由一道質(zhì)檢題引發(fā)的圓錐曲線有關(guān)性質(zhì)探究

顧旭東

(江蘇省海門中學(xué)，226100)

眾所周知,圓錐曲線題是高考壓軸題的重點題型,因此,研究圓錐曲線的性質(zhì)具有重要意義.本文以一道質(zhì)檢題為例,通過變形整合演繹出圓錐曲線的若干有趣結(jié)論,現(xiàn)拋磚引玉,與讀者分享.

山東省濟寧市2019屆高三一模給出了如下質(zhì)檢題.

(1) 求橢圓C的方程;

(2) 設(shè)橢圓C的右焦點為F,直線l與橢圓相切于點A,與直線x=3相交于點B,求證:∠AFB的大小為定值.

(2) 由(1)易知x=3為橢圓的右準(zhǔn)線,由此聯(lián)想問題的一般性,得解法如下.

由例1第(2)問的解答過程,可得

在以上探究中,若過點B作橢圓的另一條切線BD(D為切點),連結(jié)FD,同理BF⊥DF.這就順理成章地得到如下的結(jié)論2.

逆向探究,我們可得到如下的結(jié)論3.

在圖2中連結(jié)OB,經(jīng)過觀察及驗證,發(fā)現(xiàn)OB平分AD,由此得到如下的結(jié)論4.

繼續(xù)整合探究.過焦點F作x軸的垂線,交切線BA,BD于點G,H,直觀猜測GF=FH,并通過論證得到如下的結(jié)論5、結(jié)論6.

在圖1中,若過原點O作AB的平行線交AF于點P,可得到如下美妙的結(jié)論.

無獨有偶,若在圖6中再添加一條平行線,可得如下結(jié)論.

證明設(shè)直線AB的斜率為k,則直線A1B1的方程為y=kx.與橢圓方程聯(lián)立,可得

|A2B2|=2a-e(xA2+xB2)

上述結(jié)論也可以類比到雙曲線與拋物線,有興趣的讀者不妨進行探究,限于篇幅,在此不一一贅述.