基于實(shí)時(shí)變量逆矩陣求解的非線性MIMO 解耦A(yù)DRC 控制方法*

隨博文，黃志堅(jiān)

（上海海事大學(xué)商船學(xué)院，上海 201306）

0 引言

多輸入多輸出（MIMO）控制系統(tǒng)，即多變量系統(tǒng)，廣泛用于工業(yè)領(lǐng)域。與單輸入單輸出（SISO）控制系統(tǒng)不同，多輸入多輸出控制系統(tǒng)往往由許多測量和控制信號(hào)組成，且各變量之間具有復(fù)雜的耦合關(guān)系，這給實(shí)際應(yīng)用帶來很大困難。通過某種方法，將多變量系統(tǒng)的輸出分解為單個(gè)獨(dú)立的輸出，這種方法通常稱為解耦［1-2］。變量之間交互作用的強(qiáng)弱是衡量系統(tǒng)控制難度的一個(gè)指標(biāo)。對(duì)于強(qiáng)耦合系統(tǒng)，解耦控制是較為有效的解決方法。自抗擾控制器作為一種不依賴精確數(shù)學(xué)模型、具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和抗擾動(dòng)能力的控制策略，適合用于解決解耦控制面臨的問題。通過線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，可以將回路間耦合、模型不確定性、擾動(dòng)等當(dāng)作總的擾動(dòng)，進(jìn)行估計(jì)并通過控制規(guī)律補(bǔ)償。傳統(tǒng)的解耦方法通過求解逆矩陣來實(shí)現(xiàn)。在這種方法中，求解控制矩陣的逆矩陣顯然是首要問題。

近年來，研究者們提出了一類數(shù)值方法，如蒙特卡羅法、迭代法等［3-5］。文獻(xiàn)［3］提出了一種求解矩陣求逆的迭代算法。文獻(xiàn)［4］采用牛頓迭代法求取矩陣的逆矩陣，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相比。雖然迭代數(shù)值方法對(duì)矩陣求逆有一定的效果，但其缺點(diǎn)是處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的復(fù)雜度很高［6-7］。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于蒙特卡羅方法來求解一類矩陣的逆矩陣方法。雖然迭代數(shù)值方法對(duì)矩陣求逆是可行的，但它們在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)具有復(fù)雜度高的缺點(diǎn)［8-9］，如計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長。

隨著對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步研究，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解逆矩陣的方法開始出現(xiàn)。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有并行處理、分布式存儲(chǔ)、硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)［9-11］。文獻(xiàn)［12］使用了一個(gè)由奇數(shù)激活函數(shù)構(gòu)造的基于梯度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來求解矩陣的逆。文獻(xiàn)［13］提出了一種基于非線性演化公式的有限時(shí)間收斂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來求解時(shí)變矩陣的逆問題，它能在有限時(shí)間內(nèi)收斂并精確地達(dá)到理論解。此外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法不僅可以求解實(shí)數(shù)域的逆矩陣，而且可以通過變換方法求解復(fù)雜域的逆矩陣［14-19］。文獻(xiàn)［19］提出了3 種不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ZNN）模型求復(fù)數(shù)域中時(shí)變矩陣的逆，仿真結(jié)果驗(yàn)證了這些模型的有效性。Wang 等［20］提出了兩個(gè)具有不同激活函數(shù)的復(fù)數(shù)域ZNN 模型，以找到時(shí)變Drazin 逆，這兩種模型都能在有限時(shí)間內(nèi)收斂。文獻(xiàn)［21］提出了一個(gè)復(fù)雜的變參數(shù)ZNN 模型來處理時(shí)變復(fù)數(shù)Sylvester 方程的逆問題。然而，該方法首先需要數(shù)據(jù)收集，訓(xùn)練模型并用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法求解逆矩陣。

本文中，使用矩陣分解方法求解逆矩陣可以有效地克服上述問題。隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，本文提出了一種基于高斯消元法的LU 矩陣分解方法來求解矩陣逆問題，對(duì)求逆矩陣問題進(jìn)行了分析。然后將該問題歸納為二階、三階、非方陣和時(shí)變測量信號(hào)的逆矩陣或高階矩陣，并給出了它們的求逆矩陣的方法。對(duì)于被測信號(hào)變量或高階矩陣，本文提出了一種基于高斯消去法，該方法通過將復(fù)雜矩陣分解為簡單矩陣，降低了求解逆矩陣的難度，能快速得到求解結(jié)果，并且該方法可以借助計(jì)算機(jī)和Matlab 軟件輕松地求解分解矩陣的逆矩陣。此外本文采用二輸入二輸出耦合系統(tǒng)的例子用于測試逆矩陣方法及其在解耦A(yù)DRC 控制中的作用。仿真結(jié)果表明，利用所提出的逆矩陣方法和解耦的ADRC 控制器信號(hào)，可以快速控制系統(tǒng)達(dá)到其平衡點(diǎn)。

