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      具有內(nèi)部及邊界源項(xiàng)的擬線性波方程解的整體不存在性

      2022-01-13 10:27:58任佳敏
      關(guān)鍵詞:方程解邊界條件聲學(xué)

      任佳敏

      (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

      0 引言

      本文研究以下具有聲學(xué)邊界條件,非線性內(nèi)部及邊界源項(xiàng)的擬線性波方程解的整體不存在性,

      其中:a,b,k>0,α,β,m,p,l>2,Ω是Rn(n≥1)的一個(gè)有界正則區(qū)域且?Ω=Γ0∪Γ1。這里Γ0,Γ1均為閉的且互不相交,函數(shù)h(x),f(x),q(x):Γ1→R+是本性有界的且在Γ1上有:0

      聲學(xué)邊界條件由Morse和Ingard在文獻(xiàn)[1]中首次提出,并在文獻(xiàn)[2]中得到了完善和發(fā)展。文獻(xiàn)[3]研究了具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的擬線性雙曲型方程解的能量衰減和爆破。文獻(xiàn)[4]研究了具有內(nèi)部源項(xiàng)j1(u)和邊界源項(xiàng)j2(u)的波方程局部解的存在唯一性、解的全局存在性及j1(u)=0時(shí)解的某一指定范數(shù)增長率。

      文獻(xiàn)[5]研究了以下具有多孔聲學(xué)邊界條件的非線性波動方程解的整體不存在性,文中用到了經(jīng)典的勢阱方法和凹性方法,

      文獻(xiàn)[6-8]證明了一類具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[9-10]研究了具有聲學(xué)邊界條件的黏彈性波方程解的存在性、爆破和衰減。文獻(xiàn)[11-12]證明了非線性發(fā)展方程整體解的不存在性。文獻(xiàn)[13]研究了具有時(shí)滯和聲學(xué)邊界條件的擬線性波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[14-18]均利用伽遼金逼近法得出方程弱解的存在性。文獻(xiàn)[19]利用能量擾動法和構(gòu)造李雅普諾夫(Lyapunov)泛函法,證明了系統(tǒng)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

      文獻(xiàn)[20]研究了以下具有聲學(xué)邊界條件的擬線性波動方程,證明了在初始能量為負(fù)的情形下解的整體不存在性:

      受以上這些文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,在聲學(xué)邊界上有源項(xiàng)時(shí),研究邊界源項(xiàng)對解的影響,并最終得出解的整體不存在性。

      1 預(yù)備知識

      引入空間

      固定T>0,定義能量泛函如下:

      (2)

      引理1 若(u,z)為方程(1)的解,則由式(2)定義的能量泛函E(t)滿足:

      (3)

      證明用ut乘以方程(1)中第1個(gè)式子并在Ω上積分,易得式(3)。引理1證畢。

      利用文獻(xiàn)[14-18]中的方法,可以證明方程(1)有局部解存在性,結(jié)果如下:

      2 解的整體不存在性

      定理2 假設(shè)α,β,m,p,l≥2,max{β,m}≤α

      E(0)<0,

      (4)

      則方程(1)的解(u,y)∈Z×L2([0,T);L2(Γ1))在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

      證明令H(t)=-E(t),則由式(2)~式(4)可得:

      (5)

      構(gòu)造Lyapunov泛函:

      (6)

      (7)

      其中:M,j1,j2,j3的取值范圍將在后面給出。

      首先估計(jì)L′(t),對式(6)求導(dǎo)可得:

      (8)

      利用H?lder不等式和Young不等式可得:

      (9)

      (10)

      (11)

      將式(9)~式(11)代入式(8)中可得:

      (12)

      選擇合適的μ,δ,η滿足:

      代入式(12)可得:

      (13)

      (14)

      由式(5)、Poincaré不等式、Young不等式和max{2,β,m}≤α可得:

      (15)

      (16)

      (17)

      (18)

      可得:

      同理:

      (19)

      其中:c為廣義常數(shù);取α<θ

      (20)

      (21)

      其中:r為一正常數(shù)。

      上述估計(jì)意味著:

      (22)

      一方面,由H?lder不等式和α>2得:

      這個(gè)不等式表示存在常數(shù)c>0,使得:

      再利用Young不等式可得估計(jì):

      由式(5)、式(7)和式(18)可得估計(jì):

      (23)

      故有:

      (24)

      另一方面,由h(x)、q(x)本性有界、H?lder不等式、α≥2及Poincaré不等式可得:

      這意味著:

      利用Young不等式可得:

      將式(23)代入上式可得:

      (25)

      將式(24)、式(25)代入式(22)可得估計(jì):

      (26)

      由式(21)和式(26)可得:

      (27)

      式(27)在(0,t)上積分可得:

      (28)

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