本科泛函分析課程教學(xué)思政的探討

趙 霞

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

1 泛函分析課程教學(xué)思政的必要性

1.1 泛函分析課程教學(xué)現(xiàn)狀

泛函分析課程是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，是一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生所必須要掌握的分析知識(shí)，這些分析知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程的基礎(chǔ)。這個(gè)課程邏輯性強(qiáng)，具有一定難度系數(shù)，學(xué)生們總認(rèn)為泛函分析是一門枯燥乏味，極難理解的課程。

泛函分析課程主要以課堂教學(xué)為主，講授過(guò)程主要以課本知識(shí)點(diǎn)為中心，通過(guò)對(duì)定義的講解、引理定理的推導(dǎo)以及課后習(xí)題的解答完成泛函分析的教學(xué)。整個(gè)課程主要目的是使學(xué)生們學(xué)習(xí)好泛函分析這門基礎(chǔ)課，掌握好泛函分析的基礎(chǔ)知識(shí)以及相關(guān)結(jié)論，能夠在進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程中應(yīng)用到泛函分析知識(shí)。

1.2 泛函分析課程教學(xué)存在的問(wèn)題

首先，由于泛函分析主要是由大量的定義、定理、公式組成，需要大量的邏輯推理，是一個(gè)難度系數(shù)很大的學(xué)科。其可見的應(yīng)用也是對(duì)其他數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象應(yīng)用，很少具有與實(shí)際生活相結(jié)合的應(yīng)用，從而使同學(xué)們對(duì)泛函分析產(chǎn)生了枯燥乏味，難以理解的想法。

其次，泛函分析課程課堂形式單一，上課以老師講為主。雖然老師全身心投入講解過(guò)程，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的講解由簡(jiǎn)入難，層層遞進(jìn)，推理嚴(yán)密，但對(duì)于學(xué)生的接受情況并不是很了解，不能保證每個(gè)學(xué)生或者大部分的學(xué)生都理解聽懂老師的講解。

再次，泛函分析課程主要以基礎(chǔ)知識(shí)教育為主，融入的德育教育相對(duì)較少。泛函分析是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，表面上看都是定義，公式和定理，看似一門與思政建設(shè)毫無(wú)關(guān)系的學(xué)科，但是數(shù)學(xué)中也會(huì)蘊(yùn)含一些做人做事的道理，以及一些人生觀，價(jià)值觀。老師需要從泛函分析的知識(shí)點(diǎn)以及證明方式方法中去挖掘思政元素，將基礎(chǔ)知識(shí)教育與德育有機(jī)結(jié)合。

2 泛函分析課程教學(xué)思政建設(shè)目標(biāo)

泛函分析是一門基礎(chǔ)學(xué)科，它能夠滲透到很多其他方向。在泛函分析課程的教學(xué)過(guò)程中必須發(fā)揮教師的主觀能動(dòng)性，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入思政元素，將思政與教學(xué)相融合。

2.1 增加對(duì)泛函分析課程的興趣

教師以泛函分析的教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，借助知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)方法等恰當(dāng)?shù)厝谌胨颊?，激發(fā)學(xué)生的想象力與好奇心，增加學(xué)生們對(duì)泛函分析的興趣，使教書育人貫穿課堂始終。

2.2 掌握泛函分析基礎(chǔ)課程

通過(guò)融入思政元素，讓泛函分析基礎(chǔ)知識(shí)與人生哲理相結(jié)合，使知識(shí)點(diǎn)更容易接收消化；通過(guò)采取不同形式的上課方式，讓學(xué)生自行去理解、總結(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，以及知識(shí)點(diǎn)與思政元素之間的聯(lián)系，從而打牢知識(shí)根基。

2.3 樹立正確的人生觀和價(jià)值觀

將泛函分析的知識(shí)點(diǎn)與思政元素相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生正直誠(chéng)信的品質(zhì)、責(zé)任感、創(chuàng)新精神和愛國(guó)精神，幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生今后能更好地融入和服務(wù)社會(huì)。

3 泛函分析課程教學(xué)思政規(guī)劃方案

3.1 轉(zhuǎn)化教學(xué)形式

以課堂講授為主的形式轉(zhuǎn)化為講課和研討相結(jié)合的上課形式。老師都自認(rèn)為全身心投入講解過(guò)程，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的講解也是由易到難、層層遞進(jìn)，但對(duì)于學(xué)生的接收情況并不是很了解，忽略了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度以及教書育人的本質(zhì)。老師首先通過(guò)講課傳授知識(shí)點(diǎn)并進(jìn)行相應(yīng)的思政教育，再通過(guò)研討讓學(xué)生自行去理解總結(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，以及知識(shí)點(diǎn)與思政元素之間的聯(lián)系。講課和研討相結(jié)合的上課形式，既能引起學(xué)生的好奇心，打牢基礎(chǔ)知識(shí)，提高課堂教學(xué)效率，也潛移默化地進(jìn)行了思想教育。

