核心素養(yǎng)視角下“全等三角形”概念學習及課堂實錄

董向東, 李瑞霞

(東營市實驗中學，山東 東營 257091)

對核心素養(yǎng)的思考日漸細深，越來越聚焦于課堂的實現(xiàn).概念教學尤其是核心概念的教學越來越受到重視.學習核心概念不但有助于對學科體系脈絡(luò)的理解，而且有助于單元內(nèi)知識、方法、思想的掌握.核心素養(yǎng)下探討數(shù)學概念的教和學具有非常重要的意義，是對學生學科本質(zhì)和素養(yǎng)的關(guān)注與培養(yǎng).

1 情景創(chuàng)設(shè)與概念對象的產(chǎn)生

師：我們前面學習過三角形的知識，見過各種各樣的三角形，比如根據(jù)三角形中最大角度數(shù)與90°的關(guān)系，有銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；從三邊是否相等，有不等邊三角形、只有兩邊相等和三邊都相等的三角形等.請同學們找一張紙，先作一次對折，然后在上面畫一個自己喜歡且大小適當?shù)娜切?

評注讓學生動手操作得到一對全等三角形，使概念對象直觀化.不同的學生會裁出不同的三角形，體現(xiàn)了研究內(nèi)容的普適性和一般性.這一環(huán)節(jié)體現(xiàn)了幾何直觀和模型意識，同時回顧了三角形的分類，滲透了獲得全等三角形的簡單方法.

數(shù)學概念的學習是一個循序漸進的過程，直觀可操作的情景有利于降低概念學習起點的難度，使抽象的概念從具體著手，實現(xiàn)人人可學.這個階段屬于概念學習的情景創(chuàng)設(shè)和概念對象的提出階段.

2 初步感知與個體特征的猜想

師：請同學們在紙張折疊狀態(tài)下把你畫的三角形裁下來，你會得到兩個三角形，通過觀察、分析和對比，你又有何新的發(fā)現(xiàn)？

觀點1：這兩個三角形面積相等.

觀點2:這兩個三角形都是同一類三角形.

觀點3：這兩個三角形能夠重合.

觀點4：這兩個三角形是一樣的.

評注兩個三角形是由學生親自裁出的，兩個三角形的“全等性”不難理解，學生的直觀感受應(yīng)該是一致的，但表達的方式和側(cè)重的角度卻不一定相同，多維度的表達有助于促進每一位學生的理解.

以上的表達是學生基于直觀觀察的表象描述，屬于概念的感知階段.如果對概念的探索止步于此，將不便于學生對概念的“數(shù)學化編碼”，不利于學生完成認知結(jié)構(gòu)對新概念的同化和整合.這個初步感知階段是重要的，是后續(xù)進一步探究的基礎(chǔ).正如教育心理學家奧蘇泊爾所說:“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話,那么我將以一言蔽之——影響學習最重要的因素就是學生已經(jīng)知道了什么,要探明這一點,并就此進行教學.”

3 深度思考與本質(zhì)特征的歸納

師:大家認同這4位同學的觀察嗎？大家各自裁出的兩個三角形可能并不相同，但經(jīng)過觀察，大家得出了一些共同的結(jié)論.對這些結(jié)論，請同學們再做進一步的思考，看看還有沒有其他的數(shù)學表達方式(提示：可以運用類比拓展、抽象概括、具體化、不同語言轉(zhuǎn)述等方式).

生1：對于觀點1，我認為可以進行類比拓展，兩個三角形的“周長也相等”.而且觀點1和觀點2都是觀點4的具體化，說明這兩個三角形是完全相同的.

生2：觀點1其實是說明了這兩個三角形的“大小”相同，觀點2說明了這兩個三角形的“形狀”相同.也就是說，觀點4所謂的兩個三角形一樣，是從“形狀”和“大小”這兩個維度來說明的.

生3：從具體化的角度來說，觀點2說明這兩個三角形無論是按角還是按邊分類都是一致的.觀點4其實是指能夠重合的邊和角也是一樣的，也就是邊和角都對應(yīng)相等的.

生4:從這兩個三角形產(chǎn)生的角度來說，它們是重合的，也正因為這個重合，這兩個三角形才是一樣的，無論是“大小”還是“形狀”.如果我們是把紙張多次折疊，裁出多個三角形的話，那么他們也是一樣的，也就是說我們用一個“母圖”不斷復制的話，這樣得出的所有三角形也都是一樣的.

評注先讓學生的思維活躍起來，再啟發(fā)學生用數(shù)學的視角，多層次、多角度來抽象概括，這樣不但有助于對概念的“數(shù)學化”理解，而且也有助于積累后續(xù)學習的經(jīng)驗.這一環(huán)節(jié)有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象意識.

