加法噪聲驅(qū)動的隨機Lorenz系統(tǒng)吸引子及其上半連續(xù)性

劉桂芬, 趙文強

(重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400067)

0 引 言

Lorenz系統(tǒng)是由兩無限平板間熱對流模型推導出的大氣流體動力學模型[1]，其被廣泛研究[2-3]。Lorenz吸引子是確定性混沌的一個例子，Stewart[4]首次通過嚴密的推論證明了非隨機情形吸引子的存在，在此之前只能通過計算機數(shù)值模擬近似產(chǎn)生，隨后全局吸引子的存在性由Robinson[5]和Temam[6]獲得。Robinson通過建立中心在z軸上足夠大的球體證明了非隨機情形的全局吸引子的存在性，較Temam對系統(tǒng)參數(shù)加以限制的證明更巧妙。然而，實際大氣流體受不確定性因素影響，比如海嘯、地震等，非隨機情形的Lorenz系統(tǒng)無法完全描述這些偶然因素對大氣運動規(guī)律性的影響。

關于隨機Lorenz系統(tǒng)的研究由文獻[7-8]提出，文獻[7]介紹了在解指數(shù)穩(wěn)定的條件下，隨機Lorenz Stenflo系統(tǒng)的全局吸引集的估計與離散分岔行為。最近，SchmallfuB[8]研究了乘法噪聲下Lorenz系統(tǒng)吸引子的存在性和維數(shù)估計。乘法噪聲僅僅增加了乘積因子，沒有改變方程的結(jié)構(gòu)，而在加法擾動下，方程的形式顯著變化，產(chǎn)生了更多的擾動項，方程的結(jié)構(gòu)更復雜。到目前為止，帶加法白噪聲的隨機Lorenz系統(tǒng)吸引子的存在性和上半連續(xù)性問題仍然未知。

考慮如下Lorenz系統(tǒng)在加法噪聲下的隨機動力行為：

(1)

初始條件:x(0)=x0,y(0)=y0,z(0)=z0。在式(1)中，3個變量x,y,z分別表示溫度、濕度和壓力；σ,b,r都為正的實參數(shù)，σ表示普朗特數(shù)，r為瑞利數(shù)；dW1,dW2,dW3代表白噪聲；W(t,ω)=(W1(t,ω),W2(t,ω),W3(t,ω),)為概率空間(Ω,F,P)上的雙邊實值Wiener過程，具體形式在后面給出；ε≥0為噪聲強度。本文擬利用文獻[9]定理3.1關于上半連續(xù)的結(jié)果去研究隨機擾動情況下的Lorenz系統(tǒng)隨機吸引子的存在性及上半連續(xù)性等。在對解的估計過程中，Ornstein-Uhlenbeck的遍歷性具有重要作用，所得結(jié)果沒有對系統(tǒng)的參數(shù)給以其他限制[6]。關于隨機吸引子的相關理論，讀者可參加文獻[10-11]等。

文章的結(jié)構(gòu)如下：第一部分通過變量代換把隨機Lorenz方程組轉(zhuǎn)換成含隨機參數(shù)的確定性方程組；第二部分證明了隨機Lorenz方程組吸引子的存在性；第三部分先驗證了方程組解的積分具有有界性，接著通過不等式估計和Gronwall引理等，研究了當ε→0時，隨機Lorenz方程組的解收斂到確定的方程的解，最后驗證了隨機吸引子的上半連續(xù)性。

1 隨機動力系統(tǒng)

本文涉及的概率空間為三維Wiener概率空間(Ω,F,P)，也就是說

F是由Ω生成的Borelσ-代數(shù)，P是(Ω,F,P)上的Wiener測度，把三維的Wiener過程W(t,ω)和Ω中的連續(xù)函數(shù)ω(t)=(ω1(t),ω2(t),ω3(t))等同，并定義時間平移θtω(s)=ω(s+t)-ω(t)，ω∈Ω，s,t∈R，可以驗證(Ω,F,P,(θt)t∈R)為距離動力系統(tǒng)。

現(xiàn)在為了將連續(xù)隨機動力系統(tǒng)與隨機Lorenz方程組聯(lián)系起來，需要將帶有隨機附加項的方程組變換轉(zhuǎn)化為帶有隨機參數(shù)的確定性方程組。為此考慮O-U隨機微分方程：

dηj+λjηjdt=dωj(t),λj>0,j=1,2,3

(2)

可以很容易得到式(2)的解為

ηj(t)=ηj(θtωj)=

需要滿足一定的條件：

用O-U過程先對Lorenz方程組式(1)作變量代換，令

x=X+εη1(θtω1)
y=Y+εη2(θtω2)
z=Z+εη3(θtω3)

則原方程組改寫為

(3)

具有初始值:

X(0,0,ω,X0)=x0-εη1(ω1),Y(0,0,ω,Y0)=
y0-εη2(ω2),Z(0,0,ω,Z0)=z0-εη3(ω3)