因此，本文提出了一種的求解逆矩陣的方法，用于測量信號(hào)變量或高階矩陣的求逆。該方法不僅簡單，而且可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制的效果。另外，這種方法具有較為充分的數(shù)學(xué)理論和完成了非線性MIMO解耦A(yù)DRC 控制的理論和方法，提出了一種可用的非線性MIMO 解耦控制方案。此外，與其他求解逆矩陣方法相比，該方法具有以下特點(diǎn)：1）它可以準(zhǔn)確有效地求解大規(guī)模矩陣的逆問題。2）對(duì)于被測信號(hào)為時(shí)變矩陣的問題，該方法也具有較好的效果。3）與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相比，該方法不需要數(shù)據(jù)采集，訓(xùn)練或額外的學(xué)習(xí)過程。因此，該方法適用于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非線性在線解耦控制。

1 非線性多輸入多輸出自抗擾控制解耦方法

1.1 自抗擾控制

自抗擾控制［22-23］是由韓京清教授首次提出的一種反饋控制方法，它保留了經(jīng)典PID 的基本框架并作了4 個(gè)方面的改進(jìn)：安排過渡過程的裝置；提取系統(tǒng)狀態(tài)信息（TD）和擾動(dòng)總和信息的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器裝置（ESO）；用狀態(tài)誤差信息來產(chǎn)生非線性誤差反饋控制量的裝置；根據(jù)擾動(dòng)估計(jì)值對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償而生成最終控制量的補(bǔ)償裝置［24-25，27］。自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。

圖1 ADRC 控制結(jié)構(gòu)圖

1）安排過渡過程，利用跟蹤微分器（TD）提取微分信號(hào)：其中，fhan 和fal 是構(gòu)造的非線性函數(shù)；vi1，vi2分別是系統(tǒng)狀態(tài)和它的一階微分；i 是下標(biāo)為i 的ADRC 控制器；h 是指離散的時(shí)間采樣步長；yi*是被控量的目標(biāo)設(shè)定值；r 是系統(tǒng)的時(shí)間尺度；h0是過濾因子；e 是估計(jì)狀態(tài)和系統(tǒng)輸出的誤差；yi是系統(tǒng)輸出；zi1，zi2，zi3是擾動(dòng)估計(jì)值；β01，β02，β03和β1，β2是增益系數(shù)；u是控制輸出；α1，α2，δ1是fal 方程中的參數(shù)；b0是控制輸出的補(bǔ)償因子［21］。

1.2 非線性多輸入多輸出系統(tǒng)自抗擾控制

設(shè)有如下的多輸入-多輸出系統(tǒng)：

在這個(gè)系統(tǒng)中的第i 通道的輸入輸出關(guān)系為：

即第i 通道上的輸入為Ui，而其輸出為yi=xi，這樣每一個(gè)通道的虛擬控制變量Ui與被控輸出yi之間是單輸入-單輸出關(guān)系，即第i 通道的被控輸出yi和虛擬控制變量Ui之間就被完全解耦了［1，20-21］。解耦原理如圖2 所示。

圖2 非線性MIMO-ADRC 解耦控制原理圖

1.3 逆矩陣變換分析

根據(jù)上述理論，可以看出式（6）中的矩陣B（x，x˙，t）應(yīng)是可逆的，并且在非線性MIMO 自抗擾解耦過程中，應(yīng)避免該矩陣為奇異矩陣。然而，在許多實(shí)際情況下，被控對(duì)象模型及其控制變量系數(shù)往往是未知的，只能通過把它作為可調(diào)參數(shù)來調(diào)整出其真值附近的值來用。大量仿真研究表明，對(duì)參數(shù)B（t）的估計(jì)值精度要求并不高，相對(duì)誤差在30 %之內(nèi)不會(huì)影響控制效果。因此，即使矩陣B（x，x˙，t）在系統(tǒng)運(yùn)行過程中瞬間地出現(xiàn)不可逆的奇異現(xiàn)象也關(guān)系不大，可以在矩陣B（x，x˙，t）附近找一個(gè)可逆矩陣來近似即可。對(duì)于因矩陣系數(shù)為零的奇異矩陣，矩陣系數(shù)也可以在不超過30 %范圍內(nèi)變化，以此避免奇異現(xiàn)象的出現(xiàn)。并且這只會(huì)影響控制信號(hào)u（t）的能量大小，并不會(huì)影響ADRC 控制器的最終控制效果［22］。

