Artin A-左遺傳環(huán)的若干研究

田 巖，焦 旸

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

0 引言

環(huán)論是代數(shù)學的一個重要分支，其理論和方法在數(shù)學的許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，而模論和同調(diào)代數(shù)是研究環(huán)的主要方法.同調(diào)代數(shù)作為研究環(huán)的工具，用模來刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)是環(huán)論的一種發(fā)展趨勢.

遺傳環(huán)理論是環(huán)論和模論的重要組成部分.眾所周知，左遺傳環(huán)是一類重要的環(huán).近年來，很多專家和學者關(guān)注左遺傳環(huán)的研究，取得了豐碩的成果.1992年，郭宇[1]引入并刻畫了左相對遺傳環(huán)，討論了左相對遺傳環(huán)與左遺傳環(huán)和左半遺傳環(huán)的關(guān)系.證明了左相對遺傳環(huán)的左理想的自同態(tài)環(huán)是左半遺傳的；左相對遺傳環(huán)上的有限生成相對投射模的自同態(tài)環(huán)是左半遺傳環(huán).1999年，李曉紅[2]在遺傳扭論(T，F(xiàn))中給出并刻畫了T-遺傳環(huán)與F-遺傳環(huán).2003年，朱占敏[3]推廣了遺傳環(huán)，引入左亞遺傳環(huán)的概念，研究了左亞遺傳環(huán)的性質(zhì)，并給出其等價刻畫.2006年，孫平[4]對遺傳環(huán)進行了推廣，定義了包含范圍更廣的環(huán)類——NoetherN-左遺傳環(huán)，給出了NoetherN-左遺傳環(huán)的等價命題，并利用NoetherN-左遺傳環(huán)對左凝聚環(huán)和N-半單環(huán)進行了刻畫.進而，給出了模對Noether環(huán)的刻畫.2009年，班秀和[5]研究左遺傳環(huán)和左亞遺傳環(huán)的性質(zhì)，給出幾個等價條件，討論了左亞遺傳環(huán)的直和以及它與SI-環(huán)和半單環(huán)的關(guān)系.2010年，周震[6]通過對短正合列、相對投射模和相對內(nèi)射模等的研究，給出了左遺傳環(huán)的等價條件，從而刻畫了左遺傳環(huán).更多關(guān)于遺傳環(huán)的結(jié)果見文獻[7-10].

2011年，文獻[11]從模的角度研究半單環(huán)，將模論和同調(diào)代數(shù)中的兩個主要研究對象——投射模和內(nèi)射模進行了推廣，引入了A-投射模，A-內(nèi)射模的概念，由此構(gòu)造出一種環(huán)，稱為ArtinA-半單環(huán).本文中的環(huán)R都是有單位元的結(jié)合環(huán)，模均指酉模.

1 A-左遺傳環(huán)

為了得到更廣的一類左遺傳環(huán)，下面將左遺傳環(huán)進行推廣.利用A-內(nèi)射模和A-投射模，引入A-左遺傳環(huán)、A-左半遺傳環(huán)和A-左凝聚環(huán)的概念，并給出A-左遺傳環(huán)的等價刻畫.

定義3若環(huán)R的每個左理想是A-投射模，則稱R是A-左遺傳環(huán).

顯然左遺傳環(huán)是A-左遺傳環(huán)，A-半單環(huán)是A-左遺傳環(huán).

定義4若環(huán)R的每個有限生成左理想是A-投射模，則稱R是A-左半遺傳環(huán).

顯然，A-左遺傳環(huán)是A-左半遺傳環(huán).

定義5若Artin環(huán)R的每個有限生成左理想是有限表現(xiàn)的，則稱R是A-左凝聚環(huán).

定理2.1設(shè)R是Artin環(huán)，則以下命題等價：

(1)R是A-左遺傳環(huán)；

(2)Artin模與A-內(nèi)射模的商模是A-內(nèi)射模；

(3)Artin模與A-投射模的子模是A-投射模；

(4)對R的每個左理想I，都有正合列

證明(1)?(2)設(shè)E是Artin模，A-內(nèi)射模，E′是E的商模，R是Artin環(huán)，I是R的左理想.根據(jù)圖1，由已知，I是A-投射模，那么存在β：I→E，使得α=πβ，又因為E是A-內(nèi)射模，那么存在β′：R→E，使得β=β′i，因此α=πβ=πβ′i，πβ′：R→E′，由文獻[11]中命題2，可得E′是A-內(nèi)射模.

