隨機角振動激勵下的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法

趙劍波，彭 軍，仝哲旭

（航空工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京 100095）

陀螺儀是慣導(dǎo)系統(tǒng)中必不可少的慣性器件，在導(dǎo)航和制導(dǎo)過程中發(fā)揮著十分重要的作用[1,2]。由于陀螺儀通常工作在復(fù)雜的動態(tài)環(huán)境中，因此能否準(zhǔn)確獲得陀螺儀的動態(tài)特性，是導(dǎo)航制導(dǎo)控制過程中的關(guān)鍵，直接決定了導(dǎo)航的精度以及制導(dǎo)的準(zhǔn)確度[3,4]，所以需要在使用前對陀螺儀動態(tài)特性進(jìn)行校準(zhǔn)。利用標(biāo)準(zhǔn)角振動作為激勵，可以實現(xiàn)對陀螺儀動態(tài)特性的校準(zhǔn)[5]。國內(nèi)外對陀螺儀動態(tài)特性的校準(zhǔn)做了大量研究，德國物理技術(shù)研究院（PTB）以及韓國標(biāo)準(zhǔn)與科學(xué)研究院都建立了正弦角振動標(biāo)準(zhǔn)，中國航空工業(yè)計量所先后建立了正弦角振動和半正弦沖擊角振動標(biāo)準(zhǔn)裝置[6]。中國計量院也建立了正弦角振動基準(zhǔn)裝置[7]。全國慣性技術(shù)計量技術(shù)委員會根據(jù)正弦角振動激勵法制定出陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)規(guī)范[8]。但這些標(biāo)準(zhǔn)裝置和校準(zhǔn)方法都是以正弦角振動作為激勵，實現(xiàn)對陀螺儀動態(tài)特性的校準(zhǔn)，信號處理也大多采用正弦擬合法對激勵和響應(yīng)的信號進(jìn)行擬合，從而實現(xiàn)對陀螺儀幅頻特性和相頻特性的校準(zhǔn)。

國內(nèi)外以隨機信號作為激勵信號的傳感器動態(tài)特性校準(zhǔn)研究多見于線振動[9,10]，對于隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法研究目前也只是停留在隨機角振動控制方面，還沒有形成校準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)裝置。隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法相對正弦激勵法校準(zhǔn)不僅更接近陀螺儀的應(yīng)用場合，并且能夠一次性校準(zhǔn)陀螺儀寬頻段的動態(tài)特性，相對正弦法逐一頻率校準(zhǔn)效率更高。

本文對隨機角振動激勵下的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法進(jìn)行了研究，從隨機法校準(zhǔn)原理出發(fā)，研究確定了校準(zhǔn)過程中的隨機信號處理方法，實現(xiàn)了陀螺儀動態(tài)特性的隨機法校準(zhǔn)。

1 陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)原理

隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法如圖1所示，采用標(biāo)準(zhǔn)角振動臺作為激勵源產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動，被校陀螺儀固定在角振動臺的臺面上，隨臺面發(fā)生隨機角振動。陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)是精確測量出陀螺儀輸出的隨機角振動信號和角振動臺的標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動信號之間的頻響函數(shù)來實現(xiàn)對陀螺儀的動態(tài)特性校準(zhǔn)。

圖1 隨機法校準(zhǔn)原理圖Fig.1 Calibration principle of random method

標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動信號由角振動臺內(nèi)部的圓光柵通過解算得出。校準(zhǔn)過程中，需要對標(biāo)準(zhǔn)和被校兩種隨機信號進(jìn)行同步采集并濾波，對濾波后的信號進(jìn)行功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）估計，利用PSD估計結(jié)果計算陀螺儀的頻響函數(shù)，得到陀螺儀幅頻特性和相頻特性，從而實現(xiàn)對陀螺儀的隨機法校準(zhǔn)。

