概率與二項(xiàng)式定理的交會應(yīng)用

路海蓮

(山東省梁山現(xiàn)代高級中學(xué))

在高考數(shù)學(xué)中，概率與二項(xiàng)式定理的交會應(yīng)用問題是實(shí)際應(yīng)用問題中的一大創(chuàng)新熱點(diǎn)，其背景新穎，綜合性、應(yīng)用性強(qiáng)，運(yùn)算量大，技巧性強(qiáng).此類問題合理將二項(xiàng)式定理融入概率問題之中，用來破解概率問題中的最值、比較大小、證明不等式等相關(guān)問題，突出了數(shù)學(xué)不同知識之間的相互聯(lián)系與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識解題的能力.

1 最值問題

例1為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶)，階梯級別如表1所示.

表1

某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表(如表2).

表2

(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算某戶居民用電410度時應(yīng)交的電費(fèi);

(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(3)以表2中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.

思維導(dǎo)引:

分析(1)利用題目條件通過分段函數(shù)求解階梯電價的電費(fèi)問題;(2)設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為ξ，根據(jù)題目條件確定對應(yīng)變量的可能取值，利用組合數(shù)公式分別求解對應(yīng)的概率，得到相應(yīng)的分布列，并求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望;(3)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)建立對應(yīng)的概率公式，通過不等式組的建立和求解確定參數(shù)k的值.

解(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).

(2)設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為ξ，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則ξ可能的取值為0，1，2，3，有

故ξ的分布列如表3所示.

表3

(3)設(shè)從全市中抽取10戶，其中用電量為第一階梯的有X戶，則可知P(X＝k)＝由

點(diǎn)評利用題目中概率最值的相關(guān)條件以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式合理建立所對應(yīng)的方程組，這是破解問題的關(guān)鍵所在.通過相應(yīng)的二項(xiàng)式定理的展開與應(yīng)用，利用組合數(shù)公式與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為求解概率中的相關(guān)最值問題提供運(yùn)算基礎(chǔ).總之，解題時要善于合理化簡，巧妙轉(zhuǎn)化.

2 比較大小

例2甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況，可知每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽，記甲贏得比賽的概率為P(n).

(1)求P(2)與P(3)的值;

(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論.

思維導(dǎo)引:

分析(1)P(2)表示甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可求解相應(yīng)的概率，同理可求出P(3)的值;(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解P(n)的表達(dá)式，同理可確定P(n＋1)的表達(dá)式，通過作商進(jìn)行比值運(yùn)算，再應(yīng)用二項(xiàng)式定理比較大小即可.

解(1)若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以

同理，有

(2)在2n局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n＋1，故

又因?yàn)?/p>

點(diǎn)評

涉及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率、數(shù)學(xué)期望、方差等問題的大小比較，經(jīng)常要先利用二項(xiàng)式定理和有關(guān)公式進(jìn)行合理運(yùn)算.通過二項(xiàng)式定理的變形與轉(zhuǎn)化，化簡P(n)的表達(dá)式，利用作差比較法或作商比較法，并結(jié)合組合數(shù)公式與性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)放縮，從而得以解決比較大小關(guān)系問題.總之，合理運(yùn)算，巧妙轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

3 證明不等式

例3已知一個口袋中有m個白球和n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)逐個取出，并放入編號為1，2，3，…，m＋n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k＝1，2，3，…，m＋n).

(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;

(2)隨機(jī)變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，求證:

思維導(dǎo)引:

分析(1)結(jié)合組合數(shù)，利用等可能事件的概率確定編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率;(2)先確定最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)所對應(yīng)的隨機(jī)變量X的概率分布，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式加以運(yùn)算，最后利用二項(xiàng)式定理、組合數(shù)公式與性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)放縮，從而證明對應(yīng)的不等式成立.

解(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為

(2)隨機(jī)變量X的概率分布如表4所示.

表4

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

所以

點(diǎn)評

在分析或證明概率中對應(yīng)的不等式問題時，經(jīng)常通過概率、數(shù)學(xué)期望、方差，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再應(yīng)用二項(xiàng)式定理，借助組合數(shù)公式或性質(zhì)的變形與運(yùn)算，最后聯(lián)系條件與結(jié)論合理推理與論證，從而所求問題得以分析、求解或證明.

4 變式練習(xí)

變式某中學(xué)組織學(xué)生前往電子科技產(chǎn)業(yè)園，學(xué)習(xí)加工制造電子產(chǎn)品.該電子產(chǎn)品由A，B兩個系統(tǒng)組成，其中A系統(tǒng)由3個電子元件組成，B系統(tǒng)由5個電子元件組成.各個電子元件能夠正常工作的概率均為p(0＜p＜1)，且每個電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.每個系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則該系統(tǒng)可以正常工作，否則就需要維修.

(2)當(dāng)該電子產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，需要對該電子產(chǎn)品A，B兩個系統(tǒng)進(jìn)行檢測.從A，B兩個系統(tǒng)能夠正常工作概率的大小判斷，應(yīng)優(yōu)先檢測哪個系統(tǒng)?

解析

(1)A系統(tǒng)需要維修的概率為

B系統(tǒng)需要維修的概率為

設(shè)X為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個數(shù)，則

則ξ的分布列如表5所示.

表5

(2)A系統(tǒng)3個元件至少有2個正常工作的概率為PA＝C23·p2·(1－p)＋p3＝－2p3＋3p2，B系統(tǒng)5個元件至少有3個正常工作的概率為

則

由于0＜p＜1，令f(p)＞0，解得所以，當(dāng)時，B系統(tǒng)比A系統(tǒng)正常工作的概率大，當(dāng)該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，優(yōu)先檢測A系統(tǒng);當(dāng)時，A系統(tǒng)比B系統(tǒng)正常工作的概率大，當(dāng)該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，優(yōu)先檢測B系統(tǒng);當(dāng)時，A系統(tǒng)與B系統(tǒng)正常工作的概率相等，當(dāng)該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，A，B系統(tǒng)檢測不分次序.

借助概率與二項(xiàng)式定理的交會，巧妙在概率問題中利用二項(xiàng)式定理加以運(yùn)算與應(yīng)用，往往需利用概率問題求出概率或數(shù)學(xué)期望關(guān)于n的表達(dá)式，借助二項(xiàng)式定理合并、化簡，再利用組合數(shù)的性質(zhì)加以分析與轉(zhuǎn)化，從而得以破解相應(yīng)的概率問題.此類交會問題很好地詮釋了概率的實(shí)際應(yīng)用，從而有效考查創(chuàng)新應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).