探討求解三角形周長(zhǎng)與面積的范圍

四川 唐有強(qiáng)

在數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考教學(xué)過(guò)程中,如何實(shí)現(xiàn)高頻考點(diǎn)的突破，解決教學(xué)難點(diǎn)，從做一個(gè)試題，到會(huì)一類試題，達(dá)到觸類旁通；如何做到挖掘典型試題，從一題多變、一題多解、一題優(yōu)解到萬(wàn)題歸一，從而啟迪學(xué)生的思維，品味數(shù)學(xué)試題的精髓.本文筆者將以求解三角形中的周長(zhǎng)、面積的取值范圍問(wèn)題為例，呈現(xiàn)教學(xué)片段，以供參考.

縱觀求解有關(guān)三角形的周長(zhǎng)或面積的取值范圍問(wèn)題，在高考真題與模擬試題中的基本模式為已知三角形的一邊及其對(duì)角，求解三角形的周長(zhǎng)或面積的最值或取值范圍問(wèn)題.為讓學(xué)生主動(dòng)掌握此類問(wèn)題的求解技巧和解題環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：

(1)△ABC的周長(zhǎng)取值范圍是;

(2)△ABC的面積的最大值為.

環(huán)節(jié)一：試題分析與求解：在分析中找準(zhǔn)試題的突破點(diǎn)與解題策略

提問(wèn)：品味試題，弄清試題已知什么，求解什么，如何尋求突破點(diǎn)？

學(xué)生1：由求解范圍、最值，我想到的突破點(diǎn)為借助三角函數(shù)工具.

學(xué)生2：不等式也可以求范圍，我想能否從不等式角度找到突破口.

老師：兩位同學(xué)的思維都有一定的代表性,那又如何建立函數(shù)或不等關(guān)系呢?請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考.

學(xué)生3：既然是三角形，我想到正弦定理，以角為自變量建立函數(shù)關(guān)系，思路如下:

將周長(zhǎng)與面積都建立成關(guān)于角B的三角函數(shù)關(guān)系式，再求解.

老師：很好，學(xué)生3的思路很清晰，但要提醒同學(xué)們注意兩點(diǎn)：①角B是否有取值范圍，②三角恒等變換力求準(zhǔn)確.除了這個(gè)思路，不等式能求解嗎？

老師：學(xué)生4的思路很清晰，設(shè)想構(gòu)建合理，我想問(wèn)一下同學(xué)們，整個(gè)過(guò)程中是否有缺陷？

學(xué)生5：好像最后只能得到目標(biāo)的最大值或最小值，但范圍是否還缺點(diǎn)什么？在求三角形的周長(zhǎng)時(shí)，是否還要用到隱含條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

老師：學(xué)生5的思維非常嚴(yán)謹(jǐn)，考慮非常仔細(xì)，結(jié)合上面5位同學(xué)的思路，請(qǐng)同學(xué)們馬上整理思路，書寫試題解析 ：

于是△ABC的周長(zhǎng)為

△ABC的面積為

解法2：在△ABC中，由余弦定理得,

a2=b2+c2-2bccosA,

所以3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.

評(píng)析：通過(guò)以上兩種方法的比較，解法1側(cè)重三角恒等變換，對(duì)學(xué)生在三角化簡(jiǎn)方面有較高要求;解法2側(cè)重代數(shù)結(jié)構(gòu)分析和不等式的變形轉(zhuǎn)化，對(duì)學(xué)生在代數(shù)結(jié)構(gòu)分析方面有較高要求，從解答過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)涉及范圍問(wèn)題，建議用解法1，涉及單邊最值問(wèn)題，建議用解法2.

環(huán)節(jié)二：試題升華、歸納總結(jié)：在提煉中研究試題，在研究中優(yōu)解試題

提問(wèn)：同學(xué)們?cè)谠囶}整理和解答中，是否有其他的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生6：感覺(jué)周長(zhǎng)和面積的最大值都在三角形為等腰三角形時(shí)取得.

學(xué)生7：已知三角形的一邊及其對(duì)角，由正弦定理可得這樣的三角形的外接圓的半徑是一個(gè)定值.

老師：結(jié)合兩位同學(xué)提出來(lái)的思考，我們一起來(lái)探索一下看看有什么新的發(fā)現(xiàn).