2 隨機角振動信號處理方法

由陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)的原理可知，隨機法校準(zhǔn)中涉及的角振動信號處理主要包括標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動信號的解算、信號的抗混疊濾波、信號的功率譜密度估計以及頻響函數(shù)辨識方法。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動信號的解算方法

角振動臺的標(biāo)準(zhǔn)隨機角振動信號由高精度的標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測量解算得出，標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測得的標(biāo)準(zhǔn)角位移信號可以直接溯源到角度和時間，是實現(xiàn)絕對法校準(zhǔn)的基礎(chǔ)。標(biāo)準(zhǔn)圓光柵輸出信號由兩個相位差近似π/2的正弦信號組成。圓光柵每轉(zhuǎn)過一個柵格，每一路正弦信號會經(jīng)歷一個周期，轉(zhuǎn)動越快，正弦頻率越高。通過調(diào)整光路和信號處理，并進(jìn)行非線性補償，可以保證兩路正弦信號Ua和Ub幅值相等，相位相差π/2，并且兩路信號的直流分量為0。圓光柵輸出信號的相位φ(nΔt)可以表示為：

式中，n為采樣序列號，Δt為相鄰采樣點之間的時間間隔。k值從0起始，通過反正切計算結(jié)果的變化可以確定k值。

首先需要設(shè)置合理的采樣頻率f，使得反正切結(jié)果在一個周期內(nèi)（ -π/ 2,π/ 2）至少有三個采樣點（n≥ 3）。

采樣頻率f根據(jù)校準(zhǔn)中的最大角速度ωmax以及圓光柵總柵格數(shù)（總線數(shù)）M來得到。由于圓光柵每轉(zhuǎn)動一個柵距的角度時，輸出的正弦信號經(jīng)歷一個周期，即反正切結(jié)果會經(jīng)歷兩個周期，反正切在一個周期內(nèi)至少有3個采樣點，則意味著在一個柵距內(nèi)至少有6個采樣點，而一個柵格所經(jīng)歷的最短時間為360° /（ωmax·M），那么：

如圖2所示，正切函數(shù)每周期（ -π/ 2，π/2）有三個采樣點時，若k值發(fā)生變化，則相鄰采樣點反正切結(jié)果的變化絕對值大于π/2（如B→A，或D→E），在確定發(fā)生變化后，反正切結(jié)果的變化正負(fù)可以判斷k值的加減，從而確定k值。

圖2 采樣點示意圖Fig.2 Sampling points

圓光柵的整圈總線數(shù)為M，對應(yīng)角度為2π，則一個柵距的角度為2π/M。圓光柵發(fā)生的角位移為一個柵距的角度時，輸出的正弦信號經(jīng)歷一個周期，即相位變化為2π，因此，圓光柵發(fā)生的角位移θ（nΔt）與輸出信號相位變化φ（nΔt）的關(guān)系為：

2.2 抗混疊濾波方法

隨機角振動信號在工作頻帶之外一般仍存在頻率成分，這些頻率成分會混疊到工作頻帶內(nèi)，造成工作頻帶內(nèi)的信號頻譜偏大。

對采集解算得到的標(biāo)準(zhǔn)角位移信號和被校陀螺儀輸出的信號同時進(jìn)行抗混疊濾波，濾波器均采用三階巴特沃斯低通濾波器，此種濾波器可以通過級聯(lián)型IIR濾波器實現(xiàn)。濾波器衰減率為-18 dB/oct。將三階巴特沃斯低通濾波器的截止頻率（-3 dB）設(shè)置成工作頻帶最高頻率的2.5倍。三階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)如下所示：

其中，a0=1，1a=2，a2=2，ωc=2πfc。本文實驗截止頻率fc為250 Hz。波特圖如圖3所示。

圖3 濾波器波特圖Fig.3 Bode diagram of filter

濾波器可以使信號中可能導(dǎo)致混疊的高頻成分衰減90 dB以上，從而達(dá)到抗混疊的效果。

2.3 功率譜密度估計方法

功率譜密度估計用于標(biāo)準(zhǔn)角位移信號和陀螺儀角速度信號的互功率譜密度（互譜）估計以及各自的自功率譜密度（自譜）估計，進(jìn)而可以利用譜估計結(jié)果計算陀螺儀的頻響函數(shù)。

