巧添垂線 妙解相似

殷娟

在幾何證明或計算過程中，我們常常需要利用相似來求解線段長度，研究線段間的比例關(guān)系，進行線段或角的轉(zhuǎn)化。但很多時候，相似三角形的存在并不明顯。添加“垂線”構(gòu)造相似是常用的方法，尤其是在“等角”的條件下，“垂線”的添加更能體現(xiàn)出其優(yōu)勢。

一、利用“相等角”作垂線構(gòu)造相似三角形

如果有“等角”條件，那么構(gòu)造相似三角形的方向就更明確了。我們可以試圖找到等角所在的三角形，利用已知條件作垂線構(gòu)造直角三角形相似，從而為求解或證明創(chuàng)造有利條件。

例1 如圖1，BD是△ABC的高，點E在AB邊上，∠BEC=60°，BE=2CD，CE與BD相交于點F，則[BFCF]= 。

【分析】此題想利用相似三角形解決線段比值問題，但相似條件不明顯。我們可以從這里的“高”考慮，添加垂線，再結(jié)合“對頂角相等”構(gòu)造Rt△BFH∽Rt△CFD得到結(jié)論。

解：如圖2，過點B作BH⊥CE于點H。

∵∠BEC=60°，∴在Rt△BEH中，

BH=[32]BE=[3]CD。

∵∠BFH=∠CFD且BD是高，

易得Rt△BFH∽Rt△CFD，

∴[BFCF]=[BHCD]=[3]。

變式 如圖3，已知在△ABC中，AB=AC，點D是線段BC上一點，∠BAC=60°，F(xiàn)是AC上一點，AF=2CF，∠FDC=∠ABF，延長DF至點G使得GF=BF。證明：AG∥BC。

【分析】由條件“AF=2CF”和要證明的結(jié)論“AG∥BC”，我們應聯(lián)想到可以利用相似三角形解決問題。在已知的等角條件中（∠FDC=∠ABF），作兩條垂線構(gòu)造相似，由線段成比例找到DF∶FG=CF∶AF=1∶2，從而證明△AFG∽△CFD來得到平行。

證明：如圖4，過點F作FM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥CD于點N。

∵AB=AC且∠BAC=60°，

∴∠C=60°，易得Rt△AMF∽Rt△CNF，

∴[MFNF]=[AFCF]=2。

又∵∠FDC=∠ABF，

∴Rt△BMF∽Rt△DNF，

∴[MFNF]=[BFDF]=[GFDF]=2，

∴[GFDF]=[AFCF]，∠AFG=∠CFD，

∴△AFG∽△CFD，從而得到AG∥BC。

二、利用“角平分線”作垂線構(gòu)造相似三角形

“角平分線”也是提供“等角”常用的條件。在全等問題中，我們經(jīng)常通過添加垂線來解決問題，在相似圖形中也可以這樣操作。

例2 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，若BC=4，AC=3，則點B到射線AD的距離是 。

【分析】要求“點B到射線AD的距離”，即為圖6中垂線段BM的長。由角平分線AD可以得到△ABM∽△ADC，則問題就轉(zhuǎn)化為求線段CD的長。

解：如圖6，過點B、D分別作AD、AB的垂線段，垂足為M、H。

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DH且易得AH=AC=3。

∵BC=4，AC=3，

∴AB=5，∴BH=5-3=2。

設(shè)CD=DH=x，在Rt△BHD中，

由勾股定理，得x2+22=（4-x）2，

解得x=[32]。

故在Rt△ADC中，可得AD=[352]。

利用△ABM∽△ADC，可得BM=[5]。

變式 如圖7，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=6，AC=4，AD平分∠BAC交BC于點D，則BD= 。

【分析】由條件出發(fā)感覺無從下手，但是如果利用角平分線作垂線，將線段BD放在相似三角形中，問題解決就有抓手了。本題中平分的又是60°的特殊角，所以作垂線的同時還能得到含30°角的直角三角形，為找線段關(guān)系創(chuàng)造了更多條件。

解：如圖8，分別過點C、B作AD的垂線段，垂足為F、E。

∵∠BAC=60°且AD是平分線，

∴∠BAD=∠CAF=30°。

分別在Rt△ABE與Rt△ACF中求得BE=3，CF=2，AE=[33]，AF=[23]，∴EF=[3]。

∵BE∥CF，易得△BED∽△CFD，

∴[EDDF]=[BECF]=[32]，∴ED=[353]，

∴在Rt△BED中，得BD=[657]。

三、利用“同角或等角的余角相等”作垂線構(gòu)造相似三角形

“同角或等角的余角相等”作為條件找相等的角在全等證明中應用十分廣泛，同樣也是證明三角形相似常用的方法。

例3 如圖9，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，點O是AC邊中點，連接BO交AD于點F，OE⊥OB交BC于點E。若AC=2AB，則[OFOE]= 。

【分析】此題構(gòu)造三角形相似并沒有明確的等角，但是利用已知的直角條件以及“等角的余角”，我們可以構(gòu)造直角三角形相似，再利用比例線段求解。

解：如圖10，過點O作OM⊥CD，ON⊥AD，垂足分別為M、N。

∵O是中點，易證得ON∥CD且△AON≌△OCM，∴AN=OM。

又∵AD⊥BC，∴四邊形DNOM是矩形，

∴OM=DN=AN且∠MON=90°，

∴∠MOE=∠NOF，

∴Rt△MOE∽Rt△NOF，

∴[OFOE]=[ONOM]=[ONAN]。

由條件易得△AON∽△BCA，

∴[OFOE]=[ONAN]=[CAAB]=2。

變式 如圖11，在?ABCD中，AC⊥AB，∠ABC=60°，點E在邊AD上，點F在AB的延長線上，且∠ECF=60°。

（1）證明：CF=2CE;

（2）若tan∠DEC=[32]，AB=2，則BF= 。

【分析】此題雖然沒有出現(xiàn)“同角或等角的余角”，但是出現(xiàn)了“∠ABC=∠ECF=60°”的條件，關(guān)聯(lián)“等角的余角相等”，我們可以找到等角∠F=∠BCE=∠CED。

（1）證明：如圖12，過點C作CH⊥AD于點H?！摺螦BC=∠ECF=60°且?ABCD，

∴∠F=∠BCE=∠CED，

易證得Rt△ACF∽Rt△HCE。

∴[CFCE]=[ACCH]=2，即CF=2CE。

（2）解：∵tan∠F=tan∠DEC=[32]，

∴[ACAF]=[32]。

又∵AB=2，∠ABC=60°，

∴AC=[23]，∴AF=4，則BF=2。

（作者單位：江蘇省蘇州中學園區(qū)校）