此外系數(shù)矩陣B（t）主要隨時(shí)間變化，因此，矩陣B（t）是一個(gè)可以被實(shí)時(shí)測量的信號(hào)變量矩陣。對(duì)于此類問題，常規(guī)用于求解實(shí)數(shù)型矩陣的求解逆矩陣的方法不再適用。在這種情況下，通常只有一般的變量迭代法才能求解逆矩陣。因此，本文提出了一種基于高斯消元法求逆矩陣的方法，該方法可以求解被測信號(hào)變量的逆矩陣，不需要控制對(duì)象模型等條件的約束。

2 逆矩陣的求解方法

逆矩陣的求解在工程實(shí)踐中起著重要的作用。對(duì)于低階矩陣而言，如二階或三階矩陣，有一些常規(guī)的逆矩陣求解方法，如定義法、伴隨矩陣法以及矩陣變化法等。

對(duì)于高階變量矩陣，這些常規(guī)的求解方法并不能很好地解決問題。因此，本文提出一種基于高斯消元法的矩陣分解的求解逆矩陣方法，這種方法不僅可以快速求解高階矩陣的逆矩陣，而且可以求解時(shí)變矩陣的逆矩陣。

2.1 二階、三階矩陣的求逆方法

定義1.如果存在矩陣A，B，使得AB=BA=E，其中E 是單位矩陣，那么稱A 矩陣可逆，并且有A-1=B。

因此，二階或三階矩陣的逆矩陣求解是有確定求解方式的，它們可以直接用方程式（13）和方程式（14）求得結(jié)果，可以避免使用中間數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，減少了計(jì)算量。

2.2 非方陣矩陣的求逆方法

，

這個(gè)廣義逆求解法是另一種可用的方法。因此，非線性MIMO 解耦A(yù)DRC 方法可以用于更一般形式的狀態(tài)變量方程。

2.3 變量矩陣和高階矩陣的求逆方法

對(duì)于變量高階矩陣，上述矩陣變換結(jié)果不能用于求解其逆矩陣。因此，本文提出了一種基于高斯消元法的LU 矩陣分解求逆方法，有效地解決此類的逆問題。

第2 步

通過這種方法，只要矩陣變量可以測量或估計(jì)，就可以用多項(xiàng)式計(jì)算求解逆矩陣。因此，該方法適用于實(shí)時(shí)求解被測信號(hào)變量或高階矩陣的逆問題。

3 仿真結(jié)果與分析

通過一個(gè)數(shù)值例子的仿真說明該方法的有效性。假設(shè)一個(gè)非線性二輸入二輸出系統(tǒng)公式如下：

根據(jù)式（27），系數(shù)矩陣的變化圖如圖3 所示。

圖3 耦合矩陣B（t）求逆前，控制輸入系數(shù)b11（t），b12（t），b21（t），b22（t）隨時(shí)間變化曲線

根據(jù)式（17）～式（24）中的矩陣分解求逆方法，可計(jì)算出耦合矩陣B（t）的逆矩陣：

則B（t）的逆矩陣：

然后，將變量代入式（28），耦合矩陣B（t）的逆矩陣變化如圖4 所示。

圖4 通過矩陣分解求解B（t）逆矩陣時(shí)，控制輸入系數(shù)b11（t），b12（t），b21（t），b22（t）隨時(shí)間變化曲線

根據(jù)式（14）中的二階矩陣求逆方法，可計(jì)算出矩陣B（t）的逆矩陣：

矩陣B（t）在求逆時(shí)內(nèi)部元素變化曲線圖如圖5所示。

行列式bb 隨時(shí)間的變化曲線如圖6 所示。

圖6 耦合矩陣的行列式bb 隨時(shí)間的變化曲線

從圖4 和圖5 可以看出，通過矩陣LU 分解求逆和式（14）方法求逆，兩者的系數(shù)矩陣B（t）中的元素變化曲線是相同的，這也從另一方面證實(shí)了式（29）方法的正確性和有效性。將耦合矩陣B（t）通過矩陣LU 分解求逆后，就能夠很好地解決式（26）、式（27）中的二輸入二輸出的非線性自抗擾解耦控制問題。通過設(shè)置不同的初始狀態(tài)，進(jìn)一步驗(yàn)證控制信號(hào)的穩(wěn)定性和有效性。