在上述探究中，思維的方向進一步“本質(zhì)化”，思維的工具進一步“數(shù)學化”，思維的內(nèi)容進一步整合和聚焦，思維的結(jié)果使當下概念嵌入到上位體系中，使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了深度鏈接.這個階段屬于概念的理解階段.相信學生、依靠學生是重要的.正如蘇霍姆林斯基所說:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”

4 定義對象與概念特征的界定

師：我們利用重疊裁剪的方法，得到了兩個三角形，同學們也做了很有見地的分析.我們把這兩個能夠重合的三角形，叫做全等三角形.當然，同學們在討論中也發(fā)現(xiàn)，不一定是兩個三角形，也可以是多個，甚至無數(shù)個，只要是能夠重合的三角形，都是全等三角形.對于全等三角形，結(jié)合上面的分析，我們可以進一步作哪些概括和歸納呢？如果把我們所學的作推廣的話，你能給出怎樣的拓展與猜想？

生5：全等三角形的面積、周長相等.

生6：全等三角形重合的邊相等、角相等.

生7：全等三角形其實是“形狀”“大小”相同的三角形.分開的全等三角形，相當于一個三角形處在不同的“位置”.

生8：不但三角形如此，四邊形、多邊形也存在全等，都具有同樣的性質(zhì).

評注對前面零散的討論作出界定，去偽存真，從特殊到一般，從表象到本質(zhì)，理解了本質(zhì)，也就明白了這一研究方向是否具有延展性.這一環(huán)節(jié)對學生的符號意識與抽象能力有所鍛煉.

這個階段屬于概念的規(guī)范階段.在前面探究的基礎(chǔ)上給出準確的定義，并對概念探究的結(jié)果進行梳理、確認，明確其內(nèi)涵和外延，清晰我們應(yīng)該掌握的范圍和程度.

5 思維訓練與認知結(jié)構(gòu)的重建

師：為表達兩個三角形重合，我們引入了“對應(yīng)元素”(對應(yīng)頂點、對應(yīng)角、對應(yīng)邊)的概念.既然全等的兩個三角形可以看作是一個三角形處在不同的位置，那么，我們用裁出的兩個三角形來拼擺一下不同的位置關(guān)系(提示：讓兩個三角形重合狀態(tài)作為起始位置，一個保持在原位置不動，運動另一個三角形到另一個位置).先做幾個簡單的拼擺：1)讓另一個三角形沿原三角形某一邊所在直線方向平移；2)讓另一個三角形沿原三角形某一邊所在直線翻折；3)讓另一個三角形繞原三角形某一頂點旋轉(zhuǎn)一定度數(shù).拼擺出來后，讓同桌猜一猜你的操作路徑和兩個三角形各元素之間的對應(yīng)關(guān)系.

師：我們再讓操作復雜一點，你用“平移”“翻折”和“旋轉(zhuǎn)”的2～3種變換，運動出兩個三角形的一種相對位置圖案，然后再與同桌互猜“操作”，并讓對方試著用變換的方式還原重合的狀況，你來評判一下，他的操作是否“理解了你的心意”.

師：我們再讓操作復雜一點，看看你能不能變換出一種相對位置，讓人不容易直接看出其對應(yīng)關(guān)系，在小組內(nèi)交流，看看是否有人無法“破解你的操作密碼”.對于有爭議的，可以通過還原的方式來驗證，可能你們會有不一樣的解讀，可能存在更簡捷的恢復路徑.

評注識別全等三角形、識別全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，是本單元重要的任務(wù)，這既是解決問題的關(guān)鍵，也是對圖形理解的一種訓練.從簡單到復雜，從正向變換到反向復原，這樣的訓練不但有助于對應(yīng)關(guān)系的確認，也有助于以后研究更復雜的圖形.這一環(huán)節(jié)對學生的空間觀念、抽象能力、創(chuàng)新能力、逆向思維、模型思維有很好的訓練作用.

進一步動手操作，對概念理解和應(yīng)用的重點部分進行不同層級地強化，為概念的應(yīng)用做好準備，突出了數(shù)學思想、方法和經(jīng)驗的解讀和抽象強化.本階段屬于從概念的理解到概念應(yīng)用的過渡階段.

6 問題解決與自我學習的反思

師：識別兩個全等三角形之間元素的對應(yīng)關(guān)系是重要的，通過以下各組全等三角形的識別訓練(圖形略)，你有哪些確認對應(yīng)關(guān)系的方法？

生9：利用兩個全等三角形“變換復原”的方法，可以判定各元素之間的對應(yīng)關(guān)系.

生10：由于全等三角形的書寫規(guī)則要求“≌”符號兩邊的三角形頂點是對應(yīng)的，這樣就可以根據(jù)頂點的對應(yīng)來說出邊和角的對應(yīng).

生11：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，相等(公共)的邊應(yīng)為對應(yīng)邊，相等(公共)的角為對應(yīng)角.

生12：從直觀上看，大小相同的元素應(yīng)該是對應(yīng)元素，比如兩個三角形中最大的角、最小的角、中等大小的角，應(yīng)該是對應(yīng)的，邊也是類似的.

評注通過練習和交流，師生共同總結(jié)識別對應(yīng)元素的方法，形成各自的經(jīng)驗，并在分享中豐富自己的經(jīng)驗.這一環(huán)節(jié)有助于對學生符號意識和應(yīng)用能力的培養(yǎng).

