利用單位圓玩轉(zhuǎn)三角函數(shù)性質(zhì)

王定暢

(浙江省寧波科學(xué)中學(xué) 315336)

1 周期性的探究

周期性是三角函數(shù)不同于指對冪函數(shù)的特有性質(zhì)，利用單位圓更能使學(xué)生得到三角函數(shù)的周期性.在此過程中，教師可通過誘導(dǎo)學(xué)生通過圖形(單位圓)形成直觀感受，再用代數(shù)的方法給出數(shù)學(xué)證明，讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的思想.

例1 證明f(α)=sinα的最小正周期為2π.

總結(jié)對于一個(gè)問題如果從正面難以突破時(shí)，我們就要學(xué)會從其反面思考，敢于突破思維限制.本題如從定義入手進(jìn)行證明會略顯困難，而采用反證法則簡練易懂.

2 奇偶性的探究

研究函數(shù)的奇偶性，有代數(shù)和幾何兩個(gè)角度，在不知正弦函數(shù)圖象的情況下，只能通過奇偶函數(shù)的代數(shù)定義來探究.將研究sinα和sin(-α)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究α和-α的終邊關(guān)系，其本質(zhì)仍是在利用三角函數(shù)的定義.

因?yàn)檎液瘮?shù)的定義域?yàn)镽，因此我們自然會思考正弦函數(shù)是否具有奇偶性.研究正弦函數(shù)的奇偶性，本質(zhì)上研究的是對于任意的α，sinα和sin(-α)的關(guān)系.通過研究α和-α這兩個(gè)角終邊的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，α和-α的終邊關(guān)于x軸對稱，因此它們的終邊和單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即-sinα=sin(-α)，因此正弦函數(shù)是奇函數(shù).

結(jié)合周期性，可以得到對于f(α)=sinα，f(α+2π)=f(α)以及-f(α)=f(-α)都是恒成立的，因此有f(α+2π)+f(-α)=0也恒成立，可以得到正弦函數(shù)關(guān)于(π,0)中心對稱.

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3 正弦函數(shù)單調(diào)性的探究

從單位圓中能根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向直觀體現(xiàn)角的變化規(guī)律，同時(shí)也可直觀體現(xiàn)角終邊的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化規(guī)律.對于周期函數(shù)，我們往往只需要研究其一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)即可，這種思想適用于研究所有的周期函數(shù).通過單位圓研究三角函數(shù)在一個(gè)周期的單調(diào)性，得到三角函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性是十分直觀的！

例2 選定一個(gè)周期來研究f(α)=sinα的單調(diào)性.

例3 利用正弦函數(shù)的周期性給出f(α)=sinα在R上的單調(diào)性.

4 最值的探究

例4 在單位圓中思考：f(α)=sinα何時(shí)取到最大值1，何時(shí)取到最小值-1.

通過對單位圓這一數(shù)學(xué)工具的利用，探究了正弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值，同樣的方法也可以應(yīng)用到余弦函數(shù)的探究上，具體方法如下.

5 掌握單位圓的基本要求

5.1 理清三角函數(shù)模型

如果要精確定義三角函數(shù)，則通常選擇一個(gè)特定的單位圓點(diǎn)并將其視為必要的定義坐標(biāo).通過使用上述定義方法，可以突出三角函數(shù)的一般特性，并在此前提下緊密聯(lián)系余弦和正弦函數(shù).同時(shí)，在三角函數(shù)和單位圓相互結(jié)合的狀態(tài)下，學(xué)生可以快速識別出縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間的特定聯(lián)系，從而反映出最基本的函數(shù)特性.

5.2 簡化問題解決流程

如果三角函數(shù)線和單位圓實(shí)現(xiàn)相交關(guān)系，將有助于簡化相應(yīng)的問題解決過程.具體而言，三角函數(shù)涉及域和周期特征，如果給出了單位圓對應(yīng)著的某點(diǎn)坐標(biāo)，那么將會由此而得出重復(fù)性的圓周長度.具體來說，每當(dāng)角α旋轉(zhuǎn)一定范圍時(shí)，就會出現(xiàn)一個(gè)可重復(fù)的圓，直到它回到原來的角度位置為止.

5.3 理解數(shù)形結(jié)合思想

為了節(jié)省學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)間，如果能引入單位圓作為解題的輔助，就能突顯數(shù)形結(jié)合的價(jià)值所在，對于整個(gè)解題流程也增強(qiáng)了直觀性.由上述研究實(shí)例可見三角函數(shù)和單位圓的靈活組合有助于突出直觀性和生動性，借助圖形可以快速實(shí)現(xiàn)特定的數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)過程.同時(shí)，單位圓本身也具有對稱性，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)出公式的有序推導(dǎo)，構(gòu)成了一個(gè)有機(jī)的整體.

通過三角函數(shù)定義的引入，讓學(xué)生先嘗試?yán)枚x來探究三角函數(shù)的性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，其次通過實(shí)例讓學(xué)生體驗(yàn)通過自身努力去發(fā)現(xiàn)新事物的樂趣，同時(shí)在探究過程中從形與數(shù)兩個(gè)角度對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)加以研究和證明，加深了學(xué)生對三角函數(shù)的理解并體會數(shù)學(xué)探索過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性.最后，在已有的研究基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法來研究出余弦函數(shù)的性質(zhì)，并且通過比較正余弦函數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用平移由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到余弦函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也開拓了學(xué)生的視野.雖然這節(jié)課從借助單位圓來探究正余弦函數(shù)的性質(zhì)總體上是比較方便的，但是也有一些點(diǎn)對于學(xué)生有一定難度，例如在探究正弦函數(shù)單調(diào)性時(shí)區(qū)間的選擇，此外，如何利用單位圓去發(fā)現(xiàn)正余弦函數(shù)的其他性質(zhì)也是值得思考的一個(gè)地方.

通過以上分析，我們可以看到三角函數(shù)和單位圓之間存在固有的聯(lián)系.當(dāng)面對特定的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果高中生可以引入單位圓作為輔助來解決問題，他們可以突出數(shù)與形組合的價(jià)值，并增強(qiáng)整個(gè)問題解決過程的直觀性.因此，在解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐中，學(xué)生仍然需要不斷積累解決問題的經(jīng)驗(yàn).必須為不同類型的三角函數(shù)選擇靈活的解決方案，以簡化解決問題的過程.