冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法及應(yīng)用

孟獻(xiàn)青

(1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009;2.山西大同大學(xué)量子信息科學(xué)研究所，山西大同，037009）

冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)是級(jí)數(shù)部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在求數(shù)列極限、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、不等式的證明、近似計(jì)算等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用。雖然冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，主要是利用和函數(shù)的性質(zhì)，通過四則運(yùn)算、逐項(xiàng)可導(dǎo)和逐項(xiàng)積分，轉(zhuǎn)化為常見的已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行求解。但在學(xué)習(xí)過程中，部分同學(xué)遇到具體問題卻不知從何下手。著重討論了教學(xué)過程中遇到的三類冪級(jí)數(shù)的求和問題，并介紹了冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用。文中假定以下所有操作均在冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。

1 常用結(jié)論

2 主要內(nèi)容

2.1 p(n)在分子上

例1求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

解（1）與等比級(jí)數(shù)相比，需要消掉系數(shù)n，因?yàn)?xn)′=nxn-1，所以可以把nxn-1先替換成(xn)′，再根據(jù)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，先求等比級(jí)數(shù)的和，再求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算。

（3）難點(diǎn)是n2，不能直接利用上面的方法，但是可以把系數(shù)做相應(yīng)的變形，從而把級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換成熟悉的類型進(jìn)行求解。

2.2 p(n)在分母上

例2求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

（2）分母是n，分子的冪次是n+1，xn+1直接求導(dǎo)不能約去n，故可以先提出一個(gè)x，使分母和分子的冪次相同，然后再逐項(xiàng)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成（1）的類型計(jì)算。

（3）分母是n+1，分子的冪次是n，xn直接求導(dǎo)不能約去n+1，故可以先乘x，使分母和分子的冪次都為n+1，然后再逐項(xiàng)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成熟悉的類型進(jìn)行計(jì)算。

（4）因?yàn)?xn+1)″=n(n+1)xn-1，所以先把分子的冪次變成n+1，通過兩次求導(dǎo)可以約去系數(shù)，然后轉(zhuǎn)換成公比是-x的等比級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

因?yàn)镾′(0)=0，

所以S′(x)=ln(1+x)。

因?yàn)镾(0)=0，

所以S(x)=(1+x)ln(1+x)-x，(-1＜x≤1)。

2.3 p(n)中含有階乘

例3求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

解（1）由于該級(jí)數(shù)的分母中含有階乘，與ex的麥克勞林展開式比較相似，所以做適當(dāng)?shù)淖冃?，利用公?進(jìn)行求和。

（2）該級(jí)數(shù)的系數(shù)與正弦級(jí)數(shù)的麥克勞林展開式比較相似，但是分子上又包含n+1，所以難點(diǎn)是如何消去n+1，然后結(jié)合正弦函數(shù)的展開式進(jìn)行計(jì)算。

冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)常用的方法就是逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分，通過一些簡單的運(yùn)算，把所求冪級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行求解。常用的解題思路是：如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)是n的有理整式或有理分式，可將該級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型進(jìn)行求解，主要利用的是等比級(jí)數(shù)求和。如果一般項(xiàng)分母中含有階乘，則可向ex,sinx,cosx的麥克勞林展開式轉(zhuǎn)化，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再經(jīng)過轉(zhuǎn)化便可得到原級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

3 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用

3.1 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和是高等數(shù)學(xué)常見的一類題型，在高等數(shù)學(xué)競賽中和全國碩士研究生統(tǒng)一考試中頻頻出現(xiàn)。對(duì)于這種題型，通過觀察級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的特征，構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再代入特殊值進(jìn)行計(jì)算。

解觀察到級(jí)數(shù)的分母中含有(2n+1)!，不難猜測其求解過程與sinx或cosx的冪級(jí)數(shù)展開式有關(guān)，所以構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，當(dāng)x=1 時(shí)即為所求。令

則原式=S(1)=cos1+2sin1。

3.2 求數(shù)列的極限

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的計(jì)算靈活多樣，技巧性強(qiáng)，且各有優(yōu)點(diǎn)，用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限是一種很重要的方法[3]。

解構(gòu)造冪級(jí)數(shù)時(shí)，即為所求。該級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，先求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

3.3 求積分

積分的計(jì)算在高等數(shù)學(xué)中有著非常重要的作用，積分計(jì)算的技巧性特別強(qiáng)，積分常用的方法是換元法和分部積分法，然而對(duì)于某些積分，利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求解，會(huì)使求解變得特別簡單快捷[3]。

4 結(jié)語

介紹了常見的三種類型的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的方法，并列舉了冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的一些應(yīng)用。在計(jì)算和函數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行一些巧妙的處理，利用四則運(yùn)算拆分成熟悉的冪級(jí)數(shù)求和，或者利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，轉(zhuǎn)化成熟悉的類型進(jìn)行求解。利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是歷年考試的一個(gè)重點(diǎn)，形式靈活多變。所以在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，一定要多角度思考問題，做到融匯貫通，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來，不斷探索新的、快捷的解題方法。