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      滲透在浙江數(shù)學(xué)高考題中的歸謬與反證思維

      2022-01-26 09:18:06步一雋
      關(guān)鍵詞:反證法考試題浙江省

      徐 劍, 步一雋

      (1.杭州第十四中學(xué),浙江 杭州 310006;2.杭州第四中學(xué),浙江 杭州 310018)

      2021年是浙江省數(shù)學(xué)高考文理合卷的第5年,命題繼續(xù)秉承知識與能力并重的理念,以考生未來發(fā)展為本,聚焦考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).堅持全面考查基礎(chǔ)知識、基本方法與技能,注重數(shù)學(xué)思想,突出數(shù)學(xué)本質(zhì);堅持以能力立意,強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的考查,突出理性思維與數(shù)學(xué)探究.浙江省數(shù)學(xué)高考命題也繼續(xù)保持傳承與創(chuàng)新同行的風(fēng)格,核心知識與關(guān)鍵能力反復(fù)考查,不斷推陳出新,持續(xù)引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)教育[1].

      分析2017—2021年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷,每年均有部分試題滲透著歸謬與反證思維,對學(xué)生逆向分析意識、邏輯推理能力進(jìn)行考查,值得高三師生在復(fù)習(xí)備考中重視.

      1 歸謬法與反證法

      確定某個命題真?zhèn)蔚乃季S過程稱為論證,它分為證實與證偽兩類.根據(jù)在證明過程中是否使用原命題的否定,又可以劃分為:直接證明與間接證明.歸謬法:首先假設(shè)某命題成立,然后從假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾、不符已知事實或荒謬結(jié)果,從而判定該命題不成立,是證偽的思維過程.反證法:假設(shè)原命題不成立(即假設(shè)原命題的否定成立),然后從假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,是證實的思維過程.反證法的依據(jù)是“排中律”,在論證結(jié)構(gòu)上較歸謬法更復(fù)雜,在論證過程中也往往會使用到歸謬法.歸謬與反證二者既相似,但又有區(qū)別,是逆向思維的集中體現(xiàn),應(yīng)用廣泛.英國近代數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱贊:“歸謬與反證是數(shù)學(xué)家最有力的武器,比起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法,它還要高明.象棋對弈者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓予對方!”

      2 高考真題回顧

      近5年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷中,一部分試題滲透著歸謬與反證思維,下面舉例說明.

      ( )

      A.0 B.1 C.2 D.3

      (2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

      思路1一方面,根據(jù)假設(shè)得

      (1)

      另一方面,由基本不等式得

      sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

      (2)

      思路2一方面,根據(jù)假設(shè)得

      (3)

      另一方面,

      sinαcosβ·sinβcosγ·sinγcosα

      (4)

      思路3一方面,

      (5)

      不妨設(shè)α<β<γ,則

      cosα>cosβ>cosγ, sinα

      另一方面,由排序不等式可得

      sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

      ≤ sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα

      (6)

      評注本題的分析與推證過程都用了反證法.首先結(jié)合題意提出反論題,然后進(jìn)行推理,得出矛盾,從而不難得出正確選項.學(xué)生若缺少逆向意識與反證思維,則往往只能停留在取特殊值試探的較淺思維層面,難以說清問題,這更凸顯了具備此類意識與思維的重要性.

      例2已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則

      ( )

      A.a(chǎn)1a3,a2

      C.a(chǎn)1a4D.a(chǎn)1>a3,a2>a4

      (2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

      分析首先,考慮對目標(biāo)(選項)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即

      問題的關(guān)鍵是:判斷公比q可能落在(-∞,-1),(-1,0),(0,1),(1,+∞)這4個區(qū)間中的哪一個.

      其次,對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,聯(lián)想到“切線不等式”,即

      a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,

      整理得

      a1q3≤-1,

      從而

      q<0,

      排除區(qū)間(0,1),(1,+∞).

      若q<-1,則

      a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)<0,

      a1+a2+a3=a1(1+q+q2)>1,

      于是

      ln(a1+a2+a3)>0,

      二者矛盾,從而排除(-∞,-1).因此,-1

      評注歸謬法在高考中應(yīng)用廣泛,往往和分類討論思想結(jié)合在一起.首先確定問題的若干種可能性,然后逐一反駁排除,最后得出正確結(jié)果,這就是窮舉歸謬的思維.

      例3已知a,b∈R,函數(shù)

      若函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個零點,則

      ( )

      A.a(chǎn)<-1,b<0 B.a(chǎn)<-1,b>0

      C.a(chǎn)>-1,b<0 D.a(chǎn)>-1,b>0

      (2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

      分析設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-ax,h(x)=b,問題轉(zhuǎn)化為:若函數(shù)

      與函數(shù)h(x)=b的圖像有3個交點,則判斷參數(shù)a,b的范圍.

      當(dāng)x<0時,函數(shù)g(x)=(1-a)x與函數(shù)h(x)=b的圖像交點最多只有一個.