3.2 采取措施吸引學(xué)生興趣

3.2.1 通過(guò)與已學(xué)知識(shí)的結(jié)合

泛函分析主要是將有限維空間的知識(shí)點(diǎn)推廣到無(wú)限維空間，因此我們可以將有限維空間的例子作為引入，加強(qiáng)與基礎(chǔ)課的融會(huì)貫通[1]，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生興趣和好奇心。比如n維歐式空間是度量空間的特殊例子，從而極限、稠密集、連續(xù)映射就可以類似的延拓到度量空間；n維歐式空間也是 Hilbert空間的特殊例子，n維歐式空間里面的內(nèi)積、正交、投影也適用與Hilbert空間；有限維空間中的矩陣是有界線性算子的特例，矩陣的共軛轉(zhuǎn)置對(duì)應(yīng)于有界線性算子的伴隨矩陣，矩陣的特征值對(duì)應(yīng)于有界線性算子的譜。

3.2.2 通過(guò)數(shù)學(xué)家的故事

在泛函分析的教材中，會(huì)看到很多以名字命名的數(shù)學(xué)定理以及數(shù)學(xué)不等式，包括Hilbert空間、Young不等式、Holder不等式、Cauchy不等式、Minkowski不等式、Banach空間、Han-Banach延拓定理、Banach-Steinhaus定理、Baire綱定理等等。我們可以講述上述數(shù)學(xué)家的生平，以及讓學(xué)生們自己去調(diào)查數(shù)學(xué)家的生平并分享他們的故事，體會(huì)數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Ｑ芯褚约八麄儗?duì)科學(xué)真理追求的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。

David Hilbert是天才中的天才，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)世界的亞歷山大”，也被稱為“數(shù)學(xué)界的無(wú)冕之王”。以Hilbert命名的數(shù)學(xué)名詞多如牛毛，有些連Hilbert本人都不知道。比如有一次，Hilbert問(wèn)系里的同事“請(qǐng)問(wèn)什么叫做Hilbert空間？”。Hilbert相信每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都能夠得到解決，這一信念對(duì)數(shù)學(xué)科研工作者具有極大的鼓舞。1930年，Hilbert在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號(hào)的講演中，再次宣稱：“我們必須知道，我們必將知道?！盚ilbert去世后，這句話就永遠(yuǎn)地刻在了他的墓碑上。

Augustin Louis Cauchy曾經(jīng)有個(gè)綽號(hào)叫苦瓜，這是由于他平常不怎么說(shuō)話，如果說(shuō)話也很簡(jiǎn)短，使人摸不著頭緒，像一顆苦瓜一樣。Cauchy的身邊朋友很少，只有一群嫉妒他聰明的人。Cauchy平時(shí)除了看 Lagrange的數(shù)學(xué)書，就是看《效法基督》這種靈修書籍，這使他又獲得了一個(gè)外號(hào)，“腦筋劈哩啪啦叫的人”，簡(jiǎn)單的說(shuō)，其實(shí)就是“神經(jīng)病”。傳說(shuō)Cauchy年輕的時(shí)候，向巴黎科學(xué)院學(xué)報(bào)投稿，由于他投稿的速度非常之快，稿件也非常之多，這使得巴黎市幾乎所有紙店的存貨都被印刷廠搶購(gòu)了，并導(dǎo)致了市面上紙價(jià)大漲，紙張短缺。于是巴黎科學(xué)院決定，每篇論文發(fā)表的篇幅必須以4頁(yè)為限，從而Cauchy的一些長(zhǎng)篇論文就只能改投其他國(guó)家的刊物。

3.3 融入思政的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.3.1 通過(guò)數(shù)學(xué)史增強(qiáng)學(xué)生的使命感與社會(huì)責(zé)任感

利用科學(xué)家的人格魅力，以他們?yōu)榘駱?，通過(guò)他們的示范作用，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思政教育。通過(guò)與泛函分析內(nèi)容相關(guān)的老一輩數(shù)學(xué)家例如關(guān)肇直、田方增先生等的愛國(guó)敬業(yè)致力泛函分析科研與人才培養(yǎng)的事例，激發(fā)學(xué)生深沉的愛國(guó)熱情和濃厚的濟(jì)人濟(jì)事濟(jì)天下的家國(guó)情懷，讓學(xué)生們充分意識(shí)到作為當(dāng)代青年，必須認(rèn)真學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)，將來(lái)為祖國(guó)的發(fā)展和繁榮富強(qiáng)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

