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      融合動態(tài)收斂因子與黃金正弦的花朵授粉算法

      2022-01-13 10:27:54高翻翻丁正生
      關(guān)鍵詞:測試函數(shù)花粉全局

      高翻翻,丁正生

      (西安科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710600)

      0 引言

      花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)[1]是一種模擬花朵授粉過程的優(yōu)化算法,該算法具有參數(shù)少、魯棒性好、易調(diào)節(jié)和易實現(xiàn)的優(yōu)點。

      國內(nèi)外對FPA的研究主要分為算法的優(yōu)化[2-4]和應(yīng)用[5-7]兩大類。文獻(xiàn)[8]提出了融合正弦余弦算法和精英算子的花朵授粉算法,與FPA相比尋優(yōu)精度得到了改善,但缺乏應(yīng)用,該算法的可行性有待商榷。文獻(xiàn)[9]提出了一種求解置換流水車間調(diào)度問題的新型花朵授粉算法,但對測試函數(shù)的結(jié)果并未達(dá)到理論最優(yōu)值,還需改進(jìn)。文獻(xiàn)[10]提出了一種求解旅行商問題的離散花朵授粉算法,雖得到了較好的尋優(yōu)效果,但其所花費的時間過長。

      上述改進(jìn)策略雖對FPA的性能有所提升,但仍存在收斂精度和跳出局部最優(yōu)能力偏低等不足,故許多學(xué)者通過各種改進(jìn)方法來幫助FPA算法跳出局部最優(yōu),如文獻(xiàn)[11]用霍爾頓(Halton)序列來初始種群質(zhì)量,文獻(xiàn)[12-13]增加了高斯(Gauss)變異算子,文獻(xiàn)[14-15]分別引入了定向變異策略和量子搜索機(jī)制,文獻(xiàn)[16-17]加入了柯西(Cauchy)變異等。雖然以上改進(jìn)均提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力,卻導(dǎo)致優(yōu)化效果不明顯、無法收斂到0等問題,基于此,本文提出了一種融合動態(tài)收斂因子與黃金正弦的花朵授粉算法(flower pollination algorithm combining dynamic convergence factor and golden sine, DGSFPA)。借助仿真實驗和案例分析,驗證了DGSFPA能夠更有效地跳出局部最優(yōu),同時提高了FPA的尋優(yōu)精度和收斂速度。

      1 花朵授粉算法

      花朵授粉算法是模擬顯花植物花朵傳粉的過程,要實現(xiàn)該算法需滿足以下幾個準(zhǔn)則:

      (Ⅰ)攜帶花粉的傳粉者(蜜蜂,鳥)利用Lévy飛行進(jìn)行傳粉,這種生物異花授粉被認(rèn)為是全局授粉。

      (Ⅱ)通過風(fēng)和水等自然因素進(jìn)行傳粉的非生物自花授粉被認(rèn)為是局部授粉。

      (Ⅲ)花的恒定等于繁衍概率,其值與所涉及的兩種花的相似性成正比。

      (Ⅳ)轉(zhuǎn)換概率p∈[0,1]調(diào)節(jié)全局授粉和局部授粉,由于自然因素的影響,使局部授粉具有更顯著的p值,在整個傳粉過程中占主導(dǎo)作用。

      花朵授粉算法主要有兩個階段:

      階段一:若轉(zhuǎn)換概率p>rand,rand是[0,1]的隨機(jī)數(shù),則昆蟲通過攜帶花粉配子進(jìn)行異花授粉(全局授粉),此時花粉的位置更新方法為:

      (1)

      (2)

      其中:縮放因子λ=1.5;Γ(λ)表示標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)。

      階段二:若轉(zhuǎn)換概率p

      (3)

      2 改進(jìn)的花朵授粉算法

      2.1 改進(jìn)的異花授粉位置更新方法

      鯨魚優(yōu)化算法[18]在全局搜索中加入動態(tài)收斂因子,可以改善算法的收斂精度,受此啟發(fā),本文在異花授粉的位置更新處引入動態(tài)收斂因子,該因子通過結(jié)合傳粉者的Lévy飛行軌跡,不僅能提高算法的收斂精度,而且可以增強(qiáng)全局勘探的能力。

      改進(jìn)后的異花授粉位置更新方法為:

      (4)

      其中:a為動態(tài)收斂因子,其計算方式為:

      (5)

