解析幾何教學中提升數(shù)學運算素養(yǎng)的研究
——以2021年新高考Ⅰ卷第21題為例

福建 陳崇榮

數(shù)學運算素養(yǎng)是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，數(shù)學運算主要包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.解析幾何是提升運算素養(yǎng)的主要載體，本文就2021年新高考Ⅰ卷第21題談?wù)剶?shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

(1)求C的方程；

1.探尋學生解題的心路歷程及“卡殼”原因

試題的呈現(xiàn)方式簡潔、易懂，解題思路也比較明確，但得分率不夠理想，學生普遍反映計算量大，計算過程不順利.筆者仔細研究試題后，針對第(2)問與幾位同學進行了交流.

2.直線方程的點斜式VS斜截式

從上面可以看出，設(shè)直線方程時學生1和學生2都選擇直線的點斜式方程，學生3選擇的是斜截式方程，筆者順著學生的思路進行解答，過程如下：

設(shè)直線的點斜式方程解法：

設(shè)直線的斜截式方程解法：

點評：解析幾何本質(zhì)是以代數(shù)的角度研究幾何問題，代數(shù)運算是避不開的，如何進行有效的運算，優(yōu)化運算，提升學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)值得研究.直線點斜式方程和斜截式方程各有優(yōu)點，也是平時教學中常提倡的設(shè)法，表面上看已知直線的斜率及過一點一般設(shè)點斜式，已知直線的斜率及截距一般設(shè)斜截式，但從上面三位學生的解題分析看,此題用斜截式優(yōu)于點斜式，因此在解題教學中引導(dǎo)學生在選擇直線方程時，要斟酌，會涉及后面的運算量的大小.例如要把直線方程(含兩個參數(shù))代入二次曲線方程消元時，涉及平方，直線方程可以考慮設(shè)斜截式，因為斜截式中項比較少.

3.探尋優(yōu)化運算之路

3.1平移直角坐標優(yōu)化數(shù)學運算

坐標軸平移法：

3.2探尋試題來源 提煉解題經(jīng)驗 優(yōu)化數(shù)學運算

本題背景是四點共圓問題，四點共圓主要有兩個定理:

定理1：AB和CD是圓錐曲線的兩條相交弦，且AB與CD交于點P，則四點A，B，C，D共圓的充要條件是直線AB與直線CD的傾斜角互補.

定理2：AB和CD是圓錐曲線的兩條相交弦，且AB與CD交于點P，則四點A，B，C，D共圓的充要條件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

關(guān)于四點共圓的問題在高考、競賽中多次出現(xiàn)，解決四點共圓問題主要有四種方法，一是利用直線參數(shù)方程的幾何意義，二是利用曲線系方程，三是利用兩直線的夾角公式，四是利用平面幾何知識.下面就利用直線的參數(shù)方程和曲線系方程來解2021年新高考Ⅰ卷第21題，體會以往解題經(jīng)驗優(yōu)化數(shù)學運算的優(yōu)勢.

點評:《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中直線的參數(shù)方程不作要求，但筆者認為教師有必要高屋建瓴的把握試題的解法、立意等，恰當運用曲線的參數(shù)方程，優(yōu)化有關(guān)解析幾何的數(shù)學運算.

點評:二次曲線的方程一般為Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，高中階段涉及圓、橢圓、雙曲線、拋物線.

若直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，則(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0可以認為是非退化的二次曲線.

若曲線C1:f1(x，y)=0，曲線C2:f2(x，y)=0，則過兩曲線交點的曲線系方程可表示為λf1(x，y)+μf2(x，y)=0(λ∈R，μ∈R)，當確定所求曲線不是C1或C2時，可以設(shè)一個參數(shù)，即為f1(x，y)+λf2(x，y)=0.

4.提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)的教學反思