自譜由信號頻譜X（f）與其共軛X*（f）的乘積得出：

互譜由信號頻譜X（f）與另一信號頻譜的共軛Y*（f）的乘積得出：

式中，N為信號采樣點數(shù)，fs為信號采樣頻率。

對采集的信號進(jìn)行分段計算功率譜密度，再對各段信號的功率譜密度進(jìn)行平均，能夠利用有限時域信號提高功率譜密度估計的精度。在對每段信號計算頻譜過程中，需要用到快速傅里葉變換（FFT）。由于時域信號有限，且為隨機信號，在進(jìn)行FFT變換時，會導(dǎo)致信號的頻譜出現(xiàn)泄漏現(xiàn)象。為了減少泄漏，需要對各段信號進(jìn)行加窗。加窗之后，各段信號兩端可能會出現(xiàn)信號丟失。因此，在對時域信號進(jìn)行分段時，每相鄰兩段信號之間需要有重疊。

將采集到的信號分為L段，每段信號有N個采樣點，并要求相鄰段重疊50%，對各段加窗函數(shù)w（n）后進(jìn)行FFT變換：

各段自譜的平均：

各段互譜的平均：

式(8)(9)中，

U為幅值修正系數(shù)，保證功率譜密度估計的結(jié)果是無偏估計。

由于互譜為復(fù)數(shù)形式，蘊涵著兩個信號之間在幅值和相位上的相互關(guān)系信息，互譜在任意頻率處的相位值表示兩個信號在該頻率的相位差。因此，互譜還可以用于計算陀螺儀的相頻特性。標(biāo)準(zhǔn)角振動信號為標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測得的角位移信號，陀螺儀輸出為角速度信號。被校角速度信號 2ω和標(biāo)準(zhǔn)角速度信號 1ω的互譜Gω2ω1（f），與被校角速度信號ω2和標(biāo)準(zhǔn)角位移信號θ1的互譜Gω2θ1（f）之間的關(guān)系如下：

角速度自譜Gωω（f）與角位移自譜Gθθ（f）的關(guān)系：

2.4 陀螺儀頻響函數(shù)辨識方法

陀螺儀的頻響函數(shù)辨識是通過計算標(biāo)準(zhǔn)角振動信號和陀螺儀輸出信號的互譜和自譜得出。由于兩個信號在采集過程中都會引入噪聲，影響頻響函數(shù)的辨識結(jié)果。頻響函數(shù)辨識方法中的H1法和H2法都是只考慮一個信號有噪聲的情況下對頻響函數(shù)進(jìn)行的辨識，并且都是有偏估計。本文采用的陀螺儀頻響函數(shù)辨識方法為Hv法，既要考慮標(biāo)準(zhǔn)角振動信號中的噪聲，也要考慮陀螺儀輸出信號中的噪聲。假定兩類噪聲互不相關(guān)，且與信號也不相關(guān)。

令綜合誤差Gee（f）為陀螺儀輸出信號中的噪聲自譜Gdd與標(biāo)準(zhǔn)角振動信號中的噪聲自譜Gcc之差：

由式(13)可得：

兩類噪聲主要都是在采集過程中引入，噪聲自譜Gcc和Gdd幾乎相等，令Gee（f）為0，此時Hω（f）為：

將式(11)和式(12)代入式(15)可得：

由式(16)可知，頻響函數(shù)Hω（f）的相位信息只與被校信號和標(biāo)準(zhǔn)信號互功率的相位相關(guān)，噪聲只影響幅值信息，不影響相位信息。利用式(16)可以求解出陀螺儀的頻響函數(shù)，通過多次測量求平均值能夠得到較準(zhǔn)確的幅頻特性和相頻特性。