命題：已知△ABC是以A為頂角的等腰三角形，在圓周上任取(異于點(diǎn)A,B,C)一點(diǎn)A1，連接A1B,A1C，證明：A1B+A1C

延長(zhǎng)CA1至點(diǎn)B1,使得A1B1=A1B，則A1B+A1C=CB1.連接AA1,AB1,延長(zhǎng)BA1交AB1于點(diǎn)E,

因?yàn)锳,A1,B,C四點(diǎn)共圓，所以∠EA1A=∠BCA,

因?yàn)锳B=AC,所以∠AA1C=∠BCA,

則有∠EA1A=∠AA1C，而∠B1A1E=∠BA1C,

故有∠B1A1A=∠BA1A，而A1B1=A1B，AA1=AA1,

則△AA1B1≌△AA1B,

于是AB1=AB,

故AB+AC=AB1+AC

>B1C=A1B1+A1C=A1B+A1C,

另外,要使△ABC的面積達(dá)到最大，由于底邊a一定，只需高最大即可，結(jié)合三角形的外接圓，即高過(guò)三角形外接圓圓心，面積達(dá)最大值，實(shí)質(zhì)就是底邊a的中垂線過(guò)圓心與圓的交點(diǎn)，取得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,故△ABC為等腰三角形時(shí)，周長(zhǎng)與面積取得最大值.

試題總結(jié)：結(jié)合上述證明過(guò)程得到如下結(jié)論：在三角形中，已知三角形一個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊，當(dāng)三角形是已知角為頂角的等腰三角形時(shí)，三角形的周長(zhǎng)與面積取得最大值.

公式推導(dǎo)△ABC的周長(zhǎng)：

證法1:在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-A-B，

于是△ABC周長(zhǎng)為

因?yàn)閒(x)=sinx在x∈(0，π)上為凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)可得，

證法2：在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-A-B,

于是△ABC周長(zhǎng)為

設(shè)f(x)=sinB+sin(A+B)

=(1+cosA)sinB+sinAcosB,

f′(x)=cosB+cos(A+B)=cosB-cosC，

令f′(x)=0,當(dāng)且僅當(dāng)B=C時(shí)成立，此時(shí)f(x)取最大值，

△ABC的面積：

(當(dāng)且僅當(dāng)∠B=∠C時(shí)取等號(hào))，

環(huán)節(jié)三：體驗(yàn)反饋、高考鏈接

反饋訓(xùn)練1：(2021·上海卷·9)在圓柱中，底面圓半徑為1，高為2，上頂面圓的直徑為AB，C是底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則△ABC的面積的范圍.

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,過(guò)C作CE⊥⊙O,由三垂線定理可知DE⊥AB,

評(píng)析：本題以圓柱為背景，求解三角形的面積取值范圍問(wèn)題，考查空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，打破了常規(guī)的命題角度，考查學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新能力.解法1，結(jié)合圓柱中的點(diǎn)、線、面關(guān)系，把三角形的面積問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問(wèn)題.解法2，將立體問(wèn)題平面化，研究動(dòng)點(diǎn)C形成的三角形的面積問(wèn)題，采用極限思維，借助三角形面積最值產(chǎn)生的條件，最終動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題靜態(tài)求解.

反饋訓(xùn)練2：(2020·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

解:(1)由正弦定理可得,BC2-AC2-AB2=AC·AB,

(2)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,

即(AC+AB)2-AC·AB=9.

評(píng)析：本題以三角形背景，考查邊角互化、正余弦定理的應(yīng)用以及三角形的周長(zhǎng)最值,第(1)問(wèn)側(cè)重考查學(xué)生對(duì)三角恒等式結(jié)構(gòu)分析以及借助正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，第(2)問(wèn)考查三角形的周長(zhǎng)最大值轉(zhuǎn)化到邊的最大值，可以直接借助余弦定理和基本不等式求得周長(zhǎng)的最大值，另外也可以把邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化到對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)上，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.

環(huán)節(jié)四：課后補(bǔ)償，鞏固提高

2.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且2acosC=2b-c,若a=1,求b+c的取值范圍．

參考答案：(1,2]

(1)△ABC的周長(zhǎng)取值范圍是.

(2)△ABC的面積的最大值為.