指向數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的向量解題教學(xué)

呂增鋒

(象山縣第二中學(xué),浙江 象山 315731)

學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)就是從學(xué)習(xí)運(yùn)算開始：幼兒時(shí)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)，小學(xué)學(xué)習(xí)加減乘除四則運(yùn)算，初中學(xué)習(xí)平方、開方及比較抽象的符號(hào)運(yùn)算，高中學(xué)習(xí)的運(yùn)算更加多樣：除了具體的數(shù)字運(yùn)算外，還有邏輯運(yùn)算、幾何運(yùn)算等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是“童子功”，按理說學(xué)生的運(yùn)算能力不會(huì)差，但大量調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：當(dāng)前高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不容樂觀.

實(shí)踐證明：?jiǎn)渭兊倪\(yùn)算訓(xùn)練無法支撐起持續(xù)發(fā)展運(yùn)算能力的重任，站在學(xué)科核心素養(yǎng)的高度對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)行統(tǒng)一謀劃才是治本之道.當(dāng)然，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”一旦上升到素養(yǎng)層面，就不單單指數(shù)學(xué)計(jì)算能力，而是“數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)”，它是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等[1].數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的根基，是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的錨點(diǎn)，對(duì)促進(jìn)思考模式的規(guī)范化、程序化，樹立一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神具有重要作用.

1 向量是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的絕佳載體

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)不會(huì)憑空產(chǎn)生，它需要以具體的教學(xué)內(nèi)容為載體、通過運(yùn)算實(shí)踐來獲得，而不同的數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，其運(yùn)算素養(yǎng)的指向也不盡相同.比如，集合與邏輯用語(yǔ)強(qiáng)調(diào)的是集合運(yùn)算與邏輯運(yùn)算；圓錐曲線關(guān)注的是化簡(jiǎn)與變形能力，培養(yǎng)的是學(xué)生耐心細(xì)致的思維品質(zhì)；排列組合培養(yǎng)的是計(jì)數(shù)技巧及算法思想.這就意味著知識(shí)模塊所包含的運(yùn)算越豐富，它對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)培養(yǎng)所起的作用也就越大.在所有高中數(shù)學(xué)知識(shí)模塊中，運(yùn)算最為豐富的非向量莫屬.

1.1 向量的運(yùn)算對(duì)象多樣

向量是溝通三角、代數(shù)、幾何三大領(lǐng)域的橋梁，它既有數(shù)的屬性，又有形的特征；既有代數(shù)運(yùn)算，又有幾何運(yùn)算；既有二維平面的表征，又有三維空間的推廣.因此，向量的運(yùn)算對(duì)象就更具多樣化：它可以是向量與向量之間的運(yùn)算，如向量的加減法、數(shù)量積、向量積、混合積等；可以是實(shí)數(shù)與向量之間的運(yùn)算，如數(shù)乘運(yùn)算；可以是有向線段之間的運(yùn)算，如平行四邊形法則與三角形法則；可以是點(diǎn)與點(diǎn)之間的運(yùn)算，如坐標(biāo)運(yùn)算；還有符號(hào)之間的運(yùn)算，如把一個(gè)向量用其他向量來表示……向量這些運(yùn)算幾乎囊括了高中數(shù)學(xué)全部的運(yùn)算對(duì)象，這對(duì)于學(xué)生在關(guān)聯(lián)或綜合情境中如何確定運(yùn)算對(duì)象具有象征意義.

1.2 向量的運(yùn)算法則獨(dú)特

1.3 向量的運(yùn)算方法靈活

通常在向量運(yùn)算中，既可以由“形”感知，如借助向量運(yùn)算的幾何意義，通過直觀感知獲得運(yùn)算結(jié)果；又可以從“數(shù)”入手，而數(shù)的運(yùn)算又有“基底運(yùn)算”和“坐標(biāo)運(yùn)算”.向量運(yùn)算方法的靈活性造就了解題方法的多樣化，入口寬、方法多是向量運(yùn)算的常態(tài).

