(shè)平面AB1C2D1與平面ABCD所成銳二面角為φ,則

cosφ=|cosn,m|

=cos2θ,

即所求余弦值為cos2θ.

評(píng)注立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是高考或模擬考試中的熱點(diǎn)題型.這類(lèi)問(wèn)題新穎別致,構(gòu)思精妙,讓立體幾何“活”了起來(lái).本題以“木板轉(zhuǎn)動(dòng)”為載體,考查了柱體的體積和空間向量在求二面角中的應(yīng)用,給人以耳目一新的感覺(jué).

三、材料閱讀題

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)如果多面體滿(mǎn)足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).

解(1)四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)、5個(gè)面.四棱錐所有面角之和等于4個(gè)三角形內(nèi)角之和再加上1個(gè)四邊形內(nèi)角之和.所以四棱錐的總曲率為5×2π-4×π-2π=4π.

(2)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F,則多面體的總曲率等于V×2π與多面體所有面的內(nèi)角之和的差.

由于在多面體所有面的內(nèi)角之和的計(jì)算過(guò)程中,每條棱都計(jì)算了兩次,故多面體的所有面的內(nèi)角之和等于2E×π-F×2π，從而多面體的總曲率為V×2π-2E×π+F×2π=(V-E+F)×2π=4π.因此這類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).

評(píng)注材料閱讀題通過(guò)給出一段文字,或給出一些數(shù)據(jù)、圖形、表格等多種形式的背景材料,要求考生在閱讀理解、讀懂材料的基礎(chǔ)上,剖開(kāi)現(xiàn)象看本質(zhì),將材料背景化歸為數(shù)學(xué)知識(shí),實(shí)現(xiàn)材料背景向所學(xué)的知識(shí)和方法遷移,達(dá)到創(chuàng)新解題的目的.本題以北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)各種彎曲空間的運(yùn)用為背景,考查了曲率的概念,要求考生在閱讀理解概念的基礎(chǔ)上,通過(guò)具體的問(wèn)題情境求出曲率.求解本題的關(guān)鍵在于找到棱數(shù)與面數(shù)之間的關(guān)系,觀察并發(fā)現(xiàn)每條棱被兩個(gè)平面占用.本題考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng).

四、結(jié)構(gòu)不良題

例4如圖5,已知四棱錐M—ABCD的底面ABCD是平行四邊形,并且AB=BC=1,MD=1,MD⊥平面ABCD,H是MB的中點(diǎn).在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上,并作答相應(yīng)問(wèn)題.

若______,求CH與平面MCD所成角的正弦值.

注:如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

取平面MCD的一個(gè)法向量n=(1,0,0).設(shè)CH與平面MCD所成角為θ，則

取平面MCD的一個(gè)法向量n=(1,0,0).設(shè)CH與平面MCD所成角為θ,則

評(píng)注本題以四棱錐為載體,考查了空間線面關(guān)系的推理判斷和空間向量坐標(biāo)法在空間線面角的度量中的應(yīng)用.由于選擇條件的不同,推理判斷、建系和所得結(jié)論不盡相同.本題是結(jié)構(gòu)不良試題,對(duì)立體幾何知識(shí)模塊進(jìn)行擴(kuò)展實(shí)踐,也從知識(shí)層面上給出了一種重要的命題導(dǎo)向.這就提醒新高考地區(qū)的廣大師生,在復(fù)習(xí)備考中要有針對(duì)性的訓(xùn)練措施.