田方增在中學(xué)時(shí)期就感受到中國(guó)深受帝國(guó)主義的欺凌和封建軍閥的壓迫，自然而然地萌發(fā)出了愛國(guó)熱情，希望將來(lái)的中國(guó)能夠獨(dú)立自強(qiáng)。1935年，田方增投身參加了“一二九”愛國(guó)運(yùn)動(dòng)，并于次年2月積極參加了中華民族解放先鋒隊(duì)，將自己的青春奉獻(xiàn)給了為抗日戰(zhàn)爭(zhēng)和黨的事業(yè)。新中國(guó)成立之后，田方增從法國(guó)回到中國(guó)，為中國(guó)泛函分析的發(fā)展做出了積極的貢獻(xiàn)。

關(guān)肇直在新中國(guó)誕生之際，毅然決然地放棄了取得博士研究生學(xué)位的機(jī)會(huì)，束裝回國(guó)，積極投身于新中國(guó)的建設(shè)中。關(guān)肇直先生主要從事數(shù)學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)以及系統(tǒng)科學(xué)的研究。為了發(fā)展軍工和航天等事業(yè)，20世紀(jì)60年代開始，關(guān)肇直先生就投入到現(xiàn)代控制理論的研究，在導(dǎo)彈制導(dǎo)、潛艇控制以及人造衛(wèi)星測(cè)軌等項(xiàng)目中作出了一系列非常重要的貢獻(xiàn)。

3.3.2 在泛函分析知識(shí)點(diǎn)中挖掘思政元素

泛函分析抽象難懂，都是一些公式、引理、定理，看似與思政沒(méi)有任何關(guān)系，我們需要深層次去挖掘泛函分析知識(shí)點(diǎn)中的思政元素，如果能夠?qū)⒎汉治鲋R(shí)點(diǎn)與思政元素相結(jié)合，或許能夠讓學(xué)生們?nèi)菀桌斫狻Ｏ旅鎸⒘信e幾個(gè)從泛函分析的定理以及定義中挖掘的思政元素。

定理1[4]（Hahn-Banach延拓定理）假設(shè)X是一個(gè)實(shí)的或復(fù)的線性空間，Z是X的一個(gè)子空間，p（x）是定義在X上的次線性泛函。如果f是子空間Z上的實(shí)或復(fù)的線性泛函，并且滿足

那么存在f的一個(gè)延拓，其是X上線性泛函，并且滿足

Hahn-Banach延拓定理表明一個(gè)算子只要在一個(gè)子空間上的范數(shù)能夠得到控制，那么這個(gè)算子就能延拓到整個(gè)空間上，并且其范數(shù)也能夠得到控制。雖然個(gè)人的影響力很小，但是幾個(gè)人或者一群人的影響力可能就足以撼動(dòng)世界，千萬(wàn)別“不以善小而不為，不以惡小而為之”。

定義2[4]（Hilbert空間）一個(gè)完備的內(nèi)積空間則稱為Hibert空間。

定義3[4]（Banach空間）一個(gè)完備的賦范空間則稱為Banach空間。

由于不同空間的定義不一樣，它們具有不同的特征，從而導(dǎo)致它們有不同的結(jié)論。Hilbert空間和Banach空間是兩個(gè)不同的空間，滿足不同的規(guī)則，Hilbert空間由于有定義內(nèi)積，從而上面有正交和投影算子等，而Banach空間上沒(méi)有內(nèi)積的定義，不存在正交和投影算子。從而引導(dǎo)大家做事要有原則，要在一定的規(guī)則規(guī)矩下辦事，不能越界。

定理4[4]設(shè)X是一個(gè)內(nèi)積空間，M是X的完備子空間，則對(duì)每一個(gè)x∈X，存在唯一的y∈M，使得||x-y||=d(x,M)。

泛函分析中的定理都有很多條件，在這些條件下結(jié)論才成立，此定理要求M是X的一個(gè)完備子空間，如果M在X中不完備，則結(jié)論就不一定對(duì)了。雖然很多問(wèn)題、項(xiàng)目需要同學(xué)們創(chuàng)新，但是在創(chuàng)新的情況下也需要有前提，符合規(guī)則的創(chuàng)新才是值得贊揚(yáng)和提倡的，超出規(guī)則的創(chuàng)新就會(huì)被淘汰。

通過(guò)挖掘泛函分析課程知識(shí)點(diǎn)的思政元素，讓專業(yè)教育與思政教育有機(jī)融合，既講解了專業(yè)知識(shí)，增加了課堂的樂(lè)趣，也在潛意識(shí)中灌輸了為人處世的方式方法。

