一類周期演化域上瘧疾模型的動(dòng)力學(xué)

宋小飛, 朱 敏, 劉夢(mèng)麗

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

瘧疾是由寄生蟲引起的一種致命疾病, 通過受感染的雌性按蚊叮咬傳播給人類．瘧疾的傳播取決于蚊蟲的數(shù)量、蚊蟲的叮咬率, 僅2017年全球就有約2.19億瘧疾病例和高達(dá)43.5萬的死亡病例, 超過30億美元用于控制和治療瘧疾[1], 這給世界的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和公共醫(yī)療帶來了沉重的負(fù)擔(dān), 因此研究瘧疾的傳播機(jī)制,預(yù)測(cè)它的變化具有重要意義．近些年, 運(yùn)用數(shù)學(xué)模型研究傳染病的特征逐漸受到人們的重視．Dembele等[2]在一維系統(tǒng)中引入周期系數(shù), 給出了蚊蟲出生率和死亡率的季節(jié)變化對(duì)瘧疾傳播的影響; Lou等[3]研究固定區(qū)域上非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散模型, 獲得了保證疾病穩(wěn)定在正穩(wěn)態(tài)的充分條件; Safan等[4]根據(jù)瘧疾的傳播機(jī)制構(gòu)建無量綱化后的常微分模型

其中Sh,Sv分別表示總?cè)丝谥幸赘腥巳旱谋壤臀孟x種群中易感蚊蟲的比例;Ih,Iv分別是總?cè)丝谥幸迅腥巳旱谋壤臀孟x種群中已感蚊蟲的比例;Cvh和Chv分別代表已感蚊蟲傳給易感人的比例和已感人傳給易感蚊蟲的比例;βh與βv分別是人口出生率和蚊蟲的出生率;γh是感染狀態(tài)下人的非自然死亡率;c表示人因病致死率, 故0≤c<1．針對(duì)模型(1), 作者假設(shè)Sh+Ih=1和Sv+Iv=1, 并將模型(1)簡化為

1 模型建立

對(duì)于任意的x(t)∈Ωt,Ih(t,x(t))和Iv(t,x(t))表示t時(shí)刻x(t)處被感染的人和蚊蟲的比例[7]．同時(shí), 區(qū)域的變化會(huì)產(chǎn)生流速, 從而造成變量Ih和Iv產(chǎn)生對(duì)流項(xiàng)和稀釋項(xiàng), 其中對(duì)流項(xiàng)為a·Ih和a·Iv, 由質(zhì)點(diǎn)以一定速度a在Ωt內(nèi)移動(dòng)產(chǎn)生, 且稀釋項(xiàng)為Ih(·a)和Iv(·a), 由區(qū)域Ωt局部體積變化產(chǎn)生．因此, 根據(jù)質(zhì)量守恒原理和Reynolds輸運(yùn)定理[8]將上述模型擴(kuò)展為

(3)

并伴隨Dirichlet邊界條件

Ih(t,x(t))=Iv(t,x(t))=0,x(t)∈?Ωt,

(4)

初始條件

(Ih(0,x),Iv(0,x))=(Ih,0,Iv,0)(x),x∈Ω0,

(5)

其中Ih,0(x)和Iv,0(x)是正的有界連續(xù)函數(shù),dh(t,x)和dv(t,x)分別表示人和蚊蟲的擴(kuò)散系數(shù), 并假設(shè)dh(t,x),dv(t,x),Cvh(t,x),Chv(t,x),βh(t,x),βv(t,x),γh(t,x)和c(t,x)都以T為周期非負(fù)且充分光滑的函數(shù)．

(6)

故演化區(qū)域Ωt上的問題(3)～(5)轉(zhuǎn)化成固定區(qū)域Ω0上的問題(6)．

2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)通常用來評(píng)估疾病傳播的風(fēng)險(xiǎn)．對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng), 通常使用下一代感染算子的譜半徑[10]以及相應(yīng)的主特征值問題來分析基本再生數(shù)[11]．