      其中:t為當(dāng)前迭代次數(shù);N_iter為最大迭代次數(shù);由于迭代次數(shù)的增加,a值逐漸減小到0。

      2.2 改進(jìn)的自花授粉位置更新方法

      傳統(tǒng)FPA在自花授粉過程中采用的位置更新方法,其搜索空間較廣泛,尋優(yōu)效果不佳,而文獻(xiàn)[19-20]提出了黃金正弦算法(golden sine algorithm,Golden-SA),該算法中的參數(shù)R1和R2分別控制位置更新的距離和方向,有效指引花粉個體向最優(yōu)個體靠近,并增加了種群之間的信息交流。因此,在自花授粉中嵌入黃金正弦算法,即在位置更新階段引入黃金比例系數(shù),極大程度縮減了搜索空間,有利于跳出局部最優(yōu),達(dá)到提升尋優(yōu)能力的目的。

      改進(jìn)后的自花授粉位置更新方法為:

      (6)

      其中:r1,r2是隨機(jī)數(shù),且r1∈[0,2π],r2∈[0,π],它們所代表的含義同R1和R2一致;x1=-π+(1-τ)2π和x2=-π+2πτ是通過黃金分割法得到的系數(shù),τ為黃金分割數(shù)。

      2.3 DGSFPA步驟

      本文提出的DGSFPA的操作流程如圖1所示,具體的計算步驟如下:

      圖1 DGSFPA流程圖

      步驟1:初始化。n為種群規(guī)模,d為搜索空間的維數(shù),p為轉(zhuǎn)換概率,t為迭代次數(shù),N_iter為最大迭代次數(shù)。

      步驟2:適應(yīng)度值的評價。計算n個種群的適應(yīng)度值,通過比較,將最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的花朵確定為當(dāng)前最優(yōu)花粉個體(當(dāng)前最優(yōu)解)。

      步驟3:授粉形式的轉(zhuǎn)換。

      (Ⅰ)若轉(zhuǎn)換概率p>rand成立,執(zhí)行異花授粉階段,該階段采用改進(jìn)后的異花授粉來進(jìn)行花粉位置的更新,如式(4)所示,隨后進(jìn)行越界處理。

      (Ⅱ)若p

      步驟4:判斷是否更新當(dāng)前最優(yōu)花粉個體。若步驟3得到的新解比當(dāng)前最優(yōu)解還好,則將此新解設(shè)為當(dāng)前最優(yōu)解,更新花粉個體,否則,將不發(fā)生任何改變。

      步驟5:判斷循環(huán)是否結(jié)束。若已達(dá)到最大迭代次數(shù)N_iter,則循環(huán)結(jié)束,否則返回步驟3繼續(xù)進(jìn)行循環(huán),直到滿足條件為止。

      步驟6:輸出最優(yōu)花粉個體g*及全局最優(yōu)解。

      3 仿真實驗

      采用10個測試函數(shù)對DGSFPA進(jìn)行仿真實驗,將DGSFPA與FPA、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[21-22]及人工蜂群算法(artificial bee colony,ABC)[23]作對比,用來驗證DGSFPA的尋優(yōu)能力。

      3.1 實驗參數(shù)設(shè)定

      為了實驗的公平性,本文將4種算法的共有參數(shù)設(shè)定一致,即種群容量20,最大迭代次數(shù)2 000,F(xiàn)PA、DGSFPA涉及的轉(zhuǎn)換概率p=0.8,PSO中c1=c2=1.5。

      3.2 測試函數(shù)

      本文選取10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù),即Sphere(f1)、Schwefel1.2(f2)、Schwefel2.21(f3)、Rosenbrock(f4)、Step(f5)、Quartic(f6)、Rastrigin(f7)、Ackley(f8)、Griewank(f9)和Schaffer(f10),其中函數(shù)f1~f9的維數(shù)是30,f10的維數(shù)是2。

      3.3 實驗結(jié)果分析

      用4種算法分別對每個測試函數(shù)獨立運行50次,并記錄它們的最優(yōu)值、平均值和方差,其尋優(yōu)結(jié)果如表1所示。

      由表1可知:對于函數(shù)f1,f2,f7,f9,f10,DGSFPA的3個評價指標(biāo)均達(dá)到了理論最優(yōu)值0,說明DGSFPA的尋優(yōu)能力在這5個函數(shù)上是最好的。對于函數(shù)f3,f4,f5,f6,f8,DGSFPA雖未達(dá)到理論最優(yōu)值0,但其尋優(yōu)結(jié)果與理論最優(yōu)值非常接近,如函數(shù)f3,相比于FPA、ABC、PSO,DGSFPA,在平均值指標(biāo)上均提高了69個數(shù)量級。DGSFPA在函數(shù)f1,f2,f4,f6,f7,f8,f9,f10上的方差均達(dá)到了0,其他3種算法在所有函數(shù)上的方差均未達(dá)到0,說明DGSFPA的穩(wěn)定性更強(qiáng)。綜上所述,相比于其他3種算法,DGSFPA無論在低維還是高維函數(shù)中,尋優(yōu)能力都更強(qiáng)。

