非等時(shí)距灰色模型在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用*

崔 偉，張緒濤，阮興群，孟凡濤

(1.聊城大學(xué)建筑工程學(xué)院，山東 聊城 252000；2.山東華科規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)有限公司，山東 聊城 252000)

0 引言

沉降監(jiān)測和預(yù)測是保證建筑物安全質(zhì)量的重要方式[1-3]。當(dāng)今我國城市化建設(shè)快速推進(jìn)，尤其是高層建筑拔地而起，但是隨著建筑物高度不斷增加、荷載不斷加大以及監(jiān)測預(yù)測分析未能及時(shí)跟進(jìn)，造成了大量工程事故[4]。為此把握地基沉降發(fā)展規(guī)律并進(jìn)行沉降預(yù)測有非常重要的意義[5]。國內(nèi)學(xué)者對(duì)于建筑物沉降預(yù)測進(jìn)行了大量研究：陳威等[6]將三點(diǎn)法與灰色模型(grey model，GM)相組合進(jìn)行路基沉降預(yù)測，結(jié)果表明該方法可較好地用于路基沉降預(yù)測；姜獻(xiàn)東等[7]將灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用于軟基沉降預(yù)測；單瑞等[8]通過牛頓插值平均法與泊松曲線相結(jié)合的方式應(yīng)用于高層建筑沉降預(yù)測中，結(jié)果表明泊松曲線預(yù)測與實(shí)際沉降預(yù)測曲線吻合性較好，擬合精度較高；劉光秀等[9]通過建立灰色-Gompertz組合模型,對(duì)高速公路軟土路基進(jìn)行沉降預(yù)測分析，取得了良好效果。但是，目前建立的建筑物沉降預(yù)測模型大多算法繁雜不易實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而影響工程實(shí)際應(yīng)用。

為提高預(yù)測模型的序列應(yīng)用性和預(yù)測結(jié)果的可靠性，滿足工程實(shí)際應(yīng)用，引入組合思維，根據(jù)聊城市昌潤祥荷園8號(hào)樓實(shí)測數(shù)據(jù)，通過三次樣條插值和灰色模型相結(jié)合，建立起非等時(shí)距灰色模型，將實(shí)測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)對(duì)比分析，驗(yàn)證本文方法的可行性，并采用控制變量法，對(duì)時(shí)間間隔和觀測次數(shù)兩種因素進(jìn)行了精度分析，為構(gòu)建高精度預(yù)測模型提供借鑒。

1 非等時(shí)距灰色模型

1.1 三次樣條插值法下的等時(shí)距數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化

三次樣條插值[10]是依據(jù)數(shù)學(xué)方法，在樣點(diǎn)之間進(jìn)行插值估算，生成平滑曲線的方法。其數(shù)學(xué)定義如下：若函數(shù)S(x)∈C2[a,b],區(qū)間[a,b]之間存在著數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)a=x0

(1)

(2)

對(duì)該矩陣進(jìn)行求解得其結(jié)果，代入式(1)，可以得到每個(gè)小區(qū)間的三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式。

考慮到三次樣條插值計(jì)算量較大，為此在本文中，利用軟件Matlab工具箱的spline函數(shù)[11]完成上述計(jì)算。具體代碼如下。

4)插值估算所求時(shí)間的對(duì)應(yīng)沉降量：m′=spline(t,p,t′)。

通過上述過程，原始沉降數(shù)據(jù)就轉(zhuǎn)化成為了等時(shí)距沉降數(shù)據(jù)，為下一步非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的建立提供應(yīng)用基礎(chǔ)。

1.2 非等時(shí)距灰色模型的建立

在灰色系統(tǒng)理論中，灰色模型[12-14]建模算法簡單，預(yù)測精度高，但觀測時(shí)間不是等間隔的。本文所建立的非等時(shí)距灰色模型突破了傳統(tǒng)灰色模型應(yīng)用的障礙，是應(yīng)用相對(duì)簡便而且充分挖掘有價(jià)值信息的建模方法，其應(yīng)用性有巨大潛力。