因(0,0)是方程(6)的無病平衡點(diǎn), 故可將方程(6)在(0,0)點(diǎn)處線性化,得

由文獻(xiàn)[12]中定理2.7(ii)和文獻(xiàn)[13]中定理3.7可得下面引理的兩個(gè)結(jié)論．

(7)

的主特征值, 其中(φ,ψ)∈CT×CT都是Ω0上正的特征函數(shù)對(duì)．

的主特征值, 其中(φ,ψ)如i)中定義．

定理2下列命題成立．

i) 問題(6)的基本再生數(shù)滿足

ii) 如果g(t,ρ(t)y)=g(t)僅與t有關(guān), 式中g(shù)≡Cvh,Chv,βh,βv,dh,dv,γh, 則

iii) 如果g(t,ρ(t)y)=g為常數(shù), 這里g≡Cvh,Chv,βh,βv,dh,dv,γh, 則式(10)可簡化為

iv) 在iii)的假設(shè)下, 若ρ(t)≡1,則有

其中μ*是特征值問題-Δφ=μ*φ,y∈Ω0,φ=0,y∈?Ω0的主特征值．

證明 令

φ(t,y)=p(t)φ(y),ψ(t,y)=q(t)φ(y), (t,y)∈D0,

(13)

其中φ是定理2中的特征函數(shù),p和q待定且滿足

p(t)=p(t+T),q(t)=q(t+T),t>0．

(14)

將式(13), (14)代入式(7)得

利用p(t),q(t),ρ(t)關(guān)于t的周期性, 對(duì)此式積分, 并利用H?lder不等式易得

故式(9)成立．而命題ii)和iii)均為命題i)的特殊情況, 可由式(9)推出．對(duì)于命題iv), 可將問題(15)簡化為

再通過求解此常微分方程組可得式(12)．

3 區(qū)域的周期性演化對(duì)瘧疾模型的動(dòng)力學(xué)影響

系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定態(tài)為

(16)

其中G1(t,y,ρ(t),U,V),G2(t,y,ρ(t),U,V)分別為系統(tǒng)(6)中第一個(gè)方程和第二個(gè)方程的右端項(xiàng)．

結(jié)合初值條件

(18)

當(dāng)c(t,ρ(t)y)≡0時(shí), 采用反證法．事實(shí)上, 如果(U+,V+)(t,y)是系統(tǒng)(16)的正解,則有不等式

接下來, 根據(jù)文獻(xiàn)[14]中定理3.1可直接獲得周期解的穩(wěn)定性．

定理4設(shè)(u,v)(t+kT,y;U0,V0)是問題(6)的任意一個(gè)解．

注:如果ρ(t)≡1, 則Ωt就是固定區(qū)域Ω0, 定理3和4相應(yīng)地體現(xiàn)了固定區(qū)域Ω0上系統(tǒng)(6)的動(dòng)力學(xué)結(jié)論．

4 數(shù)值模擬與生物學(xué)解釋

傳染病學(xué)參數(shù)取值為[4]:Cvh=0.64,Chv=0.27,βh=1.1×10-4,βv=0.13,γh=0.02,c=3.5×10-3; 擴(kuò)散系數(shù)以及初始值取為:dh=0.02,dv=0.01,U0(y)=0.04cos(πy),V0(y)=0.09+0.06cos(πy), 并假定Ω0=(0,1), 則μ*=π2．選取以2π為周期的演化率ρ(t),ρ(t)在[0, 2π)中定義為

其中j∈(0,∞),k∈(0,1/2)．選擇不同的j和k進(jìn)行數(shù)值模擬, 通過ρ(t)的變化觀察人群中瘧疾病例的變化趨勢(shì)．

圖時(shí)人群中瘧疾病例的變化趨勢(shì)

圖變大時(shí)人群中瘧疾病例的變化趨勢(shì)