3 陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)實驗

3.1 陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)重復(fù)性實驗

選取俄羅斯光纖陀螺儀VG949P為例，采用隨機法對其幅頻特性和相頻特性進(jìn)行校準(zhǔn)，為了驗證隨機法結(jié)果的重復(fù)性，進(jìn)行了3次實驗。并且參考正弦法校準(zhǔn)規(guī)范中的數(shù)據(jù)處理方法，將陀螺儀在實驗頻帶內(nèi)（5 Hz ～ 100 Hz）的靈敏度值和相位延遲值分別進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如圖4和圖5所示。根據(jù)校準(zhǔn)曲線計算得到隨機法校準(zhǔn)穩(wěn)定性，如表1所示。

圖4 VG949P陀螺儀幅頻特性隨機法校準(zhǔn)曲線Fig.4 Curve of amplitude-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

圖5 VG949P陀螺儀相頻特性隨機法校準(zhǔn)曲線Fig.5 Curve of phase-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

表1 VG949P陀螺儀動態(tài)特性隨機法校準(zhǔn)穩(wěn)定性Tab.1 Stability in random calibration for the dynamic features of VG949P

根據(jù)頻帶內(nèi)的校準(zhǔn)結(jié)果，隨機法的幅值靈敏度穩(wěn)定性（3σ）在0.5%以內(nèi)，相位穩(wěn)定性（3σ）在0.5 °以內(nèi)。

3.2 陀螺儀動態(tài)特性隨機法與正弦法校準(zhǔn)結(jié)果比對

將隨機法實驗1結(jié)果與正弦法結(jié)果進(jìn)行對比，用于驗證隨機法校準(zhǔn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。圖6是幅頻特性對比結(jié)果，圖7是相頻特性對比結(jié)果。隨機法和正弦法均在實驗頻帶內(nèi)進(jìn)行了曲線擬合。

圖6 VG949P陀螺儀正弦法和隨機法的幅頻特性對比Fig.6 Contrast between amplitude-frequency characteristics of sine method and random method of Gyroscope VG949P

圖7 VG949P陀螺儀正弦法和隨機法的相頻特性對比Fig.7 Contrast between phrase-frequency characteristics of sine method and random method of VG949P

陀螺儀分別用正弦法和隨機法進(jìn)行校準(zhǔn)，校準(zhǔn)結(jié)果對比如表2所示。在整個實驗頻帶內(nèi)，兩種方法的靈敏度差值在1%以內(nèi)，相位差值在1 °以內(nèi)。此靈敏度差值和相位差值的量級完全能夠滿足陀螺儀的動態(tài)特性校準(zhǔn)要求。

表2 VG949P陀螺儀隨機法與正弦法校準(zhǔn)結(jié)果對比Tab.2 Contrast between calibration results characteristics of sine method and random method of VG949P

4 結(jié) 論

針對陀螺儀動態(tài)特性的校準(zhǔn)，本文提出了隨機角振動激勵下陀螺儀動態(tài)特性的校準(zhǔn)方法，通過研究校準(zhǔn)原理以及校準(zhǔn)中的信號處理方法，包括標(biāo)準(zhǔn)角振動信號的解算方法、抗混疊濾波方法、功率譜密度估計方法以及頻響函數(shù)辨識方法，最終實現(xiàn)了陀螺儀動態(tài)特性的隨機法校準(zhǔn)。相比于正弦法逐個頻點測量，隨機法可以一次性測量陀螺儀整個頻帶的幅頻特性和相頻特性，效率更高，并且隨機角運動更接近于陀螺儀的實際工況，此方法為陀螺儀擴(kuò)展了一種更快速更有效的校準(zhǔn)方法。隨著角振動臺隨機角振動控制精度的提高以及此校準(zhǔn)方法的推廣，這種新的校準(zhǔn)方法在未來將有望替代正弦法成為常用的陀螺儀動態(tài)特性校準(zhǔn)方法。