運用線段雙中點問題類比雙角平分線問題

高倩

幾何教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分。幾何問題中出現(xiàn)最多的就是中點、中線和角平分線，然而初入中學(xué)的學(xué)生缺乏這些意識，在面對幾何問題時，不能第一時間構(gòu)造輔助線來解決。在學(xué)習(xí)雙角平分線時，學(xué)生們常常一知半解，應(yīng)用起來也不夠熟練。為了解決這一問題，教師在平時教學(xué)過程中可以采用類比法，讓學(xué)生在掌握線段雙中點問題的基礎(chǔ)上類比雙角平分線，通過不斷訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的類比意識，為接下來的應(yīng)用做好鋪墊。

一、類比學(xué)習(xí)基本概念

想要學(xué)好幾何知識，并將其進(jìn)行應(yīng)用，首先要對幾何知識的基本概念進(jìn)行掌握和內(nèi)化。當(dāng)學(xué)生在初學(xué)新概念時，常常難以理解，這時教師可以結(jié)合學(xué)生的基本學(xué)情，運用舊知識來類比新知識，消除學(xué)生的陌生感，促進(jìn)學(xué)生對新知識的理解。這一過程，不僅有利于學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化，還有利于學(xué)生構(gòu)建新的知識框架，為接下來的應(yīng)用鋪平道路。

以“雙角平分線問題”為例，學(xué)生知道什么是角平分線——從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫作這個角的角平分線。但是對于什么是雙角平分線，學(xué)生很難理解。這時，教師為學(xué)生展示線段雙中點問題的概念：已知兩條相鄰線段的中點，求兩個中點之間的距離，叫作線段雙中點問題。筆者再引導(dǎo)學(xué)生運用類比法思考和探討雙角平分線問題，最終總結(jié)出概念：已知兩個相鄰角的角平分線，那么，求這兩個角平分線組成的角的度數(shù)，叫作雙角平分線問題。經(jīng)過類比，不僅降低了理解的難度，還讓學(xué)生對雙角平分線問題有了清晰的認(rèn)識，同時，也讓學(xué)生樹立了類比思想。學(xué)生通過已有的知識來類比未知的內(nèi)容，從而提升了學(xué)習(xí)能力，為今后的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

二、類比掌握判定方法

在掌握了基本的概念后，學(xué)生在解答這類題目時，要明確線段雙中點問題和雙角平分線問題的判定，鞏固理解概念。掌握判定方法有利于學(xué)生在面對相同問題時，能夠從容解答，完善自身的知識框架。同時，判定方法的類比降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，為完善幾何體系提供了一定的保障。

例1 若點M在線段AB上，點N在線段BC上，則下列等式中：①AM=BM;②AM=[12]AB;③AB-AM=CM;④CN=[12]BC，能說明點M和點N分別是線段AB和BC中點的有（ ）。

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

在判斷點M和點N是否為AB和BC的中點時，需要結(jié)合線段雙中點問題的概念。首先，兩條線段必須是相鄰的線段;其次，點M平分AB，即AM=MB，同樣N點平分BC，即BN=NC;最后，根據(jù)分析選擇正確的選項B。學(xué)生在得出這一結(jié)果后，筆者運用類比的方法引出雙角平分線的判定。

例2 若AE為∠BAC內(nèi)的一條射線，AF為∠CAD內(nèi)的一條射線，則下列等式中：①∠BAE=[12]BAC;②∠BAE=∠BAD-∠EAD;③∠BAC=[12]∠BAC+∠BAE;④∠FAC=∠CAD-∠DAF，能說明射線AE是∠BAC角平分線，射線AF是∠CAD角平分線的有（ ）。

A.① B.①②③ C.①④ D.①②③④

在作答例2時，學(xué)生同樣可以從雙角平分線問題的概念進(jìn)行分析：因為射線AE是∠BAC的角平分線，那么∠BAE=∠EAC=[12]∠BAC;同理，射線AF是∠CAD的角平分線，那么∠CAF=∠DAF=[12]∠CAD。得出結(jié)論后，再運用逆向思維去選項中找到答案，最后選擇正確的選項C。

