對(duì)于一類矩陣方程組對(duì)稱解的探索與實(shí)踐

呂睿星,孫王杰,馬 俊

(吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林 132022)

約束矩陣方程組的求解問題在振動(dòng)理論、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)辨識(shí)、數(shù)學(xué)控制理論、振動(dòng)理論、地質(zhì)學(xué)等諸多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域中有重要的地位,是數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域的重要部分,目前為止,也取得了豐碩的研究成果.彭亞新用迭代法系統(tǒng)研究了一系列矩陣方程及方程組的多種約束解,包括對(duì)稱解及其最佳逼近等問題[1]；吳忠懷和彭亞新研究了矩陣方程組A1XB1=C1,A2XB2=C2的迭代算法[2]；陳世軍和張凱院研究了A1XB1+C1XD1=F1,A2XB2+C2XD2=F2對(duì)稱解的迭代算法[3]；周昱潔用多步迭代算法研究了幾類矩陣方程的一般解、對(duì)稱解及反對(duì)稱解問題[4].約束矩陣方程組的應(yīng)用范圍十分廣泛,在有限元、時(shí)間序列分析、信號(hào)處理、粒子物理學(xué)等諸多方面都具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景[5-13].

本文主要研究矩陣方程組在不同維子空間上求解相容矩陣方程組M1Y1N1+M2Y2N2=P1,

M3Y1N3+M4Y2N4=P2的對(duì)稱解的迭代方法.具體研究問題如下：

問題1給定M1,M3∈Rp×n1；M2,M4∈Rp×n2；N1,N3∈Rn1×q；N2,N4∈Rn21×q；Pi∈Rp×q,

(i=1,2),求[Y1,Y2],(其中Yi∈Si,i=1,2),使得：

其中Si分別取對(duì)稱矩陣集合SRni×ni.

1 解決問題的迭代算法

算法1

(2)計(jì)算：

(4)計(jì)算：

引理2算法1中矩陣列{Ri},{Qi,r},(Ri≠0,i=0,1,2,…k,r=1,2),滿足〈Ri,Rj〉=0,

〈Qi,1,Qj,1〉+〈Qi,2,Qj,2〉=0,(i,j=0,1,2,…k,i≠j).

證明(用數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)k=1時(shí),

進(jìn)一步,由Qk,i(i=1,2)的對(duì)稱性及引理1得：

〈Q0,1,Q1,1〉+〈Q0,2,Q1,2〉=

假設(shè)當(dāng)k≤s時(shí),結(jié)論成立,那么,當(dāng)k=s+1時(shí),

進(jìn)一步,由Qk,i(i=1,2)的對(duì)稱性及引理1得：

〈Qs,1,Qs+1,1〉+〈Qs,2,Qs+1,2〉=

對(duì)于j=1,2,…,s-1,

進(jìn)一步,由Qk,i(i=1,2)的對(duì)稱性及引理1得：

由數(shù)學(xué)歸納法知,引理2成立.

證明如果Ri≠0,(i=0,1,2,…pq-1),那么,根據(jù)引理3得,‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0,

定理2問題1相容的充分必要條件是算法1在迭代過程中存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,使Rk=0或

‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0.

證明充分性.如果存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,使Rk=0,那么問題1顯然是相容的.如果‖Qi,1‖2

+‖Qi,2‖2≠0,那么根據(jù)定理1的證明過程,至多經(jīng)過pq步迭代得到問題1的一個(gè)對(duì)稱解組,故問題1也是相容的.

必要性.如果問題1是相容的,則算法1在迭代過程中存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,使Rk=0或

‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0.事實(shí)上,如果Rk=0,‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0,這與引理3矛盾.

2 結(jié) 論

對(duì)于一類新的矩陣方程組M1Y1N1+M2Y2N2=P1,M3Y1N3+M4Y2N4=P2,提出了一種新的求其對(duì)稱解的迭代算法,使用該算法能夠自動(dòng)判斷不同維子空間上對(duì)稱解的情況.當(dāng)矩陣方程組相容時(shí),能夠得到矩陣方程組的對(duì)稱解.