1)設(shè)非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的原始序列為X0：

X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}

(3)

2)對(duì)非等時(shí)距灰色預(yù)測模型原始數(shù)列進(jìn)行累加，可以得到新的數(shù)列X(1)：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(4)

3)X(1)的緊鄰均值生成序列Z(1)；

Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}

(5)

式中：Z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(6)

其時(shí)間響應(yīng)式為：

(7)

4)采用最小二乘的理論方法計(jì)算得到灰度參數(shù)值，參數(shù)a,b可以通過建立微分方程求解：

(8)

(9)

5)計(jì)算可以求取參數(shù)a,b然后代入(7)即可得到非等時(shí)距灰色預(yù)測模型。

6)將非等時(shí)距灰色預(yù)測模型計(jì)算新生成的數(shù)列累減還原,得到模型的擬合值或預(yù)測值。

(10)

式中：k為時(shí)間序列，k=2,3…n。

以上非等時(shí)距灰色模型建立過程。

1.3 非等時(shí)距灰色模型的精度檢驗(yàn)

非等時(shí)距灰色模型精度評(píng)定具體標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。

表1 模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)

預(yù)測模型的精度大小是由均方差比C和小誤差概率P決定,其計(jì)算公式為：

(11)

(12)

(13)

1.4 非等時(shí)距灰色模型的算法流程

根據(jù)以上內(nèi)容分析，對(duì)于本文的非等時(shí)距灰色模型算法流程進(jìn)行簡要總結(jié)：首先將建筑物原始沉降數(shù)據(jù)利用Matlab工具箱完成三次樣條插值，得到基于原始數(shù)據(jù)的等時(shí)距序列，其次進(jìn)行非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的建立，得到預(yù)測沉降數(shù)據(jù)。然后進(jìn)行預(yù)測值與實(shí)測值的沉降量精度對(duì)比，計(jì)算平均相對(duì)誤差、小誤差概率、均方差比值，具體流程如圖1所示。

圖1 沉降預(yù)測計(jì)算流程

2 工程應(yīng)用實(shí)例

為分析非等時(shí)距灰色預(yù)測模型應(yīng)用于建筑物沉降預(yù)測的精度效果，根據(jù)聊城昌潤祥荷園8號(hào)樓J81實(shí)測數(shù)據(jù)，利用Matlab代碼編程進(jìn)行三次樣條插值法處理，隨后進(jìn)行非等時(shí)距灰色模型的建模，并對(duì)預(yù)測模型進(jìn)行精度分析。

2.1 項(xiàng)目概況

昌潤祥荷園8號(hào)樓高層住宅樓項(xiàng)目位于聊城市東昌路以北、徒駭河以西新征地塊。共1棟27層高層住宅樓。建筑物主體沉降觀測點(diǎn)使用0.3mm精密水準(zhǔn)儀觀測，采用閉合線路二等水準(zhǔn)測量。沉降點(diǎn)布置如圖2所示。

圖2 平面沉降點(diǎn)布置

2.2 沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理

聊城昌潤祥和園8號(hào)樓J81實(shí)測沉降數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 聊城昌潤祥荷園8號(hào)樓J81實(shí)測沉降數(shù)據(jù)資料

根據(jù)上文非等時(shí)距灰色預(yù)測模型理論可知，表2的沉降觀測數(shù)據(jù)均是非等時(shí)距的，而所建立的灰色預(yù)測模型是建立在原始數(shù)據(jù)等時(shí)距基礎(chǔ)上的，為此必須進(jìn)行等時(shí)距處理，方便進(jìn)行下一步建模工作。本次采用三次樣條插值法處理原始沉降數(shù)據(jù)J81,采用等時(shí)間間隔為30d，J81沉降點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)經(jīng)過三次樣條插值法得到的等時(shí)距沉降數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 聊城昌潤祥荷園8號(hào)樓J81等時(shí)距沉降數(shù)據(jù)