      表1 4種算法的尋優(yōu)結(jié)果

      為更直觀地表明改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力,給出4種算法在函數(shù)f4,f6,f7上的收斂曲線圖,如圖2所示。

      (a) 函數(shù)f4收斂曲線圖 (b) 函數(shù)f6收斂曲線圖(c) 函數(shù)f7收斂曲線圖

      從圖2可以看出:4種算法中,DGSFPA的收斂曲線下降速度最快,PSO次之。圖2a和圖2b中FPA的曲線在規(guī)定迭代次數(shù)內(nèi)還未找到全局最優(yōu),而DGSFPA的曲線未到100次迭代就已經(jīng)取得了全局最優(yōu)解,這表明改進(jìn)算法的尋優(yōu)效果更強(qiáng)。圖2c中FPA和ABC的曲線在后期迭代中跳出了局部最優(yōu),但又陷入另一個局部最優(yōu)中,而DGSFPA的曲線下降速度最快,且在1 500次迭代左右跳出了局部最優(yōu),找到了全局最優(yōu)解,這說明FPA在自花授粉階段中引入黃金正弦算子后,能夠提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。

      4 案例分析

      壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題[24]是經(jīng)典的工程設(shè)計優(yōu)化問題,由容器厚度Ts、封頭厚度Th、內(nèi)半徑R和圓柱形長度L共4個設(shè)計變量構(gòu)成,其目標(biāo)是在滿足一定的約束條件下優(yōu)化這4個設(shè)計變量來最小化總成本(材料、成型和焊接的成本),相當(dāng)于求有約束條件的目標(biāo)函數(shù)最小值問題。

      壓力容器設(shè)計問題的目標(biāo)函數(shù)為:

      x=[x1,x2,x3,x4]=[Ts,Th,R,L];

      s.t.g1(x)=-x1+0.019 3x3≤0;

      g2(x)=-x2+0.009 54x3≤0;

      g4(x)=x4-240≤0;

      1×0.062 5≤x1,x2≤99×0.062 5,10≤x3,x4≤200。

      (7)

      為了驗證本文算法在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中的有效性,采用FPA、ABC、PSO及DGSFPA 這4種算法分別對該問題進(jìn)行求解,并將所得實驗結(jié)果進(jìn)行對比分析。算法參數(shù)設(shè)置與第3節(jié)仿真實驗中相似,種群容量為20,最大迭代次數(shù)為1 000,4種算法分別獨立運行50次,并分別記錄其最優(yōu)值、平均值和方差,具體實驗結(jié)果如表2所示。

      表2 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題總成本的實驗結(jié)果 元

      由表2可知:在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中,DGSFPA得到的總成本是最小的,ABC次之。DGSFPA平均值比FPA減少5 270.82元,與ABC相比減少876.72元,再次說明改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力最好。DGSFPA的方差為0,其他算法的方差均不是0,這表明DGSFPA在尋找全局最優(yōu)解時穩(wěn)定性最好。

      表3是4種算法在分別解決壓力容器設(shè)計問題時,所得最優(yōu)結(jié)果對應(yīng)的各個變量值。由表3可知:DGSFPA所得壓力容器中4個設(shè)計變量值是最小的,因而其總成本也最小。

      表3 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題的各個變量結(jié)果對比

      圖3是4種算法求壓力容器總成本的收斂曲線圖。從圖4中可知:4種算法中,DGSFPA所得到的目標(biāo)函數(shù)值是最小的,ABC次之。DGSFPA的曲線下降速度較快,更早地跳出局部最優(yōu)到達(dá)最優(yōu)解附近,降低適應(yīng)度值直到穩(wěn)定;而FPA的曲線在前期迭代時易陷入局部最優(yōu),且收斂緩慢,表明DGSFPA的尋優(yōu)能力更強(qiáng)。綜上所述,從實際應(yīng)用的實驗結(jié)果可以證明,本文提出的DGSFPA在解決工程設(shè)計優(yōu)化問題時,求最優(yōu)解的效果更好。

      圖3 4種算法求總成本的收斂曲線圖

      5 結(jié)束語

      本文在傳統(tǒng)FPA的異花授粉和自花授粉兩階段中分別引入了動態(tài)收斂因子和黃金正弦算法,來提高算法的收斂精度和跳出局部最優(yōu)的能力,并將4種算法在10個測試函數(shù)上進(jìn)行比較分析,結(jié)果表明改進(jìn)算法具有良好的尋優(yōu)能力。將DGSFPA應(yīng)用到壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中,與FPA、PSO、ABC 3種優(yōu)化算法相比,改進(jìn)算法在求最優(yōu)解質(zhì)量方面得到了更好的效果。今后研究重點是如何將DGSFPA應(yīng)用到其他領(lǐng)域。

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