廣東 潘 宇 謝賢祖
2021年高考剛剛落下帷幕,全國(guó)各地老師紛紛對(duì)其中的優(yōu)秀試題展開(kāi)研究.筆者在研究2021年全國(guó)甲卷第20題時(shí),發(fā)現(xiàn)該題既可以用特殊位置猜想結(jié)果,又可以用基本思想方法解答.此題不僅可以尋找到往年舊題中的縮影,更能挖掘其深藏的競(jìng)賽背景,下面筆者以此題為例,從真題解法賞析、試題背景溯源、基本思想方法的應(yīng)用和教學(xué)啟示等四個(gè)方面展開(kāi)詳細(xì)闡述.
【例1】(2021·全國(guó)甲卷理·20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且⊙M與l相切.
(1)求C,⊙M的方程;
(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
評(píng)注:由于第二問(wèn)難度較大,很多學(xué)生可能想不到如何破解或者在考場(chǎng)上來(lái)不及研究,所以可以先用“特殊化”的思想,預(yù)測(cè)答案,再?gòu)摹疤厥獾揭话恪?,尋找證明思路,或者書(shū)寫(xiě)有效的得分步驟,爭(zhēng)取得分最大化.
分析2:設(shè)A1(x0,y0),A2(x1,y1),A3(x2,y2),
整理得直線A1A2:x-(y0+y1)y+y0y1=0,
同理可得A2A3:x-(y1+y2)y+y1y2=0.
例1的競(jìng)賽背景為彭賽列閉合定理:平面上給定兩條圓錐曲線,若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條圓錐曲線,則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn),且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.
簡(jiǎn)明的彭賽列閉合定理表示:一個(gè)三角形外接于一個(gè)圓,內(nèi)切一個(gè)圓,則三角形的外接圓可以有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形,滿足其內(nèi)切圓為上述的同一個(gè).于是可以得到如下分析:
評(píng)注:知道彭賽列閉合定理可以幫助我們預(yù)判解題之路,但缺點(diǎn)是這些超綱知識(shí)不可用于考場(chǎng)答卷.所以幫助我們解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題的最重要方法還是通性通法,也就是前文分析2后的3點(diǎn)總結(jié).下面繼續(xù)舉例說(shuō)明這些總結(jié)的應(yīng)用.
【例2】已知拋物線y2=2px(p>0)上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
分析:該題屬于偽彭賽列閉合,但仍然可以運(yùn)用前文所寫(xiě)的總結(jié)快速解決.
即直線BC:3x+6y+4=0.
評(píng)注:以上的例1,例2都是考查拋物線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題,下面是一個(gè)橢圓中的例子.研究往年經(jīng)典題可以提煉解題方法,指導(dǎo)未來(lái)解題.
得(16k2+1)x2+32kx=0,
設(shè)F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),
于是直線FE的方程為
故結(jié)論成立.
評(píng)注:該題是典型的彭賽列閉合.積極研究往年經(jīng)典例題,并用于日常教學(xué),不僅可以“與命題者對(duì)話”,在研究掌握通性通法的同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力,還可以滲透數(shù)學(xué)文化、拓展知識(shí)面,往前追溯,在聯(lián)賽試題中找到類(lèi)似考法.
【例4】點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B,C在y軸上,圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC,求△PBC面積的最小值.
分析:設(shè)P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),不妨設(shè)b>c,
即(y0-b)x-x0y+x0b=0,
又因?yàn)閳A心B(1,0)到PB的距離是1,
易知x0>2,化簡(jiǎn)得
(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.
因?yàn)镻(x0,y0)是拋物線上的一點(diǎn),
此時(shí)x0=4時(shí),S△PBC取得最小值8.
點(diǎn)評(píng):從以上例題的解答過(guò)程可以提煉出解析幾何最常用的解題思想方法:設(shè)點(diǎn)、設(shè)線、聯(lián)立、消元、設(shè)而不求,仍然是圓錐曲線解題的主旋律;以點(diǎn)斜式、點(diǎn)線距離公式、線圓相切等知識(shí)為載體,通過(guò)運(yùn)算求解、方程變形,得到“同構(gòu)”二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找到解題突破口.
隨著新課程、新教材、新高考的逐步推進(jìn),圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)的全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題已然引領(lǐng)著新時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)改革.基于2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題的全面闡述,在解析幾何教學(xué)中需要關(guān)注以下幾個(gè)方面:
(1)貫徹解析幾何基本思想方法,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).解析幾何的核心思想就是運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題,所以關(guān)鍵要處理的是幾何問(wèn)題.因此在解析幾何實(shí)踐教學(xué)中要注重幾何關(guān)系的分析,厘清復(fù)雜曲線中的幾何關(guān)系,尤其是直線與曲線的常見(jiàn)位置關(guān)系(相切、平行、垂直)的代數(shù)等價(jià)形式,其基本處理方法是“設(shè)而不求”和“設(shè)且求”.
(2)滲透類(lèi)比探究思想,強(qiáng)化思維訓(xùn)練,提升運(yùn)算素養(yǎng).對(duì)于解析幾何的內(nèi)容,尤其是二次曲線的性質(zhì),常常都具有極其類(lèi)似的結(jié)論,因而在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究活動(dòng)時(shí),應(yīng)始終強(qiáng)化類(lèi)比推理的意識(shí),充分挖掘出與已知知識(shí)相鄰的“知識(shí)圈”.在探究推理過(guò)程中遵循特殊到一般的原則,狠抓學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和創(chuàng)新思維.
(3)關(guān)注學(xué)科知識(shí)間的融合,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題第(2)問(wèn)考查學(xué)生在開(kāi)放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力,結(jié)合特殊值的思想與彭賽列閉合定理的理論支撐,能夠明晰問(wèn)題結(jié)論,指引推理方向.因此在解析幾何的教學(xué)中需要適當(dāng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化,融合不等式、導(dǎo)數(shù)等學(xué)科知識(shí).