通過三次樣條插值法得到等時(shí)距沉降量，其中1～20屬于內(nèi)插數(shù)值，21屬于外推數(shù)值。為保證精度要求，下面對(duì)插值效果進(jìn)行定性定量分析，如圖3所示。

圖3 J81實(shí)測曲線與三次樣條插值曲線效果

由圖3可以看出，三次樣條插值法的插值效果是很滿意的，究其原因，在于三次樣條插值法并不是線性插值，區(qū)別于線性插值的隆起不平帶來的曲線連續(xù)性差，反觀三次樣條插值法在各段連接之處連續(xù)性好而且各節(jié)點(diǎn)都是光滑連接，因此從根本上保證了插值所得的等間隔序列更加符合工程實(shí)際要求，為建立預(yù)測模型打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.3 非等時(shí)距灰色模型建立

X(1)=

計(jì)算X(1)的相鄰均值序列，記為Z(1)即：

Z(1)=

構(gòu)造矩陣Y與B：

利用式(8)求灰色參數(shù)a=0.414 3，b=12.249 5，則計(jì)算得到觀測點(diǎn)的非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的沉降預(yù)測公式為：

2.4 非等時(shí)距灰色模型精度分析

模型擬合效果比較，比較前15期的擬合精度，如表4所示。

表4 模型擬合效果比較

由表4可知，沉降實(shí)測值與預(yù)測值誤差范圍為-0.560 5～0.785 9，相對(duì)誤差在3%左右。

從檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?種方法上看，精度評(píng)定等級(jí)也很好，滿足了工程要求。其中平均相對(duì)誤差越小越好，小誤差概率越小越好，其中均方差比為0.075 32(見表5)，數(shù)值比較小，說明殘差比較集中，擺動(dòng)幅度小，原始數(shù)據(jù)比較分散，擺動(dòng)幅度大，所以體現(xiàn)的擬合效果是比較好的。

表5 模型擬合精度比較

模型建立的目的是為更好地進(jìn)行沉降預(yù)測，模型預(yù)測結(jié)果比較如表6所示。

表6 模型預(yù)測結(jié)果比較

由表6可知，沉降實(shí)測值與預(yù)測值誤差范圍為-0.594 5～0.041 7，相對(duì)誤差在2%左右。

非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的預(yù)測沉降值曲線與實(shí)測值曲線對(duì)比效果如圖4所示。模型預(yù)測精度比較如表7所示。

綜上所述，結(jié)合圖4以及表5和表7，可以明顯看出擬合結(jié)果、預(yù)測值與實(shí)測值的變化趨勢非常接近，誤差和平均相對(duì)誤差都很小，由此可見非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的擬合程度較好，能夠很好地反映出建筑物沉降變化規(guī)律。

3 影響非等時(shí)距灰色模型精度的關(guān)鍵問題

非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的精度是建筑物沉降預(yù)測的核心問題，因此通過對(duì)整個(gè)建模過程的思考來看，時(shí)間間隔、累計(jì)沉降觀測數(shù)量這兩個(gè)關(guān)鍵問題的選取顯得至關(guān)重要。故本文采用控制變量法，對(duì)時(shí)間間隔和觀測次數(shù)兩種因素進(jìn)行了預(yù)測模型精度分析，為構(gòu)建高精度的非等時(shí)距灰色預(yù)測模型提供借鑒。

3.1 不同等時(shí)間間隔下相同觀測次數(shù)的精度分析

本文中選取不同時(shí)間間隔為T=30，T=60，T=120，控制相同的觀測次數(shù)為20，進(jìn)行預(yù)測模型的預(yù)測值與實(shí)測值精度分析。

通過實(shí)測插值沉降量和非等時(shí)距灰色建模理論由此可以分別得到T=30，T=60，T=120的非等時(shí)距灰色預(yù)測模型表達(dá)式：