圖1 A-投射模的正合列交換圖Fig.1 Commutative diagram of the exact sequence of A-projective module

(2)?(3)設(shè)P是ArtinA-投射模，P′是P的任意子模.根據(jù)圖2，其中行皆正合，E是ArtinA-內(nèi)射模，由已知E′是A-內(nèi)射模，根據(jù)A-內(nèi)射模的定義，存在β：P→E′，使得α=βl.又因為P是A-投射模，由A-投射模的定義可知，存在γ：P→E，使得β=πγ.因此，α=βl=πrl，其中γl：P′→E.因為E是Artin模，根據(jù)A-投射模的定義，可知P′是A-投射模.

圖2 A-內(nèi)射模的正合列交換圖Fig.2 Commutative diagram of the exact sequence of A-injective module

圖3 正合列交換圖Fig.3 Commutative diagram of exact sequene

π1(x)=π1βi(a)=επi(a)=0，

可得x∈kerπ1=Imi1，即Imβ?Imi1.由文獻[12]在中定理3.5可知，存在模同態(tài)映射α，使得i1α=βi.

再根據(jù)文獻[13]中定理3.62的證明可知，存在短正合列

由文獻[11]中命題5可得，I是A-投射模，這說明R是A-左遺傳環(huán).

2 A-左遺傳環(huán)與A-左凝聚環(huán)的關(guān)系

前面已經(jīng)給出A-左遺傳環(huán)和A-左凝聚環(huán)的概念，下面討論二者的關(guān)系.從而，體現(xiàn)模對Artin環(huán)的刻畫.

定理2設(shè)R是Artin環(huán)，則以下命題等價：

(1)每個Artin模都是A-內(nèi)射模；

(2)每個Artin模都是A-投射模.

證明(1)?(2)設(shè)M是Artin模.如圖4，B是Artin模，由已知C是A-內(nèi)射模，所以底行可裂.因此，一定存在β，使得α=πβ，即M是A-投射模.

圖4 A-內(nèi)射模交換圖Fig.4 Commutative diagram of A-injective module

(2)?(1)設(shè)M是任意Artin模，如圖5，其中B是Artin模，從而B/C也是Artin模.由已知B/C是A-投射模，所以底行可裂，hi=I，αhi=α.令αh=β，則βi=α，即M是A-內(nèi)射模.

圖5 A-投射模的交換圖Fig.5 Commutative diagram of A-injective module

命題2.1ArtinA-左半遺傳環(huán)是A-左凝聚環(huán).

定理2.3對Artin環(huán)R，R是A-左遺傳環(huán)的充分必要條件是對任一個Artin左R-模，其任意兩個A-內(nèi)射R-子模的和仍是A-內(nèi)射R-模.

證明(?)設(shè)M是任意一個左R-模，N1，N2是它的任意兩個A-內(nèi)射R-子模，由文獻[11]中命題3，可知N1?N2是A-內(nèi)射模.存在滿同態(tài)

φ：N1?N2→N1+N2→0，

其中(n1，n2)→n1+n2.故

N1+N2?N1?N2/kerφ.

因為R是A-左遺傳環(huán)，根據(jù)定理2.1可得：N1?N2/kerφ是A-內(nèi)射模，故N1+N2是A-內(nèi)射模.

(?)令

W=E?E，

V={(x，x)∈W|x∈K}，

若e+k=e′+K∈E/K，則e-e′∈K，那么

(e-e′，e-e′)∈V，

即

可得

即

從而

φ(e+K)=φ(e′+K)，

故φ為映射.對任意e+K∈kerφ，則有

即存在e′+K∈E/K，使得

3 結(jié)語

本文首先利用A-內(nèi)射模和A-投射模將左遺傳環(huán)進行推廣，定義了更廣的一類環(huán)——A-左遺傳環(huán).進而，引入A-左半遺傳環(huán)和A-左凝聚環(huán).然后，研究A-左遺傳環(huán)的性質(zhì)，給出等價刻畫.最后，討論A-左遺傳環(huán)、A-左半遺傳環(huán)以及A-左凝聚環(huán)的關(guān)系.進而從模的角度刻畫Artin 環(huán).本文的研究方法體現(xiàn)了模對環(huán)的刻畫，具有一定的借鑒意義.