合理設(shè)置問(wèn)題 引領(lǐng)知識(shí)構(gòu)建
——“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在” 的教學(xué)及啟示

凡勝富

(安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué),236000)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,也是引發(fā)學(xué)生思考和探究的源動(dòng)力.課堂中有了問(wèn)題,學(xué)生在好奇心驅(qū)使下才能真正激發(fā)思維,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)向?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化.因此,在教學(xué)過(guò)程中,我們可依據(jù)教學(xué)目標(biāo)將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成一系列問(wèn)題,將這些問(wèn)題由淺入深、由易到難、合理設(shè)計(jì)、適時(shí)呈現(xiàn),導(dǎo)引學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的思考和探究來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).本文以“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在” 的教學(xué)為例,談?wù)劰P者的粗淺體會(huì),和同行交流.

一、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題

師:前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、性質(zhì)和幾個(gè)特殊的函數(shù),對(duì)函數(shù)已經(jīng)有了初步的了解,這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的一些用途.先看一個(gè)和函數(shù)關(guān)系最密切的方程問(wèn)題:(多媒體演示)

引例判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)解.

(1)x-1=0； (2)x2-3x+2=0.

請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)自己是怎么判斷出結(jié)果來(lái)的.

生1:利用公式解方程求得.

生2:也可以畫(huà)出y=x-1,y=x2-3x+2的圖象與x軸的交點(diǎn)得到.

師:好!請(qǐng)繼續(xù)看下題:(3)2x+x-5=0 (學(xué)生不知所措)

師:大家判斷不出來(lái)這很正常,因?yàn)檫@個(gè)方程不是我們所熟悉的方程,沒(méi)有公式可以用,也畫(huà)不出圖象判斷,利用我們目前的知識(shí)并不能解決所有方程解的問(wèn)題.

請(qǐng)大家和我一起了解一下方程求解的發(fā)展歷程:

在2010年第六期《科學(xué)》雜志中有一篇為紀(jì)念華羅庚誕辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事.該文介紹了早在16世紀(jì),數(shù)學(xué)家就已經(jīng)解決了一次,二次,三次和四次方程的一般性解法,在隨后的三百多年里,方程解法的發(fā)展停滯了,直到19世紀(jì)挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根式解,這就是方程求解的發(fā)展史.

師:這節(jié)課就來(lái)彌補(bǔ)一下我們目前知識(shí)的欠缺.(引入課題)

設(shè)計(jì)意圖由學(xué)生熟悉的方程推進(jìn)到一個(gè)本身不能求解的方程,造成學(xué)生的認(rèn)知沖突,同時(shí)借助方程發(fā)展史極大地吸引學(xué)生探究新知的興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲望.情境的創(chuàng)設(shè),既自然滲透數(shù)學(xué)文化,揭示學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性,又有效激活學(xué)生的思維,對(duì)當(dāng)前現(xiàn)象達(dá)到理解性認(rèn)識(shí),為下面的探究奠定良好的認(rèn)知基礎(chǔ).

2.實(shí)驗(yàn)探究,解決問(wèn)題

問(wèn)題1如何在沒(méi)有求解公式的背景下判斷方程是否有解?

師:在遇到難以解決的問(wèn)題時(shí),我們通常會(huì)回到已經(jīng)會(huì)處理的問(wèn)題,由此入手去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題的解決辦法和一些規(guī)律.好,讓我們?cè)倩氐絼偛乓呀?jīng)解決的兩個(gè)方程問(wèn)題.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1一元一次方程x-1=0和相應(yīng)的一次函數(shù)f(x)=x-1的圖象有何關(guān)系?

生3:如圖1,一元一次方程的根是對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2一元二次方程x2-3x+2=0和相應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=x2-3x+2的圖象有何關(guān)系?

生4:如圖2,一元二次方程的根就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師:請(qǐng)同學(xué)們思考對(duì)于一般的函數(shù)(高次函數(shù),指對(duì)數(shù)函數(shù)等)與對(duì)應(yīng)方程是否也有上述的結(jié)論成立呢?我們繼續(xù)來(lái)看引例中第3個(gè)方程.

設(shè)計(jì)意圖以問(wèn)題激發(fā)學(xué)生思考,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn),體會(huì)深刻,自然地得到函數(shù)和方程關(guān)系的初步認(rèn)識(shí),通過(guò)實(shí)驗(yàn)也可以直觀感悟概念形成之中隱藏的數(shù)學(xué)思想,有利于全面、深刻地理解概念的本質(zhì).