3.3.3 在泛函分析證明方法中學(xué)習(xí)做人做事

泛函分析解決問(wèn)題有很多方法，包括從結(jié)論出發(fā)去證明定理，根據(jù)等價(jià)定義證明結(jié)果，利用已知結(jié)果直接得出結(jié)論等。在這些方法中我們希望能夠適時(shí)地融入思政教育，將一些做人做事的道理滲透到教學(xué)中。

定理5[3]設(shè)X和Y是兩個(gè)賦范線性空間，T是從X到Y(jié)的線性算子，則以下條件等價(jià)

a、T將定義域中的有界集映到有界集；

b、存在常數(shù)M0，使得對(duì)一切x∈X有||Tx||M||x||；

c、T在定義域內(nèi)的一點(diǎn)連續(xù)；

d、T在定義域內(nèi)處處連續(xù)。

泛函分析中會(huì)有很多等價(jià)定義，例如定理5，賦范線性空間上的有界線性算子就具有以上四種等價(jià)定義，在證明一個(gè)算子是有界線性算子時(shí)可能直接用定義證明并不容易，但可以轉(zhuǎn)化為其他等價(jià)定義來(lái)證明。因此，在生活中，一些實(shí)際問(wèn)題并不是輕而易舉就能解決，如果最開始的決策是錯(cuò)誤的，事情很可能發(fā)展得越來(lái)越復(fù)雜，在這種情況下不要輕言放棄，及時(shí)改變思路，轉(zhuǎn)換思想，進(jìn)而化難為簡(jiǎn)。

泛函分析的定理證明可以從結(jié)論出發(fā)去尋找工具和條件，這樣有目的性地解決問(wèn)題才能認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，明白條件的作用和意義。

定理6[3]假設(shè)X是一個(gè)賦范線性空間，Y是一個(gè)Banach空間，那么B(X→Y)是一個(gè)Banach空間。

證明B(X→Y)是Banach空間則需要證明其每個(gè)Cauchy序列都收斂，從而任取一個(gè)Cauchy序列{Tn}，然后得到對(duì)每一個(gè)x∈X，{Tnx}構(gòu)成空間Y的一個(gè)Cauchy序列，從而可以明白條件Y是Banach空間的作用，繼而完成證明。在生活中遇到問(wèn)題時(shí)，我們得通過(guò)問(wèn)題去尋找原因與本質(zhì)，尋找到了原因才不至于再次犯錯(cuò)或者出現(xiàn)同樣的問(wèn)題。

泛函分析的學(xué)習(xí)過(guò)程需要總結(jié)，課本內(nèi)容很多，習(xí)題也很多，老師并沒(méi)有時(shí)間一一講解，比如一些度量空間，Hilbert空間以及 Banach空間的證明，老師只能就一些例子給了證明結(jié)果，學(xué)生們需要認(rèn)真總結(jié)證明過(guò)程，自己嘗試對(duì)一些例子的證明，只有認(rèn)真總結(jié)之后遇到類似的問(wèn)題才能夠利用類似方法解決，能夠舉一反三。凡事都要自己嘗試，并不是只是眼睛看會(huì)了，在吸取別人的經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，總結(jié)出一套自己解決問(wèn)題的方法，這樣遇到事才會(huì)游刃有余，這樣才能學(xué)得活，記得牢[4]。

引理7[5]（Minkowski不等式）設(shè)，那么，并且成立不等式||f+g||p||f||p+||g||p。

泛函分析很多引理雖然其有著存在的意義，但其主要目的是為了證明某個(gè)重要定理。通過(guò)此引理能夠得到p1時(shí)，按范數(shù)||·||p構(gòu)成賦范空間。我們從中引導(dǎo)學(xué)生們要有一定的服務(wù)意識(shí)和奉獻(xiàn)精神。

泛函分析解決問(wèn)題的方法眾多，很多方法都蘊(yùn)含了人生哲理以及做人做事的道理，通過(guò)泛函分析解決問(wèn)題的方法，挖掘其與思政建設(shè)的關(guān)系，融入思政教育。

4 結(jié)語(yǔ)

泛函分析是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)必修課課，課程難度系數(shù)相對(duì)較大，趣味性弱。老師需要在泛函分析教學(xué)的過(guò)程中轉(zhuǎn)換教學(xué)模式，挖掘思政元素，融入思政教育，增加學(xué)生對(duì)泛函分析課程的興趣。讓學(xué)生在掌握泛函分析基礎(chǔ)課程知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)能夠?qū)W會(huì)一些做人做事道理，樹立一些正確的人生觀和價(jià)值觀。