由一道高考題談一類問題的處理策略

韓宏帥

(山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局，277400)

題目(2021年全國高考題)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0)，B(0,2),則( )

(A) 點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

(B) 點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

分析計(jì)算出圓心到直線AB的距離,得出點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍,可判斷選項(xiàng)A,B的正誤;分析可知,當(dāng)∠PBA最大或最小時(shí),PB與圓M相切,利用勾股定理可判斷C,D選項(xiàng)的正誤.

評(píng)注本題考查圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系,考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).由于圓既能與平面幾何相聯(lián)系,又能與圓錐曲線相結(jié)合,命題方式比較靈活,故與圓相關(guān)的最值問題備受命題者的青睞.

圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系一直是高考熱點(diǎn).通常作為客觀題考查,其中長(zhǎng)度、面積的計(jì)算,以及參數(shù)問題與最值問題是考查熱點(diǎn).常用的解題策略主要有:利用圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、平面圖形的幾何性質(zhì),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,有些與圓有關(guān)的最值問題還需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想, 將問題轉(zhuǎn)化為尋求與圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系,借助函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，等等.這就需要我們熟悉圓的常見基本結(jié)論,在數(shù)形結(jié)合中尋找解決問題的突破口.

下面舉例說明.

例1圓x2+y2+2x-8=0截直線y=kx+1(k∈R)所得的最短弦長(zhǎng)為( )

解直線y=kx+1過定點(diǎn)A(0,1),圓的方程可化為(x+1)2+y2=32,故圓心為M(-1,0),半徑r=3.

評(píng)注本解法的關(guān)鍵是挖掘直線過定點(diǎn)的隱含條件,判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,利用圓的垂徑定理使問題獲解.

評(píng)注本解法的關(guān)鍵是利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,在數(shù)形結(jié)合中借助直線與圓的位置關(guān)系使問題獲解.

例3“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)的曼哈頓距離為L(zhǎng)PQ=|x1-x2|+|y1-y2|.若點(diǎn)P(1,2),點(diǎn)Q為圓C:x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn),則LPQ的最大值為( )

解設(shè)點(diǎn)Q(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π),則LPQ=|1-2cosθ|+|2-2sinθ|.

評(píng)注本解法的關(guān)鍵是在讀懂“曼哈頓距離”概念的基礎(chǔ)上列出目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的手段去掉絕對(duì)值符號(hào),結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解.

(A)4 (B)18 (C)20 (D)24

解由條件知y≥0,x≥y≥0.

當(dāng)x=0時(shí),解得y=0,符合題意.

如圖3,觀察可知當(dāng)直線與圓相切時(shí),由

綜上,x∈[4,20]∪{0},x的最大值為20.故選C.

評(píng)注本題需要在弄清變量取值范圍的基礎(chǔ)上靈活變更問題的表達(dá)方式,將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有交點(diǎn)問題,化陌生為熟悉.