例說解析幾何線段積問題的轉(zhuǎn)化策略

龔海濱

(江蘇省揚州市新華中學,225009)

與線段積有關(guān)的解析幾何綜合題是當下高考的熱點問題.由于這類問題綜合性強,考生往往是直接套用兩點間距離公式計算線段長度,使得參數(shù)偏多、運算復雜冗長,最終導致解題半途而廢.因此,如何轉(zhuǎn)化問題,尋找減少運算量的巧算方案就顯得非常重要.本文舉例說明此類問題常用的幾種轉(zhuǎn)化策略,供大家參考.

一、通過共線向量的刻畫,將線段之積轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)(-1,1).(過程略)

二、通過投影降維,將線段之積轉(zhuǎn)化為同一坐標軸上的射影之積

例2(2021年浙江高考題)如圖2,已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,M是拋物線的準線與x軸的交點,且|MF|=2,

(1)求拋物線的方程;

(2)設過點F的直線交拋物線于A,B兩點,斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點P,Q,R,N,且|RN|2=|PN|·|QN|,求直線l在x軸上截距的取值范圍.

解(1)y2=4x.(過程略)

評注本解法將斜線段RN,PN,QN通過投影轉(zhuǎn)化為豎直線段,將線段之積轉(zhuǎn)化為P,Q,R縱坐標之間的關(guān)系,回避了直接用兩點間距離公式計算RN,PN,QN的繁瑣.在解析幾何中,對于復雜的線段積問題,一般可將斜線段投影到坐標軸上或與坐標軸平行的直線上,將線段之積轉(zhuǎn)化為同一坐標軸上的射影之積.這種將二維空間的數(shù)量關(guān)系“降”為一維坐標軸(直線)上的數(shù)量關(guān)系來處理的“降維”思想,能回避直接用兩點間距離公式帶來的繁瑣,計算快捷合理.

三、巧用參數(shù)方程,將線段之積轉(zhuǎn)化為參數(shù)之積

(1)求C的方程;

與直線PQ的斜率之和.

評注在解決過定點的直線與圓錐曲線相交弦的相關(guān)問題時,若能引入直線參數(shù)方程,則可利用參數(shù)t的幾何意義,回避解方程組求交點坐標等繁瑣運算, 使解法簡捷明快.

同一個問題,由于算法不同,計算量的差異可能會很大.因此,在處理線段長度之積的問題時,要注意增強求簡意識,選擇更好的運算途徑,多向轉(zhuǎn)化,在巧算中才能感受到數(shù)學的輕松和優(yōu)美.