一階動(dòng)態(tài)電路零狀態(tài)響應(yīng)公式的通用拓展

周 波 趙子瑜 謝天壤

(1.北京理工大學(xué) 集成電路與電子學(xué)院,北京 100081)(2.北京理工大學(xué) 徐特立學(xué)院,北京 100081)

一階動(dòng)態(tài)電路的三種響應(yīng)及其公式是“電路分析”課程教學(xué)中的重要部分[1-5]。現(xiàn)有課程及教材,都提到一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)公式(1)及全響應(yīng)(三要素法)公式(3)均適用于狀態(tài)變量與非狀態(tài)變量,而且全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加(代數(shù)和);但是零狀態(tài)響應(yīng)公式(2)卻只適用于狀態(tài)變量,不適合非狀態(tài)變量[1-3]。這一結(jié)論讓學(xué)生很困惑——既然式(1)和(3)適用于所有變量,而式(3)是式(1)和(2)的代數(shù)和,那么式(2)為什么對(duì)非狀態(tài)變量不具有狀態(tài)變量那樣的普適性?

f零輸入(t)=f(0+)e-t/τ

(1)

f零狀態(tài)(t)=f(∞)(1-e-t/τ)

(2)

f全響應(yīng)(t)=f零輸入(t)+f零狀態(tài)(t)

=f(0+)e-t/τ+f(∞)(1-e-t/τ)

=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-t/τ

(3)

這里,τ定義為時(shí)間常數(shù),是電路的固有特性,跟三種響應(yīng)類型沒有關(guān)系,在一階RC電路中τ=RC,在一階RL電路中,τ=L/R;f(t)代表t時(shí)刻任一變量的瞬時(shí)值,f(0+)代表變量在電路狀態(tài)發(fā)生變化后瞬間的瞬時(shí)值,f(∞)代表變量在電路狀態(tài)變化后再次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)的值。

為了解決學(xué)生的這一困惑,本文補(bǔ)充和拓展了一階動(dòng)態(tài)電路零狀態(tài)響應(yīng)的公式,使其不僅適用于狀態(tài)變量,而且適用于非狀態(tài)變量。并通過(guò)兩個(gè)實(shí)例講解,闡述了對(duì)于所有變量,該拓展公式在一階動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用價(jià)值。

1 零狀態(tài)響應(yīng)的局限性及公式拓展

為了后續(xù)進(jìn)一步說(shuō)明,這里先闡明三個(gè)基本概念:①狀態(tài)變量(電容電壓或電感電流)是不能突變的,即f(0+)=f(0-),而非狀態(tài)變量是會(huì)突變的,即f(0+)≠f(0-);②零輸入響應(yīng)與全響應(yīng)對(duì)應(yīng)的同一變量的初始值未必相等,即式(1)和(3)的f(0+)未必相等,這是因?yàn)橐粋€(gè)有電源激勵(lì)(全響應(yīng)),一個(gè)無(wú)電源激勵(lì)(零輸入);③零狀態(tài)響應(yīng)時(shí),對(duì)于狀態(tài)變量有f(0+)=0,對(duì)于非狀態(tài)變量f(0+)不一定等于0。

基于這三個(gè)概念,對(duì)式(1)和(3)進(jìn)行調(diào)整,得到式(4)和(5)。這里,f(0+無(wú)電源)指無(wú)電源情況下變量在換路瞬間的瞬時(shí)值 (對(duì)狀態(tài)變量則為初始值),f(0+有電源)指帶電源情況下變量在換路瞬間的瞬時(shí)值 (對(duì)狀態(tài)變量則為初始值)。

f零輸入(t)=f(0+無(wú)電源)e-t/τ

(4)

f全響應(yīng)(t)=f(∞)+[f(0+有電源)-f(∞)]e-t/τ

=f零輸入(t)+f零狀態(tài)(t)

(5)

基于疊加定理,將式(5)與式(4)作差,得到零狀態(tài)響應(yīng)如公式(6)所示,這才是所有變量都通用的一階動(dòng)態(tài)電路零狀態(tài)響應(yīng)的拓展公式。

f零狀態(tài)(t)=f(∞)(1-e-t/τ)+[f(0+有電源)-f(0+無(wú)電源)]e-t/τ

(6)

對(duì)比式(2)和(6),不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng),有f(0+無(wú)電源) =f(0+有電源) = 0,此時(shí)式(6)才簡(jiǎn)化為式(2),即現(xiàn)有的零狀態(tài)響應(yīng)公式(2)適用于狀態(tài)變量;對(duì)于非狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng),有f(0+無(wú)電源) ≠f(0+有電源),此時(shí)式(2)不等于式(6),即現(xiàn)有的零狀態(tài)響應(yīng)公式(2)不適用于非狀態(tài)變量。