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)3判斷方程 2x+x-5=0是否有解?

(師生互動(dòng):現(xiàn)場(chǎng)在幾何畫(huà)板下展示函數(shù)的圖象)

師:經(jīng)過(guò)以上三個(gè)實(shí)踐活動(dòng),問(wèn)題1得到解決方案:通過(guò)作出方程所對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象與x軸是否有交點(diǎn)加以判別.看來(lái)我們需要引入新的定義來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題了.

設(shè)計(jì)意圖再一次體會(huì)方程的根是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).將結(jié)論推廣到一般,為零點(diǎn)概念做好鋪墊.

3.抽象概括,形成概念

定義我們把函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

師:對(duì)于這個(gè)定義,我們可以從兩個(gè)角度來(lái)刻畫(huà):數(shù)和形的角度,你能說(shuō)說(shuō)你對(duì)方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間關(guān)系的理解嗎?

生5:它們之間具有如下等價(jià)關(guān)系:

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根

?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

上述關(guān)系提供了一個(gè)通過(guò)函數(shù)性質(zhì)確定方程解的途徑,函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)解.

設(shè)計(jì)意圖(1)引導(dǎo)學(xué)生得出零點(diǎn)的三個(gè)重要的等價(jià)關(guān)系,體現(xiàn) “化歸”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想;(2)強(qiáng)調(diào)求函數(shù)零點(diǎn)的方法.

4.合作交流,探究結(jié)論

師:大家在計(jì)算機(jī)的幫助下,可以判斷(即使不會(huì)畫(huà)出相應(yīng)函數(shù)的圖象)方程有沒(méi)有解的問(wèn)題.請(qǐng)繼續(xù)思考:

問(wèn)題2沒(méi)有計(jì)算機(jī)輔助,如何判斷方程是否有解呢?請(qǐng)看下面的幾個(gè)小問(wèn)題:

(1)觀察f(x)=x-1的圖象,此函數(shù)在區(qū)間[0,2]上有沒(méi)有零點(diǎn)?計(jì)算f(x)=x-1在區(qū)間[0,2]的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(0)和f(2)的乘積,你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有何特點(diǎn)?

生6:有零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)圖象是不間斷的且f(0)f(2)<0.

(3)觀察f(x)=2x+x-5的圖象,此函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有沒(méi)有零點(diǎn)?

生8:根據(jù)解決前兩個(gè)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)判斷,函數(shù)f(x)=2x+x-5的圖象也是不間斷的,且f(1)f(2)<0,所以函數(shù)在[1,2]有零點(diǎn).

師:通過(guò)以上3個(gè)小問(wèn)題的理解,對(duì)于連續(xù)函數(shù),我們可以人為地選擇一個(gè)區(qū)間,使區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào),進(jìn)而使問(wèn)題2得以解決.

設(shè)計(jì)意圖先從一個(gè)已研究過(guò)的、簡(jiǎn)單的函數(shù)入手,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象,通過(guò)計(jì)算、觀察、比較可以知道函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值乘積的情況與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)之間有一定的關(guān)系，為歸納函數(shù)零點(diǎn)存在的條件做好鋪墊.

師:綜上,我們可以得到如下結(jié)論:

零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

追問(wèn)1y=f(x)不是連續(xù)函數(shù)時(shí)結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)明.

追問(wèn)2若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),一定有f(a)f(b)<0嗎?

生10:也不一定,比如f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]有零點(diǎn),但是f(-1)f(1)>0.

追問(wèn)3若f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)嗎?

師:很好!同學(xué)們對(duì)這個(gè)定理的理解比較透徹,這也是我們需要注意的地方.下面我們就一起來(lái)看它的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)追問(wèn),使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理和三個(gè)注意點(diǎn):(1)函數(shù)是連續(xù)的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

5.遷移應(yīng)用,深化理解

例1已知函數(shù)f(x)=3x-x2，試問(wèn)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]有沒(méi)有實(shí)數(shù)解?

例2判定(x-2)(x-5)=1有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解,且有一個(gè)大于5,一個(gè)小于2.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)概念的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程,學(xué)生要經(jīng)過(guò)一系列練習(xí)才能把前面的探究活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)方法真正領(lǐng)悟，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的作用和價(jià)值的認(rèn)識(shí)，理解知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系,建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

師:有了以上兩個(gè)例子對(duì)定理的應(yīng)用和理解,請(qǐng)大家繼續(xù)思考.

