以分段函數(shù)為背景函數(shù)零點問題的解法及反思

劉忠?guī)r

(山東省東明縣職業(yè)中等專業(yè)學校 274500)

1 真題呈現(xiàn)

此題以分段函數(shù)為問題背景，合理交匯與融合了分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、函數(shù)的零點個數(shù)、一元二次方程根的分布以及參數(shù)的取值范圍等相關問題，破解的基本思想方法是等價轉化、數(shù)形結合與分類討論等，利用導數(shù)、一元二次方程、不等式與基本不等式、函數(shù)的圖象與性質以及特殊值等進行分析與確定參數(shù)的取值范圍．

2 真題破解

方法1(數(shù)形結合法1)若函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個零點，則方程f(x)=|kx2-2x|有四個根，即函數(shù)y=f(x)與y=h(x)=|kx2-2x|的圖象有四個不同的交點.

當k=0時，y=f(x)與y=|-2x|=2|x|的圖象如圖1，兩圖象只有兩個交點，不符合題意；

圖1 圖2 圖3

點評根據(jù)題目條件，將問題轉化為方程f(x)=|kx2-2x|有四個根，即函數(shù)y=f(x)與y=h(x)=|kx2-2x|的圖象有四個不同的交點，再分三種情況:當k=0時，當k<0時，當k>0時，討論兩個函數(shù)是否能有4個交點，進而得出k的取值范圍．不同情況下對應不同的函數(shù)圖象，數(shù)形結合，合情推理．

方法2 (數(shù)形結合法2)由于函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點，則函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個交點，作出函數(shù)y=f(x)的草圖.

圖4 圖5

當k<0時，如圖4，此時兩函數(shù)的圖象有4個交點(在右邊足夠遠時有1個交點)；

當k>0時，如圖5，兩函數(shù)的圖象相交時，此時兩函數(shù)的圖象有4個交點.

當k=0時，顯然不成立.

故選D．

點評根據(jù)題目條件，直接把函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點，轉化為函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個交點，從而利用參數(shù)k的分類討論，通過k<0，k>0以及k=0三種不同情況下的函數(shù)圖象加以數(shù)形直觀，結合方程的轉化與判別式的應用來確定參數(shù)的取值范圍問題．

當k=0時，此時y=2.

當k<0時，如圖7，

當k>0時，如圖8，當y=kx-2與y=x2相切時，

聯(lián)立方程,得x2-kx+2=0，

圖6 圖7 圖8

故選D．

方法4 (特殊值排除法)由于函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點，所以函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個交點，作出函數(shù)y=f(x)的草圖，構造函數(shù)h(x)=|kx2-2x|=|x(kx-2)|.

(1)當k→+∞時，結合二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)圖象的張口逐漸變小，如圖9所示，可以判斷兩函數(shù)的圖象有4個交點，由此可以排除選項B,C；

故選D．

圖9 圖10

點評根據(jù)題目條件，直接把函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點，轉化為函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個交點，小題小做，通過特殊值的合理選取，結合k→+∞時二次函數(shù)圖象的開口變形趨勢加以動態(tài)分析，快速排除；

3 解后反思

涉及函數(shù)的零點個數(shù)問題是歷年高考中的?？碱}型，難度中等、背景多變、形式多樣，可以確定零點個數(shù)，可以確定參數(shù)取值等，是知識交匯與融合的一大場所．此類問題的破解基本思路是，函數(shù)的零點個數(shù)問題等價轉化為相應的方程的根的個數(shù)問題，而對于不能直接求解方程的問題時，往往又可以轉化為兩個易于作圖的函數(shù)的圖象問題，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)來等價轉化與處理．