通過對比，我們發(fā)現(xiàn)線段雙中點和雙角平分線的判定方法類似。首先，我們需要根據(jù)概念判斷線段的中點和角的平分線;其次，將相鄰線段的中點和相鄰角的平分線進(jìn)行融合;最后，從定義上找出線段雙中點和雙角平分線。

三、類比探究相關(guān)習(xí)題

為了檢驗學(xué)生對雙角平分線的理解和掌握，并且培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師在講述線段雙中點題目時，可以運用類比法引出雙角平分線題目，讓學(xué)生在作答時對比其中的相似之處，在不斷的探究和分析中，掌握其中的內(nèi)涵和方法，從而實現(xiàn)知識遷移。最后，通過最簡潔和熟悉的手段將問題解決，提升學(xué)生解決問題的能力。這一過程的開展不僅讓學(xué)生鞏固了線段雙中點的知識，還優(yōu)化了學(xué)生對雙角平分線的內(nèi)容的學(xué)習(xí)，最終將新舊知識進(jìn)行融合，完善了自身的知識框架和數(shù)學(xué)體系。

例3 已知線段AB=10cm，C為直線AB上一點，M、N分別為AC、BC的中點，若BC=4cm，求MN的長。

經(jīng)過思考后，學(xué)生寫出了解題過程：

①當(dāng)C點在線段AB中間時，∵AB=10，BC=4，∴AC=AB-BC=6，∵M(jìn)是AB線段的中點，N是BC線段的中點，∴MC=[12]AC=3，CN=[12]BC=2，∴MN=MC+CN=3+2=5（cm）;

②當(dāng)C點不在線段AB中間時，AC=AB+BC=14，∴MC=[12]AB=5，BN=[12]BC=2，∴MN=MC+BN=5+2=7（cm）。

故MN的長為5cm或7cm。

筆者看到學(xué)生的解題思路很清晰，解答過程也很順利，于是進(jìn)行了知識遷移。

例4 已知∠AOB=60°，∠BOC=40°，OM、ON分別為∠AOB、∠BOC的角平分線，求∠MON的度數(shù)。

在作答例4時，筆者提示學(xué)生同樣用類比的方法解題。于是，學(xué)生們模仿例3進(jìn)行了作答，具體過程如下：

①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-40°=20°，∵OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=[12]∠AOC=10°，∠NOC=[12]∠BOC=20°，∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+20°=30°;

②當(dāng)OC不在∠AOB內(nèi)時，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+40°=100°，∵OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=[12]∠AOB=30°，∠NOB=[12]∠BOC=20°，∴∠MON=30°+20°=50°。

故∠MON=30°或50°。

通過類比例3，學(xué)生的思維得到了發(fā)展，從而在面對雙角平分線問題時，困難也能夠迎刃而解。為了鞏固學(xué)生對雙角平分線的認(rèn)識，筆者增加了類比訓(xùn)練：

1.已知線段AB=10cm，點C在線段AB上，BC=6cm，M、N分別為線段AB、BC的中點，求MN的長。

2.已知∠AOB=100°，∠BOC=70°，OM、ON分別平分∠AOB和∠BOC，求MON的度數(shù)。

四、教學(xué)反思

綜上所述，類比教學(xué)在幾何課堂中的應(yīng)用有利于學(xué)生對幾何知識的掌握和內(nèi)化。因此，在平時的教學(xué)過程中，教師要注意結(jié)合學(xué)生的基本學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在類比的過程中拓展幾何思維，通過構(gòu)建新舊知識之間的聯(lián)系，最終形成知識框架，為今后的成長和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。類比思想除了在線段雙中點問題和雙角平分線問題上進(jìn)行應(yīng)用外，還可以在其他的幾何知識中應(yīng)用。所以，教師需要做更深入的研究和探討，為學(xué)生構(gòu)建高效課堂，讓學(xué)生真正地喜歡上數(shù)學(xué)。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)天潤城分校）