對(duì)于“電路分析”課程涉及的任一線性電路,在零狀態(tài)響應(yīng)下,f(0+無(wú)電源)=0恒成立,這是因?yàn)樵谥绷麟娫醇半娙蓦妷夯螂姼须娏鞒跏贾稻鶠?的情況下,所有變量的初始值也為0。因此,式(6)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為式(7)。

f零狀態(tài)(t)=f(∞)(1-e-t/τ)+f(0+有電源,零狀態(tài))e-t/τ

(7)

考慮式(7)有三個(gè)要素:f(∞)、f(0+有電源,零狀態(tài))和τ,我們稱之為零狀態(tài)三要素法。提議的求解零狀態(tài)響應(yīng)的零狀態(tài)三要素法跟教材講授的求解全響應(yīng) (零狀態(tài)+零輸入) 的三要素法區(qū)別如表1所示。

如表2所示,分析比較了教材傳統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)公式與本文提議的通用零狀態(tài)響應(yīng)公式。至此,本文解決了學(xué)生的疑問。教材和課程講授的式(2)是只適合狀態(tài)變量的傳統(tǒng)型零狀態(tài)響應(yīng)公式,而本文提出的式(7)才是既適用狀態(tài)變量又適用非狀態(tài)變量的、通用的零狀態(tài)響應(yīng)公式。

表2 零狀態(tài)響應(yīng)公式的對(duì)比說(shuō)明

2 零狀態(tài)響應(yīng)拓展公式的實(shí)例驗(yàn)證

下面分別以一階RC和一階RL動(dòng)態(tài)電路的非狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng)計(jì)算為例,對(duì)比教材所述的方法 (先用式(2)求狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng),然后間接求出非狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng),稱為傳統(tǒng)方法) 與本文提議的方法 (直接用式(7)計(jì)算非狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應(yīng),稱為零狀態(tài)三要素法),來(lái)驗(yàn)證所提議的拓展公式的合理性,以闡述該拓展公式在一階動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用價(jià)值。

傳統(tǒng)方法在眾多教材中有詳細(xì)的操作步驟,不再贅述,這里給出提議的零狀態(tài)三要素法的詳細(xì)操作流程:①計(jì)算f(∞),此時(shí)電容C開路或電感L短路,電路帶直流電源;②計(jì)算τ(τ=RC或L/R),電源除源 (電壓源短路,電流源開路),計(jì)算C或L兩端并聯(lián)電阻R;③計(jì)算f(0+有電源,零狀態(tài)),此時(shí)電源保留,電容短路,電感開路;④得到上述三個(gè)要素后,直接套用式(7)計(jì)算。

2.1 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)例驗(yàn)證

如圖1所示,給出了一階RL動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)i(t)的計(jì)算實(shí)例。式(8)～(10)給出了基于傳統(tǒng)方法的i(t)求解過(guò)程。

圖1 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)例

(8)

iL(t)=3.5×(1-e-24t)A

(9)

(10)

式(11)～(12)給出了基于提議的零狀態(tài)三要素法求解i(t)的過(guò)程。兩方法計(jì)算結(jié)果完全相同,但計(jì)算過(guò)程不同,成功驗(yàn)證了所提議的拓展公式及零狀態(tài)三要素分析法。

(11)

i(t)=2.5×(1-e-24t)+0.4e-24t=2.5-2.1e-24tA

(12)

2.2 一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)例驗(yàn)證

如圖2所示,給出了一階RC動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)u(t)的計(jì)算實(shí)例。式(13)～(15)給出了基于傳統(tǒng)方法的u(t)求解過(guò)程。

圖2 一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)例

(13)

uC(t)=5×(1-e-100t)V

(14)

(15)

式(16)～(17)給出了基于提議的零狀態(tài)三要素法求解u(t)的過(guò)程。兩方法計(jì)算結(jié)果完全相同,但計(jì)算過(guò)程不同,再一次成功驗(yàn)證了所提議的拓展公式及零狀態(tài)三要素分析法。

(16)

u(t)=5×(1-e-100t)+4e-100t=5-e-100tV

(17)

3 結(jié)語(yǔ)

在一階動(dòng)態(tài)電路零狀態(tài)響應(yīng)的分析過(guò)程中,對(duì)于非狀態(tài)變量,無(wú)法利用已知條件套用公式直接求解。我們通過(guò)轉(zhuǎn)換思路,將普適的零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)公式先行給出,再利用疊加定理反向推導(dǎo)出零狀態(tài)響應(yīng)的普適性拓展公式 (零狀態(tài)三要素法)。再給出兩個(gè)具體實(shí)例講述零狀態(tài)三要素法的操作步驟,驗(yàn)證并闡述該方法在一階動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)以上論述,徹底解決了本科生在“電路分析”課程學(xué)習(xí)中遇到的相關(guān)困惑,具有極其重要的教育教學(xué)參考價(jià)值。