概念理解的側(cè)面是多維的，深度是多層的，但不同背景下的遷移應(yīng)用是對理解最好的考查.本環(huán)節(jié)聚焦全等前提下對應(yīng)元素的確定方法，進行嘗試和交流，既是概念理解和應(yīng)用所需，也是后續(xù)全等判定的基礎(chǔ).本環(huán)節(jié)屬于概念的應(yīng)用階段.

7 經(jīng)驗總結(jié)與概念地圖的推演

師：回顧我們對全等三角形概念的學習，你認為我們經(jīng)歷了怎樣的過程，有怎樣的經(jīng)驗和體會？

生13：通過兩個具體的全等三角形，我們研究了“等”的元素以及“等”的對應(yīng).特別是借助3種基本變換及其逆向還原學習了不同位置的對應(yīng)關(guān)系.

生14：我認為動手操作對理解概念很重要，同學之間的互相啟發(fā)也可以彌補自己思維的局限.形狀、大小、位置是研究幾何圖形和關(guān)系的3個重要維度，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是圖形的3種重要變換方式，數(shù)量、位置等相互關(guān)系是兩個具體的考查角度.

師：根據(jù)以往學習的經(jīng)驗，你對“全等三角形”還有怎樣的疑問，你認為接下來我們應(yīng)該探究什么？

生15：我認為需要知道全等三角形的作用，以及如何判定兩個三角形全等.

評注概念不是孤立的，它是知識發(fā)展中的一個結(jié)點.及時對探究路徑、過程和視角進行總結(jié)，把研究對象“拉遠”，放入更大的學科“地圖”里，從更宏觀的視角來看待所做的探究，有助于學生學科知識結(jié)構(gòu)和個人認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu).這一過程有助于學生活動經(jīng)驗、思維經(jīng)驗和探究經(jīng)驗的積累.

本環(huán)節(jié)是在強化了重點和進行了多層次訓練基礎(chǔ)上的總結(jié)概括，屬于概念的建構(gòu)階段，有利于概念的進一步抽象.回顧概念學習的過程，有利于學生形成概念學習的經(jīng)驗.在基本掌握概念后，把概念進一步納入學科結(jié)構(gòu)和單元體系中，對學生掌握概念、理解單元脈絡(luò)是重要的，這樣的訓練將更有利于學生理解概念的結(jié)點地位，以及由此展開的單元探究脈絡(luò).

8 教學反饋與概念應(yīng)用的評價

師：解答下面的問題，并對你在本節(jié)課中收獲的思維成果和從同學處學習的經(jīng)驗方法做一下梳理，你對自己在本節(jié)課的學習有怎樣的反思？

問題1如圖1，△ABC≌△DEB，其中AB=DE,∠E=∠ABC,則∠C的對應(yīng)角是______；BD的對應(yīng)邊是______；AC與BE的位置關(guān)系是______.

圖1 圖2 圖3

問題2如圖2，△BAD≌△ADE，其中△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，AB=AC.請指出圖2中的對應(yīng)關(guān)系.

問題3如圖3，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′OB′，其中∠B=30°，∠B′OB=52°，你能得到哪些角的度數(shù)？是如何得到的？

評注教師對問題1～3的實際解答情況進行客觀統(tǒng)計，既有利于從客觀的角度了解學生總體的學習狀況和個體的實際狀況，也有利于我們對課堂教學的實際進行反思.如果有必要，那么可以在后續(xù)課堂中加以補救，或者進行個別指導.這一環(huán)節(jié)有利于學生推理能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng).

該階段屬于概念的強化和評價階段，是新知學習的重要階段.評價內(nèi)容要精心選擇，不宜過多，要有一定的層次性，要緊密圍繞課堂探究的內(nèi)容，可以落腳在探究的最近發(fā)展區(qū)上.在采集評估信息的同時促進概念學習的進一步深化，將有助于促進學生元認知的發(fā)展.

數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點,是學生學習數(shù)學知識的基石,也是學生進行數(shù)學思維的核心[1].它是數(shù)學思想與方法的載體，數(shù)學概念教學是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.正確理解概念是學生建構(gòu)數(shù)學大廈的基石，學生只有正確地掌握概念，才能更好地掌握各種法則、公式和定理，才能有效地解決實際問題.章建躍博士認為:“數(shù)學是用概念思維的，在概念學習中養(yǎng)成的思維方式方法遷移能力最強.數(shù)學概念教學的意義不僅在于使學生掌握‘書本知識’,更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學家概括數(shù)學概念的心路歷程,領(lǐng)悟數(shù)學家用數(shù)學的觀點看待和認識世界的思想真諦,學會用概念思維,進而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力.”[2]數(shù)學概念雖然各不相同，但教學卻有一定的規(guī)律，主動地、創(chuàng)造性地踐行這些規(guī)律，對培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)、提高數(shù)學教學質(zhì)量是至關(guān)重要的.