例說圓錐曲線問題的6種特色運(yùn)算

徐元珍

(江蘇省徐州市銅山區(qū)茅村中學(xué)，221135)

圓錐曲線問題是歷年高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),解答圓錐曲線問題離不開計(jì)算,甚至有時(shí)候成功與否都取決于計(jì)算.過于復(fù)雜、繁瑣的計(jì)算不但費(fèi)時(shí),甚至還可能導(dǎo)致半途而廢.因此,想方設(shè)法避開復(fù)雜計(jì)算,盡量減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)是求解圓錐曲線問題的關(guān)鍵.在解決圓錐曲線問題，尤其是選擇、填空題時(shí),若能依據(jù)題型特點(diǎn),尋找一些“非常規(guī)性”的方法,常常會(huì)簡(jiǎn)捷、巧妙地解決問題.下面分情形舉例說明圓錐曲線問題的6種特色運(yùn)算.

一、回歸定義——簡(jiǎn)算

定義揭示的是事物的本質(zhì)屬性,圓錐曲線中有許多性質(zhì)都是由定義派生出來的.求解時(shí)若能從定義出發(fā)挖掘其性質(zhì),把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來,可以大大地減少運(yùn)算量.

解易知橢圓的左焦點(diǎn)為F′(-4,0).由定義知|MF|+|MF′|=10,即|MF|=10-|MF′|,所以|MA|+|MF|=|MA|+10-|MF′|=10-(|MF′|-|MA|).

評(píng)注這類題型是利用橢圓的定義將距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而求出距離的最小值.由此可見,利用定義轉(zhuǎn)化求最值,不僅能避免繁瑣的計(jì)算,而且還可以加深對(duì)定義的理解.

二、平幾輔助——巧算

根據(jù)問題特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用平面幾何知識(shí)輔助解題可以巧妙地簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例2定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=2x上移動(dòng),M為AB的中點(diǎn),則M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為______.

解如圖1,過點(diǎn)A,B,M分別作AA′,BB′,MM′垂直于準(zhǔn)線l,垂足分別為A′,B′,M′.由拋物線的定義可知|AA′|=|FA|，|BB′|=|FB|.

評(píng)注本題通過回歸定義和運(yùn)用平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合使問題化難為易.

評(píng)注本題若不能求出直角三角形的中位線的斜率將會(huì)思路受阻.上述解法的關(guān)鍵是結(jié)合幾何圖形性質(zhì),得到?BOF2為正三角形,即得到漸近線的傾斜角為60°,從而突破問題障礙.

三、借助結(jié)論——速算

圓錐曲線中除課本上的公式、性質(zhì)等知識(shí)外,還有許多好的結(jié)論，直接利用這些結(jié)論解答客觀題相當(dāng)快速、方便.

分析因?yàn)镻F⊥x軸,所以|PF|是“通徑”長(zhǎng)的一半.數(shù)形結(jié)合,利用平行線分線段成比例定理建立關(guān)系,最終化為a,b,c的等式求解.

四、巧設(shè)方程——活算

從直線與圓錐曲線的多種形式的方程中,結(jié)合題意靈活選用方程形式,是簡(jiǎn)化解題過程的重要手段之一.

例7過點(diǎn)P(4,0)的直線交拋物線E:y2=4x于C,D兩點(diǎn),求證:以弦CD為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

解由題設(shè)知直線CD的斜率不為零,可設(shè)其方程為x=my+4.代入y2=4x,得y2-4my-16=0.設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-16.

五、引入向量——新算

向量是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.運(yùn)用向量處理解析幾何中的共線(平行)、垂直、夾角和位置關(guān)系等復(fù)雜問題,不僅方法新穎、巧妙,而且可以減少計(jì)算量,優(yōu)化解題過程.

例8設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM斜率的最大值為( )

分析由P,M,F三點(diǎn)共線,可以構(gòu)造向量,利用向量共線的充要條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算求解.

評(píng)注本題若根據(jù)條件利用兩點(diǎn)間的距離公式會(huì)出現(xiàn)根式,計(jì)算量和難度都相當(dāng)大,而利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算則較為方便,這就是用向量解決問題的優(yōu)勢(shì).

六、設(shè)而不求——少算

“設(shè)而不求”是數(shù)學(xué)解題中的一種頗為有用的手段,往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運(yùn)算,從而減少計(jì)算量,簡(jiǎn)化解題過程.

評(píng)注本題設(shè)出P1,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo),但求解過程中并不需要求出其具體值,只是用它們起中介橋梁的作用,簡(jiǎn)化解題過程.

例10已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為( )

(A)16 (B)14 (C)12 (D)10

評(píng)注本解法取直線l1的斜率k為參數(shù),借助方程聯(lián)立,運(yùn)用設(shè)而不求、拋物線定義和均值不等式求解,過程簡(jiǎn)潔,能有效考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.