帶單機(jī)器人的流水作業(yè)排序問題的復(fù)雜性

時(shí) 凌，張 瓊，龍彩燕

（廣州工商學(xué)院通識教育學(xué)院，廣東 廣州 510850）

0 引言

帶單機(jī)器人的流水作業(yè)排序問題可描述為：給定m臺機(jī)器M1，M2，…，Mm和n個(gè)工件J1，J2，…，Jn，每個(gè)工件Jj在m臺機(jī)器的工序?yàn)镼i,j(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)，其加工順序?yàn)椋篞1,j→Q2,j→...→Qm,j.工序Qi,j在機(jī)器Mi上的加工時(shí)間為pi,j，且在加工時(shí)不可中斷.每臺機(jī)器在同一時(shí)間只能加工一個(gè)工件，而每個(gè)工件在同一時(shí)間只能在一臺機(jī)器上加工.筆者假設(shè)同一工件在一臺機(jī)器上完工后到下一臺機(jī)器加工之前存在一定的運(yùn)輸時(shí)間tj,k，所有的運(yùn)輸工作均由單機(jī)器人R來完成，且單機(jī)器人R同時(shí)只能運(yùn)輸一個(gè)工件，于是在機(jī)器人R和機(jī)器Mi之間就會出現(xiàn)一定的沖突.假設(shè)所有的加工時(shí)間pi,j和運(yùn)輸時(shí)間tj,k均為正整數(shù).

1 排序問題F2,R1| p1,j=p2,j=pj;tj∈{T1,T2}|Cmax 的復(fù)雜性

由于排序問題F3||C存在同順序最優(yōu)解［8］，所以該排序問題只考慮同順序的最優(yōu)解.用σ和τ分別表示工件在機(jī)器M1和M2上的加工順序，C(σ,τ)表示排序問題的最小完工時(shí)間.

引理1［2］對于加工時(shí)間和運(yùn)輸時(shí)間分別為pi,j、tj的排序問題則：

其中，σ-1(k)和τ-1(k)分別表示工件Jk在序列σ和τ中的相應(yīng)位置.

定理1排序問題是強(qiáng)NP-困難的.

證明利用強(qiáng)NP-困難的3-劃分問題［9］到排序問題的歸約來證明該排序問題也是強(qiáng)NP-困難的.

3-劃分問題：給定正整數(shù)集X={x1,x2,...,x3m}和正整數(shù)b，且滿足

確定整數(shù)集X是否存在包含3個(gè)元素的m個(gè)不相交的子集{X1,X2,...,Xm}的劃分，且

給定3-劃分問題的一個(gè)實(shí)例，定義具有下面2類工件的排序問題

（1）3m劃分工件，或者稱為P-工件：

（2）m大工件，或者稱為L-工件：

門檻值為y=3mb+3b，相應(yīng)的確定性問題為：是否存在完工時(shí)間C(S)不超過門檻值y=3mb+3b的加工順序S.

假設(shè)3-劃分問題的解存在，設(shè) {X1,X2,...,Xm}是滿足式（3）的劃分，其中，Xi=(xξ(i),xη(i),x?(i))(i=1,2,...,m).

對于每個(gè)工件Jj構(gòu)建包含工件ξ(j),η(j),?(j)和工件 3m+j，其加工順序?yàn)?((3m+1);ξ(1),η(1),?(1);(3m+2);ξ(2),η(2),?(2);...;(4m-1);ξ(m),η(m),?(m);4m)，如圖1 所示.

圖1 排序問題F2,R1| p1,j=p2,j=pj;tj∈{T1,T2}|Cmax的甘特圖Fig.1 Gantt chart for the F2,R1| p1,j=p2,j=pj;tj∈{T1,T2}|Cmaxscheduling problem

則對于圖1給出的加工順序S，顯然滿足：C(S)≤y.

于是得到同順序的S且C(S)=y，且有如下結(jié)論：

（1）因?yàn)閜1,j＞0，先加工工件(3m+1)；

（2）因?yàn)閜2,j＞0（j≠m），工件4m安排在最后加工；

（3）機(jī)器M1在區(qū)間［0,3mb］內(nèi)加工工件，且無空閑時(shí)間；

（4）機(jī)器M2在區(qū)間［3b,3mb+3b］內(nèi)加工工件，且無空閑時(shí)間；

（5）單機(jī)器人R在區(qū)間[(3i+2)b,(3i+4)b](i=0,1,...,(m-1))內(nèi)運(yùn)輸工件，且無空閑時(shí)間.

不失一般性，假設(shè)機(jī)器以{1,2,...,m-1,m}的順序加工工件，即按單調(diào)遞增的順序加工工件.設(shè)工件(3m+1)與工件(3m+2)之間加工的工件子集為X1={i1,i2,...,ik}，如圖2所示.

圖2 排序問題F2,R1| p1,j=p2,j=pj;tj∈{T1,T2}|Cmax的子圖Fig.2 Subgraph for theF2,R1| p1,j=p2,j=pj;tj∈{T1,T2}|Cmaxscheduling problem

于是X1≠Φ，否則在工件(3m+1)和工件(3m+2)出現(xiàn)空閑時(shí)間，與結(jié)論（3）～（5）矛盾.下面證明k=3和成立.假設(shè)表示工件Jj按加工順序σ在機(jī)器Mi上的完工時(shí)間，則：

如果k≤2，則有：

如果k≥4，則有：

另一方面，由于工件(3m+1)必須先完成運(yùn)輸才能加工，因此工件(3m+2)不會在時(shí)間2b+kb之前在機(jī)器M加工.于是工件(3m+1)在機(jī)器M完工時(shí)間為，但工件(3m+2)在機(jī)器M1上還沒有完成集合X1中工件的加工，與結(jié)論（4）矛盾，故必須有k=3.這就意味著單機(jī)器人R在時(shí)間段[2b,3b]和時(shí)間段[3b,4b]運(yùn)輸工件 (3m+1)和工件 (3m+2).所以，即：

另外，由于機(jī)器M2在時(shí)間段[4b,6b]沒有空閑時(shí)間，因此工件(3m+1)在機(jī)器M2上的完工時(shí)間不遲于6b，則有：

因?yàn)閜1,i=p2,i=xi，所以

即X1是包含3個(gè)元素且滿足

同理可證余下的集合X2,X3,...,Xm也是滿足包含3個(gè)元素且滿足故集合X1,X2,...,Xm就是包含3元素且滿足的3-劃分問題的解.

證畢.

2 小結(jié)