2 指向數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的向量解題教學(xué)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算來解決數(shù)學(xué)問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的范式.學(xué)生通過數(shù)學(xué)解題不僅訓(xùn)練了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而且加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系的理解，形成了有序地、合乎邏輯地認(rèn)識(shí)與表達(dá)數(shù)學(xué)的理性精神[2].也就是說，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解題的基本手段，通過解題又能發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算與解題是相生相長(zhǎng)的關(guān)系.那么，如何使向量的解題教學(xué)指向核心素養(yǎng)呢？

2.1 讀懂向量語(yǔ)言，理解運(yùn)算對(duì)象

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是表達(dá)科學(xué)思想的通用語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維的最佳載體，實(shí)現(xiàn)有效交流的前提就是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而且從某種程度上講學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為文字語(yǔ)言(自然語(yǔ)言)、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言.這3類語(yǔ)言各有千秋，文字語(yǔ)言表達(dá)直接，易于理解；符號(hào)語(yǔ)言書寫簡(jiǎn)潔，表達(dá)嚴(yán)密；圖形語(yǔ)言表現(xiàn)直觀，啟迪思維.不論用哪種語(yǔ)言表示，讀懂語(yǔ)言，把它轉(zhuǎn)化成易于學(xué)生理解的表達(dá)是解決問題的第一步.

1)|p-a|+|p-b|=2m(其中m>|a-b|)，向量p所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，雙曲線也可以進(jìn)行類似的定義.

用向量語(yǔ)言表示雖然更具簡(jiǎn)潔性，但也加重了抽象性，導(dǎo)致學(xué)生無法直接讀懂其所表達(dá)的內(nèi)涵，需要借助數(shù)學(xué)運(yùn)算來“翻譯”.

分析此題涉及的向量多達(dá)4個(gè)，包含了數(shù)量積運(yùn)算、模運(yùn)算等多種運(yùn)算，構(gòu)成了復(fù)雜的向量關(guān)系式，這給學(xué)生的讀題制造了不小的障礙，只有通過運(yùn)算才能厘清其中的關(guān)系.

圖1

通常可以這樣解：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為A1，則

得

2.2 一題多解，理解算理

依據(jù)數(shù)學(xué)的法則公式等進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的初級(jí)階段.而能夠在理解運(yùn)算的算理的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題中的相關(guān)條件，合理、正確和熟練地獲得運(yùn)算途徑，靈活采用不同的運(yùn)算方法與策略解決問題，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高級(jí)階段.因此，多視角地分析問題，開展一題多解，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)從初級(jí)階段到高級(jí)階段跨越的有效途徑.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

從而

下面的過程和解法1一致(略).

解法4(幾何視角之平行四邊形法則)不妨設(shè)x≠0，由b=xe1+ye2，得

從而

圖2

由于向量的多重屬性與獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)致向量問題往往有多種解法.上述問題給出了4種解法，如果進(jìn)一步挖掘還會(huì)有更多的解法.當(dāng)然，指向運(yùn)算核心素養(yǎng)的解題教學(xué)并不是為了獲得更多的解法，而是在一題多解的過程中明確算理，而平面向量運(yùn)算的算理就是從代數(shù)與幾何兩個(gè)視角，把條件與結(jié)論充分代數(shù)化，再借助方程與函數(shù)思想、直觀感知等手段進(jìn)行解決.

2.3 解題反思，形成算法

解題反思是一種元認(rèn)知活動(dòng)，它是通過對(duì)解題過程的再次思考，探究解題過程中所蘊(yùn)涵的思想方法、規(guī)律模式、算法套路等.解題反思的過程不僅有益于鞏固知識(shí)，熟練方法，分化和貫通整個(gè)思想和策略，而且能夠促使算法結(jié)構(gòu)更完善.解題的完成并不意味著解題活動(dòng)的結(jié)束，對(duì)解題過程的回顧才是學(xué)習(xí)的重頭戲，數(shù)學(xué)運(yùn)算的算法化與程序化也是在這個(gè)過程中得以實(shí)現(xiàn)的.解題反思一般可以從所涉及的知識(shí)與思想方法、問題之間的聯(lián)系、解題的程序、運(yùn)算推理的過程、數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果等方面進(jìn)行，從而獲得某類運(yùn)算或某類題目的一般算法.比如，對(duì)向量的“代數(shù)化”可以這樣反思，如圖3.

圖3

雖然說，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中最為普遍的方式之一，但如果在解題中只是“就題論題”，或者一味地追求解題的結(jié)果，而不去提煉解題中的運(yùn)算法則、算理與算法，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)就不能得到持續(xù)發(fā)展，因此，指向核心素養(yǎng)才是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的真諦所在.