從“平均分”的進(jìn)階中看數(shù)感的形成與發(fā)展

檀錢勝

摘要：小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)感形成和發(fā)展的關(guān)鍵時期?！皵?shù)感”的培養(yǎng)不像知識與技能那樣較為系統(tǒng)，作為一種直覺和感悟，建立數(shù)感要依托于具體的內(nèi)容。計算貫穿于整個小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此提供了很多培養(yǎng)數(shù)感的生長點，本文將圍繞平均分與除法的聯(lián)系，結(jié)合整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)過程，挖掘除法運算中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)感 平均分 除法 小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

在核心素養(yǎng)中，數(shù)感是最重要的能力之一，其主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟[1]。作為一種感悟，數(shù)感的建立需要有效的載體，這與除法運算的教學(xué)過程不謀而合，豐富的內(nèi)容和形式有助于數(shù)感的培養(yǎng)。接下來筆者將以北師大版數(shù)學(xué)教材內(nèi)容為主線，以除法的學(xué)習(xí)脈絡(luò)為載體，借助對平均分的理解闡述在除法學(xué)習(xí)中數(shù)感的形成與發(fā)展。

一、除法學(xué)習(xí)的幾個重要階段

1.從分物游戲到整數(shù)除法

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起點大多基于生活已有的認(rèn)知經(jīng)驗。學(xué)生在課堂中通過分物游戲，實際體驗了“分”的過程，建立“平均分”與除法的聯(lián)系，逐步從平均分的角度認(rèn)識除法及除法意義。這是一個從直觀到抽象的思維發(fā)展過程，是學(xué)生數(shù)感發(fā)展的重要載體。

有了初步感知，學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”、“多位數(shù)的除法”等知識，并建立除法橫式、豎式、直觀圖等之間的聯(lián)系。學(xué)生逐漸地脫離具體的數(shù)量，只從“數(shù)字”的角度進(jìn)行運算并學(xué)會解釋每一步的含義。例如當(dāng)學(xué)生面對154÷22時，可以把154盆牡丹花平均分成22份，也可以把154看做154元、154人、154厘米……，不管154代表什么，對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系并沒有發(fā)生變化。而在計算某一類型的題目時，數(shù)感在孩子們選擇最佳解題方法的過程中起著至關(guān)重要的作用[2]，例如計算154÷22時，學(xué)生需要先估算試商，再調(diào)商，此時學(xué)生會得到運算結(jié)果估計等方面的理解與感悟。

2、從整數(shù)除法到小數(shù)除法

縱觀從整數(shù)除法到小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，這是一個聯(lián)系緊密，正向遷移的過程。例如在教學(xué)12.6÷6時，學(xué)生能列好豎式，得出結(jié)果2.1，只需提醒把商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。而通過借助元角分的對應(yīng)關(guān)系和小數(shù)意義對運算過程進(jìn)行解讀，其實是把12.6分成了“12個1”和“6個0.1”，分別除以6后再相加，其中真正與小數(shù)相關(guān)的就是把6個0.1平均分成6份，每份是0.1。后面的學(xué)習(xí)中，不管是“商中補0”，還是“除數(shù)是小數(shù)”的情況，本質(zhì)還是從整數(shù)計數(shù)單位向小數(shù)計數(shù)單位的延伸。對小數(shù)意義的豐富和理解過程就是學(xué)生數(shù)感發(fā)展的重要節(jié)點。

3、從整數(shù)除法到分?jǐn)?shù)除法

在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法之前，學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法的思維起點主要是分?jǐn)?shù)的意義，在把一（多）個整體平均若干份的學(xué)習(xí)體驗中，建立分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系。而在學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗里，平均分的對象大都是一個整體，現(xiàn)在需要對“部分”進(jìn)行“平均分”，這是對學(xué)生理解的一次沖擊，也是對學(xué)生數(shù)感形成與發(fā)展的一次挑戰(zhàn)。

例如嘗試計算4，時，在學(xué)生的固化印象里，單純從算法“除以一個不為零的數(shù)等于乘它的倒數(shù)”來看并不難，但對于分?jǐn)?shù)的“均分”，學(xué)生在理解上有很大困惑.怎么引導(dǎo)學(xué)生走出這樣的認(rèn)知困境，達(dá)到認(rèn)知和實踐相統(tǒng)一的狀態(tài)。我想答案還是在“平均分”的過程中，比如，我們可以認(rèn)為是把“平均分成份，每份是多少”或者“以為一份，看里有多少份”，歸結(jié)起來就是“里有多少個”。此時可以通過畫線段圖表達(dá)， 把變成，就是看“里有多少個”如果這兩個分?jǐn)?shù)同時乘8，就是看“6里面有多少個5”的問題，再次回到分?jǐn)?shù)的意義，通過分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，得出6÷5=，這與的運算結(jié)果是一致的。

二、從數(shù)發(fā)展的角度看除法

1.整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系

小數(shù)和分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生都是對“不完整”需求的表達(dá)，它們與整數(shù)之間聯(lián)系緊密，例如，整數(shù)除法構(gòu)建了分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，分?jǐn)?shù)和小數(shù)既能表示結(jié)果也能表示兩個量之間的關(guān)系。如果把，2÷5，0.4都再平均分成兩份，得到，1÷5，0.2，再平均分成兩份，得到，1÷10，0.1，繼續(xù)分，得到，1÷20，0.05…在這個過程中，它們始終有著相等關(guān)系。

2.代數(shù)中的除法

學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)與數(shù)量關(guān)系，從此就從算術(shù)思維銜接到代數(shù)思維。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的轉(zhuǎn)化：這是一個高度概括的除法模型。

三、結(jié)論

“數(shù)的運算”過程常常是小學(xué)生鞏固、發(fā)展數(shù)感的過程[3]。借助平均分的直觀演示和反復(fù)運算的過程，既可以幫助學(xué)生更好地理解除法的意義，豐富對數(shù)的認(rèn)識，也能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的形成和發(fā)展。“數(shù)感”作為一種直覺、直觀的感受，除了除法運算，還有更多的生長點值得探索和深思。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：3-12.

[2]朱莉婭·安吉萊瑞， 安吉萊瑞， 徐文彬. 如何培養(yǎng)學(xué)習(xí)的數(shù)感[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社， 2007：80-81.

[3]曹培英. 跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實踐研究[M]. 上海：上海教育出版社， 2017：11-13.