1）初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［0，0］

將初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［0，0］，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，在仿真過程中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x（t）隨時(shí)間的變化曲線如下頁圖7（a）所示，控制變量u（t）隨時(shí)間的變化曲線如圖7（b）所示。仿真實(shí)驗(yàn)表明，系統(tǒng)的狀態(tài)變量在短暫波動(dòng)后迅速收斂到目標(biāo)設(shè)定值，利用本文所提方法可以快速實(shí)現(xiàn)式（26）二階自抗擾控制的解耦問題。仿真圖像表明，狀態(tài)變量和控制變量都可以快速收斂，從而證明了本文方法的有效性和可行性。

圖7 系統(tǒng)初始狀態(tài)為［0，0］收斂曲線

2）初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［1，-1］

將初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［1，-1］，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，在仿真過程中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x（t）隨時(shí)間的變化曲線如圖8（a）所示，控制變量u（t）隨時(shí)間的變化曲線如圖8（b）所示。仿真實(shí)驗(yàn)表明，系統(tǒng)的狀態(tài)變量在短暫波動(dòng)后迅速收斂到目標(biāo)設(shè)定值，利用本文所提方法可以快速實(shí)現(xiàn)式（26）二階自抗擾控制的解耦問題。仿真圖像表明，狀態(tài)變量和控制變量都可以快速收斂，從而證明了本文方法的有效性和可行性。

圖8 系統(tǒng)初始狀態(tài)為［1，-1］收斂曲線

3）初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［0.5，0.5］

將初始系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)為x=［0.5，0.5］，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，在仿真過程中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x（t）隨時(shí)間的變化曲線如圖9（a）所示，控制變量u（t）隨時(shí)間的變化曲線如圖9（b）所示。仿真實(shí)驗(yàn)表明，系統(tǒng)的狀態(tài)變量在短暫波動(dòng)后迅速收斂到目標(biāo)設(shè)定值，利用本文所提方法可以快速實(shí)現(xiàn)式（26）二階自抗擾控制的解耦問題。仿真圖像表明，狀態(tài)變量和控制變量都可以快速收斂，從而證明了本文方法的有效性和可行性。

圖9 系統(tǒng)初始狀態(tài)為［0.5，0.5］收斂曲線

4 結(jié)論

本文首先分析了非線性多輸入多輸出自抗擾解耦控制中的求解逆矩陣問題。然后，將該問題概括為二階、三階、非方形和測量時(shí)變信號(hào)或高階矩陣的求逆問題，并逐一給出相應(yīng)的求解方法。對(duì)于時(shí)變測量信號(hào)或高階矩陣，本文提出了一種基于高斯消元過程的LU 矩陣分解求逆方法，可以實(shí)時(shí)求解其逆矩陣。本文以二輸入二輸出非線性耦合系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了所提求解逆矩陣方法及其在解耦A(yù)DRC 控制中的有效性和可行性。仿真結(jié)果表明，采用該求逆矩陣方法和解耦的ADRC 控制器信號(hào)，可以快速收斂到控制系統(tǒng)所設(shè)定的目標(biāo)值。

該方法具有許多特點(diǎn)，首先，該方法非常適合于求解時(shí)變測量信號(hào)矩陣或高階矩陣的逆矩陣，矩陣階數(shù)越高，這種方法的優(yōu)點(diǎn)就越明顯。其次，這是對(duì)求解逆矩陣的一種動(dòng)態(tài)求解方法，特別是對(duì)變系數(shù)矩陣的求解。第3，該方法由于避免大量中間數(shù)據(jù)的計(jì)算，大大縮短了計(jì)算時(shí)間?？傊?，這是一種實(shí)時(shí)的在線求逆方法，并具有較為充分的數(shù)學(xué)理論支撐。值得注意的是，這種方法是一種很有前景的新方法，因?yàn)樗且环N在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)求逆方法。由于該方法具有較為充分的數(shù)學(xué)理論支撐，為進(jìn)一步研究非線性解耦A(yù)DRC 控制提供了新的研究思路，該方法將有助于完善非線性MIMO 解耦A(yù)DRC 控制的理論和方法。然而，本文提出的方法并不能解決所有不可逆奇異矩陣問題。因此，為使該方法更廣泛地得到應(yīng)用，需要進(jìn)一步研究所提出的分解方法來解決逆矩陣問題。