起主導(dǎo)作用的特殊情形的注釋和實踐

楊燕

摘 要：波利亞在其名著《數(shù)學(xué)與猜想——數(shù)學(xué)中的歸納和類比》中對特殊與一般的關(guān)系作了深入的闡述，其中以“起主導(dǎo)作用的特殊情形”給筆者留下的印象最為深刻，且在解題中屢試不爽

關(guān)鍵詞：波利亞；數(shù)學(xué)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）05-274-01

波利亞在其名著《數(shù)學(xué)與猜想——數(shù)學(xué)中的歸納和類比》中對特殊與一般的關(guān)系作了深入的闡述，其中以“起主導(dǎo)作用的特殊情形”給筆者留下的印象最為深刻，且在解題中屢試不爽，現(xiàn)將這一思想介紹給大家，并提供兩個實例，與諸位共享。

引文——波利亞對“起主導(dǎo)作用的特殊情形”的注釋

多邊形面積為 ，其所在平面與另一個平面的交角是 ，求這多邊形在另一平面上正投影的面積。

由于沒有指定多邊形的形狀，但是有無窮的各種各樣可能的形狀，應(yīng)該首先討論哪種形狀呢？

有一種形狀討論起來特別方便：底邊平行于兩個平面的交線的矩形，設(shè)這種矩形的底是 ，高是 ，其面積為 ，其投影長度分別是 ，投影面積是 ，故若多邊形面積是 ，則投影面積是 。

底邊平行于 的矩形不僅是特別容易處理的特殊情形，而且又是一種有主導(dǎo)作用的特殊情形，主導(dǎo)特例的解包含了一般問題的解。故由此可以推廣到直角邊平行于 的直角三角形（用對角線平分上述矩形）；再推廣到一種平行于 的三角形（由上述兩個直角三角形組成）；最后推廣到一般多邊形（可以分解為前述許多三角形），甚至我們還可以推廣到曲邊形（看作多邊形的極限）。

二.例證——對“起主導(dǎo)作用的特殊情形”的實踐

參考文獻：

[1] 波利亞.數(shù)學(xué)與猜想--數(shù)學(xué)中的歸納和類比.北京.科學(xué)出版社.2001.