      若a+1<0,則g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,與函數(shù)h(x)=b的圖像最多只有一個交點.不符合要求,舍去.

      若a+1>0,g(x)在[0,a+1)上單調(diào)遞減,在(a+1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)與函數(shù)h(x)=b的圖像最多可以有兩個交點.

      結(jié)合兩段圖像,不難得出a>-1,b<0.故選C.

      類似地,還有以下高考題:

      例4已知a,b∈R且ab≠0,對于任意的x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則

      ( )

      A.a(chǎn)<0 B.a(chǎn)>0 C.b<0 D.b>0

      (2020年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

      評注這兩道題均考查含參零點與函數(shù)圖像之間的動態(tài)聯(lián)系,“奇穿偶回”的作圖技巧揭示了圖像變化趨勢的本質(zhì).2020年試題是2019年試題的傳承與創(chuàng)新,降低了問題轉(zhuǎn)化的難度,增加了分類討論的情況,但均體現(xiàn)了窮舉歸謬的思維方式.

      例5已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時,

      1)0

      2),3)略.

      (2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

      分析第1)小題的關(guān)鍵在于證明xn>0.當(dāng)n=1時,x1=1.假設(shè)n=k時,xk>0,那么當(dāng)n=k+1時,若xk+1≤0,則

      xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,

      矛盾.故xk>0.

      評注結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法與反證法使得解答過程在邏輯形式與表達(dá)規(guī)范上更為出色.從文理合卷這5年試題的變化與發(fā)展上,可以看出高考對于歸謬與反證法的考查從方法層面向思維層面轉(zhuǎn)變.

      3 教學(xué)啟示

      歸謬與反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較初等數(shù)學(xué)更為普遍.從目前的情況看,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對反證法的教學(xué)定位在“教方法”遠(yuǎn)多于“教思維”.教師的課堂教學(xué)不僅要揭示知識的本質(zhì)及知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,還要努力研究如何從思維層面教會學(xué)生理解知識,讓學(xué)生能夠通過教師的教學(xué)語言與教學(xué)活動設(shè)計感悟到有思維特征的數(shù)學(xué)知識.

      1)課標(biāo)中,對于“間接證明”提出的內(nèi)容和要求是:結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的教學(xué)案例,了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程、特點[2].在實際教學(xué)中,教師往往定位于向?qū)W生介紹一種間接證明的方法,大部分情況是給出了目標(biāo)論題,強(qiáng)調(diào)反論題的正確形式,使學(xué)生了解并能模仿運用反論題,進(jìn)行推理證明.這樣的教學(xué),并沒有上升到分析與解決問題的思維層面.2021年的高考試題啟示我們:在教學(xué)中,把一個要求用反證法論證的題目改編為多角度的數(shù)學(xué)探究題,將問題換一個提法,更有利于學(xué)生思維方式的養(yǎng)成.

      2)在立體幾何教學(xué)中,大量的性質(zhì)與判定定理本身就是需要用反證法來證明的,但基于當(dāng)前的教學(xué)要求,對于這些定理學(xué)生主要是通過直觀感知、接受,然后運用定理解決問題.這就錯失了強(qiáng)化反證思維的時機(jī),在教學(xué)中適度穿插一些定理本身的證明,未嘗不是一件好事.對一些通過直觀判斷的問題(比如判斷空間兩條直線的異面位置關(guān)系),多問一個“為什么”,更有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

      3)教學(xué)中的四基,前三基耳熟能詳(即基礎(chǔ)知識、基本方法與技能、基本數(shù)學(xué)思想),而第四基“基本活動經(jīng)驗”在課堂上較為欠缺.波利亞關(guān)于“反證法”講過一個教學(xué)案例:用0,1,2,3,…,9這10個數(shù)字組成幾個數(shù),使它們的和為100,每個數(shù)字都用一次而且也只能用一次.他指出:我們可以在嘗試解決這個難題中學(xué)到一些東西.波利亞將問題的條件分解成兩個部分:①0~9這10個數(shù)字用且只能用一次;②組成的數(shù)字之和為100.他提示先保留一個條件,丟掉另一個條件,引導(dǎo)學(xué)生“嘗試、再嘗試”,經(jīng)歷多次不成功的試驗以后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個部分條件均滿足的情況并不會發(fā)生,進(jìn)而懷疑命題本身的正確性.那么假設(shè)這樣的一種組合是存在的,設(shè)這些數(shù)的十位數(shù)字之和為t,因為0~9這10個數(shù)字的和為45,所以這些數(shù)的個位數(shù)字之和為45-t,那么必有

      10t+(45-t)=100,

      教師研究教學(xué),就要把自己放在學(xué)習(xí)知識的角度來研究如何理解知識,提煉出用數(shù)學(xué)概念理解知識的思維特征是什么,并能夠把這種思維特征變成自己教學(xué)時的思維特點,通過不同的知識載體讓學(xué)生體會出具有共性的思維,并變成他們的思維習(xí)慣.

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