定義集合族Δ為R3空間中滿足如下指數(shù)收斂條件的隨機集的全體：

(4)

其中，c0=min{σ,b,1}。

2 隨機吸引子的存在性

本節(jié)討論Lorenz系統(tǒng)隨機吸引子的存在性。首先通過恰當?shù)墓烙嫬@得了以(0,0,r+σ)為球心的吸收集的存在性，其中r>0,σ>0沒有其他限制[4]。

引理1 設集合族Δ由式(4)所定義，0<ε≤1，B={B(ω)}ω∈Ω∈Δ，則對P-a.e.ω∈Ω，{x0(θ-tω),y0(θ-tω),z0(θ-tω)}∈B(θ-tω)，存在T(B,ω)>0，使得對所有的t≥T(B,ω),有x2(t,0,θ-tω,x0(θ-tω))+y2(t,0,θ-tω,y0(θ-tω))+z2(t,0,θ-tω,z0(θ-tω))≤r(ω)，其中：

(b(r+σ)2+c1εM2(θsω))ds+2(r+σ)2

為有限的隨機變量，這里c0,c1為確定的正常數(shù)。

證明根據(jù)方程組式(3)，可得

(5)

下面對上述不等式右端的每一項給出恰當?shù)墓烙?。注意到假設σ,r,b>0，則運用Young不等式，式(5)中右邊各項分別估計為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

其中,c1為依賴于σ,b,r的確定的正常數(shù)。在式(12)中，運用Gronwall引理，并令s-t=s′,r-t=r′,有

則存在充分大的T0，當t>T0時成立,有

故當t>T0時，有

(13)

容易驗證式(13)右端第二項中的積分是有限的。由變量代換x=X+εη1(θtω1)，y=Y+εη2(θtω2)，z=Z+εη3(θtω3)，即有

因為{x0(θ-tω),y0(θ-tω),z0(θ-tω)}∈B(θ-tω)和M1(θ-tω)關于t最多二次多項式增長，因此存在T1>T0，當所有的t>T1時，有

從而引理1得證。

根據(jù)方程組式(1)的解算子{x(t,0,ω,x0),y(t,0,ω,y0),z(t,0,ω,z0)}定義隨機動力系統(tǒng)φ：φ(t,ω,(x0,y0,z0))=(x(t,0,ω,x0),y(t,0,ω,y0),z(t,0,ω,z0))。令K(ω)={(x,y,z):x2+y2+z2≤r(ω),ω∈Ω},半徑r(ω)由引理1確定，則有如下存在性結(jié)果。

定理1 對任意的ε∈(0,1],由Lorenz方程組式(1)確定的隨機動力系統(tǒng)φ存在唯一的Δ-隨機吸引子{A(ω)}ω∈Ω,其中

證明由引理1, 對ω∈Ω及任意的x∈R3,有

3 隨機吸引子的上半連續(xù)性

為了獲得隨機吸引子的上半連續(xù)，需要證明隨機Lorenz方程組的解關于參數(shù)ε的收斂結(jié)果，為此預先證明解的積分有限。

引理2 設ε∈(0,1],ω∈Ω,T>0,(Xε,Yε,Zε)是方程組式(3)當初值為(Xε(0),Yε(0),Zε(0))時的解，則存在常數(shù)c1(T,ω)和c2(T,ω)，使得對?t∈(0,T],有

其中，xε(0)=Xε(0)+εη1(ω1),yε(0)=Yε(0)+εη2(ω2),zε(0)=Zε(0)+εη3(ω3)。

證明由O-U過程的連續(xù)性可知，對?T>0,?N(T,ω)>0,使得對?t∈(0,T]，成立：

(14)

由式(13)得到：

(15)

(16)

注意到Zε2(s)≤2(Zε(s)-r-σ)2+2(r+σ)2，故存在正常數(shù)c1(T,ω)和c2(T,ω)，成立：

結(jié)果得證。

(17)

運用Young不等式，對式(17)右端各項分別估計，下面記c為通用常數(shù)，有

(18)

(19)

于是結(jié)合式(17)—式(19)，令k0=max{2r2,2σ}，則有

由此運用Gronwall引理得，有

再次利用O-U過程的連續(xù)性，?N1(T,ω)，使得對t∈(0,T],M1(θtω)≤N1(T,ω),M2(θtω)≤N1(T,ω),由引理1的結(jié)果，可得:

(20)

由式(20)可得:

(xε(t)-x(t))2+(yε(t)-y(t))2+(zε(t)-z(t))2→0

從而引理2得證。

定理3 設{Aε(ω)}ω∈Ω是方程式(1)生成的隨機動力系統(tǒng)φε的隨機吸引子，A0是方程組式(1)當ε=0時所得的確定性動力系統(tǒng)φ0的全局吸引子，則對P-a.e.ω∈Ω成立，有

成立，根據(jù)引理1，有