任佳敏
(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)
本文研究以下具有聲學(xué)邊界條件,非線性內(nèi)部及邊界源項(xiàng)的擬線性波方程解的整體不存在性,
其中:a,b,k>0,α,β,m,p,l>2,Ω是Rn(n≥1)的一個(gè)有界正則區(qū)域且?Ω=Γ0∪Γ1。這里Γ0,Γ1均為閉的且互不相交,函數(shù)h(x),f(x),q(x):Γ1→R+是本性有界的且在Γ1上有:0 聲學(xué)邊界條件由Morse和Ingard在文獻(xiàn)[1]中首次提出,并在文獻(xiàn)[2]中得到了完善和發(fā)展。文獻(xiàn)[3]研究了具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的擬線性雙曲型方程解的能量衰減和爆破。文獻(xiàn)[4]研究了具有內(nèi)部源項(xiàng)j1(u)和邊界源項(xiàng)j2(u)的波方程局部解的存在唯一性、解的全局存在性及j1(u)=0時(shí)解的某一指定范數(shù)增長率。 文獻(xiàn)[5]研究了以下具有多孔聲學(xué)邊界條件的非線性波動方程解的整體不存在性,文中用到了經(jīng)典的勢阱方法和凹性方法, 文獻(xiàn)[6-8]證明了一類具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[9-10]研究了具有聲學(xué)邊界條件的黏彈性波方程解的存在性、爆破和衰減。文獻(xiàn)[11-12]證明了非線性發(fā)展方程整體解的不存在性。文獻(xiàn)[13]研究了具有時(shí)滯和聲學(xué)邊界條件的擬線性波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[14-18]均利用伽遼金逼近法得出方程弱解的存在性。文獻(xiàn)[19]利用能量擾動法和構(gòu)造李雅普諾夫(Lyapunov)泛函法,證明了系統(tǒng)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。 文獻(xiàn)[20]研究了以下具有聲學(xué)邊界條件的擬線性波動方程,證明了在初始能量為負(fù)的情形下解的整體不存在性: 受以上這些文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,在聲學(xué)邊界上有源項(xiàng)時(shí),研究邊界源項(xiàng)對解的影響,并最終得出解的整體不存在性。 引入空間 固定T>0,定義能量泛函如下: (2) 引理1 若(u,z)為方程(1)的解,則由式(2)定義的能量泛函E(t)滿足: (3) 證明用ut乘以方程(1)中第1個(gè)式子并在Ω上積分,易得式(3)。引理1證畢。 利用文獻(xiàn)[14-18]中的方法,可以證明方程(1)有局部解存在性,結(jié)果如下: 定理2 假設(shè)α,β,m,p,l≥2,max{β,m}≤α E(0)<0, (4) 則方程(1)的解(u,y)∈Z×L2([0,T);L2(Γ1))在有限時(shí)間內(nèi)爆破。 證明令H(t)=-E(t),則由式(2)~式(4)可得: (5) 構(gòu)造Lyapunov泛函: (6) (7) 其中:M,j1,j2,j3的取值范圍將在后面給出。 首先估計(jì)L′(t),對式(6)求導(dǎo)可得: (8) 利用H?lder不等式和Young不等式可得: (9) (10) (11) 將式(9)~式(11)代入式(8)中可得: (12) 選擇合適的μ,δ,η滿足: 代入式(12)可得: (13) (14) 由式(5)、Poincaré不等式、Young不等式和max{2,β,m}≤α可得: (15) (16) (17) (18) 可得: 同理: (19) 其中:c為廣義常數(shù);取α<θ (20) (21) 其中:r為一正常數(shù)。 上述估計(jì)意味著: (22) 一方面,由H?lder不等式和α>2得: 這個(gè)不等式表示存在常數(shù)c>0,使得: 再利用Young不等式可得估計(jì): 由式(5)、式(7)和式(18)可得估計(jì): (23) 故有: (24) 另一方面,由h(x)、q(x)本性有界、H?lder不等式、α≥2及Poincaré不等式可得: 這意味著: 利用Young不等式可得: 將式(23)代入上式可得: (25) 將式(24)、式(25)代入式(22)可得估計(jì): (26) 由式(21)和式(26)可得: (27) 式(27)在(0,t)上積分可得: (28)1 預(yù)備知識
2 解的整體不存在性