問(wèn)題3利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷零點(diǎn)問(wèn)題有沒(méi)有缺陷?

(學(xué)生分析交流討論,得出結(jié)論)

生12:(1)無(wú)法判斷零點(diǎn)的具體個(gè)數(shù);(2)端點(diǎn)的函數(shù)值同號(hào)時(shí)不能判斷函數(shù)在此區(qū)間有沒(méi)有零點(diǎn).

師:那么，如何解決此問(wèn)題呢?留置下節(jié)課解決.

設(shè)計(jì)意圖在互相交流、對(duì)話合作的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生積極思考、主動(dòng)理解,同時(shí)充分暴露他們理解上的缺陷.教師的適時(shí)點(diǎn)撥,又可以引導(dǎo)學(xué)生重新思考一些理解不到位的知識(shí),由此加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí),同時(shí)又為下節(jié)課埋下伏筆.

二、教學(xué)啟示

1.從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)設(shè)計(jì)問(wèn)題

美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出:“教學(xué)過(guò)程是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的持續(xù)不斷的活動(dòng),思維永遠(yuǎn)是從問(wèn)題開(kāi)始.”在課堂教學(xué)中,我們要從學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),設(shè)計(jì)出學(xué)生經(jīng)過(guò)努力可以解決的問(wèn)題.本節(jié)課中筆者從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),對(duì)問(wèn)題1與問(wèn)題2都分層設(shè)計(jì)了3個(gè)小問(wèn)題,層層遞進(jìn),問(wèn)題驅(qū)動(dòng),較好地完成了教學(xué)目標(biāo),收到了很好的教學(xué)效果.

2.在新舊知識(shí)銜接點(diǎn)上設(shè)計(jì)問(wèn)題

新知識(shí)都是從舊知識(shí)發(fā)展而來(lái)的,新舊知識(shí)之間既有相通的地方,又有不同之處,而這種不同點(diǎn)往往正是知識(shí)的發(fā)展和提高.所以教學(xué)要抓住新舊知識(shí)間的銜接點(diǎn),設(shè)計(jì)出有效的問(wèn)題,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生的探究和興趣.本節(jié)課從情境設(shè)置到問(wèn)題1、問(wèn)題2的提出都引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突,學(xué)生的主動(dòng)參與,增添了教學(xué)的色彩.

3.依托知識(shí)聯(lián)系和順序結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題

數(shù)學(xué)思維的核心是邏輯思維,教師提出的問(wèn)題也要具有邏輯性,在層層遞進(jìn)中體現(xiàn)出知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.設(shè)計(jì)的問(wèn)題既要反映知識(shí)生成背景,又要符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和知識(shí)的形成規(guī)律.只有問(wèn)題間自然過(guò)渡,才能使學(xué)生的思維延續(xù),更容易激發(fā)學(xué)生思維的興奮點(diǎn).本節(jié)課通過(guò)問(wèn)題的引領(lǐng)發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù)圖象來(lái)解決一些方程解的問(wèn)題,但有些函數(shù)圖象又畫(huà)不出來(lái)形成認(rèn)知沖突,自然聯(lián)想利用電腦軟件畫(huà)圖處理,再通過(guò)設(shè)問(wèn)避開(kāi)軟件畫(huà)圖如何判斷方程的解.問(wèn)題間過(guò)渡自然,易激發(fā)學(xué)生思考.

4.圍繞學(xué)生思維發(fā)展設(shè)計(jì)問(wèn)題

教學(xué)實(shí)踐證明,并不是所有的問(wèn)題都能引起學(xué)生思考,那種僵化的、形式的“呈現(xiàn)式”的問(wèn)題只能使學(xué)生產(chǎn)生應(yīng)付性的回答,并不能啟發(fā)學(xué)生的思考.問(wèn)題過(guò)大、過(guò)難,會(huì)造成學(xué)生無(wú)從下手,教師啟而不發(fā)；問(wèn)題過(guò)小、過(guò)碎,學(xué)生思維量小,失去探究發(fā)現(xiàn)的意義.所以,要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)出層次分明的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的思考,使學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究,揭示問(wèn)題的本質(zhì),領(lǐng)悟問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.