(k=2,3,…,n)

(14)

(k=2,3,…,n)

(15)

(k=2,3,…,n)

(16)

由非等時(shí)距灰色預(yù)測模型表達(dá)式可計(jì)算各時(shí)段的沉降預(yù)測值，得到各觀測點(diǎn)的沉降預(yù)測曲線，從而與實(shí)際沉降觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如表8所示。

進(jìn)一步計(jì)算T30，T60，T120的平均相對(duì)誤差分別為：1.35%，2.39%，2.04%。

為進(jìn)一步觀察出預(yù)測模型的精度，繪制實(shí)測曲線與相同觀測次數(shù)下不同等間隔T30，T60，T120的曲線對(duì)比效果如圖5所示。

通過表8與圖5，可以很明顯看出等時(shí)間間隔為30d的預(yù)測模型精度更優(yōu)，更加貼近實(shí)測曲線，結(jié)果表明不同時(shí)間間隔，控制不同的沉降觀測次數(shù)所建立的模型，表明短時(shí)間間隔的預(yù)測模型精度更好。

圖5 實(shí)測曲線與相同觀測次數(shù)下不同等間隔的曲線對(duì)比效果

表8 不同等時(shí)間間隔下相同觀測次數(shù)的誤差統(tǒng)計(jì)

3.2 不同觀測次數(shù)下相同等時(shí)間間隔的精度分析

其次控制相同的時(shí)間間隔為T30，不同的觀測次數(shù)。選用10組、15組以及20組建立預(yù)測模型進(jìn)行精度分析，如表9所示。

表9 不同觀測次數(shù)下相同等時(shí)間間隔的誤差統(tǒng)計(jì)

通過計(jì)算可以得到10組、15組以及20組所建預(yù)測模型的平均相對(duì)誤差分別為：2.93%，2.92%，1.32%。

為更清晰觀察其預(yù)測效果，繪制實(shí)測曲線與相同時(shí)間間隔T30下不同觀測次數(shù)10組、15組、20組的曲線對(duì)比效果，如圖6所示。

圖6 實(shí)測曲線與相同時(shí)間間隔T30下不同觀測次數(shù)曲線對(duì)比效果

通過對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)20組所建立的灰色預(yù)測模型預(yù)測精度是更優(yōu)的。結(jié)果表明:相同的時(shí)間間隔，不同的沉降觀測次數(shù)所建預(yù)測模型，長時(shí)間觀測次數(shù)的預(yù)測模型精度更優(yōu)。

4 結(jié)語

1)通過本文所建立的非等時(shí)距灰色模型，對(duì)建筑物沉降進(jìn)行預(yù)測，其擬合效果是滿足要求的，精度水平也達(dá)到了一級(jí)，從而驗(yàn)證了本文非等時(shí)距灰色模型在建筑物沉降預(yù)測中的可行性，也為其他類似工程預(yù)測提供了參考。

2)三次樣條插值法處理建筑物實(shí)測數(shù)據(jù)，尤其是在非等時(shí)距序列方面體現(xiàn)出優(yōu)越的擬合效果，其主要因?yàn)槭橇己檬諗啃?、穩(wěn)定性優(yōu)越以及二階光滑度即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)等特點(diǎn)，可以在工程數(shù)據(jù)處理中起到重要作用，為其他類似工程數(shù)據(jù)處理提供借鑒。

3)本文所建立的非等時(shí)距灰色預(yù)測模型設(shè)置了兩個(gè)控制因素(時(shí)間間隔和觀測數(shù)據(jù)量)，當(dāng)這兩個(gè)控制因素取值不同時(shí)，模型預(yù)測結(jié)果的精度也不同。選擇短時(shí)間間隔且長時(shí)間觀測次數(shù)的預(yù)測模型精度上會(huì)得到更好的預(yù)測效果，增加了預(yù)測模型的可調(diào)節(jié)性和優(yōu)化可能性。