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    廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性及Levitin-Polyak良定性*

    2022-01-05 14:25:22彭再云王衍程
    關(guān)鍵詞:空子集值局中人

    劉 雷,林 志,彭再云,王衍程

    (重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400074)

    0 引 言

    一般認(rèn)為,1944年Morgenstern等[1]書的出版,標(biāo)志著系統(tǒng)化對(duì)策論的出現(xiàn),他們主要研究了矩陣對(duì)策與合作對(duì)策。此后,在1950年[2]與1951年[3],Nash在其基礎(chǔ)上相繼發(fā)表了關(guān)于非合作對(duì)策的兩篇重要文章,引入了非合作對(duì)策均衡點(diǎn)的概念(即Nash均衡點(diǎn)),從而完善了現(xiàn)代非合作對(duì)策理論。其中,很多學(xué)者圍繞Nash均衡點(diǎn)的存在性問題進(jìn)行了大量研究,也取得了很多成果。經(jīng)典對(duì)策問題的支付映射是單值的(一個(gè)數(shù)或一個(gè)向量)[4-6],然而,受客觀條件和一些不確定因素的影響,要精確計(jì)算出其對(duì)應(yīng)值很困難,甚至不可能,通常只能得到這個(gè)值的大概范圍。此時(shí),相應(yīng)對(duì)策問題的支付映射就變成了一個(gè)集值映射。因此,研究帶有集值支付映射的對(duì)策問題是非常必要且有實(shí)際意義的。

    在此背景下,文獻(xiàn)[7]在支付映射為集值的條件下,討論了對(duì)策系統(tǒng)的Loose Nash均衡點(diǎn)的存在性;文獻(xiàn)[8]在Loose Nash均衡點(diǎn)的基礎(chǔ)上,重新刻畫了支付映射為集值時(shí)對(duì)策系統(tǒng)Nash均衡點(diǎn)的定義,并證明了其存在性,但是其均不帶約束條件,實(shí)際應(yīng)用時(shí)具有一定的局限性,且均未討論其均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

    良定性(Well-posedness)是穩(wěn)定性理論和數(shù)值分析中的一個(gè)重要概念。1966年,Tykhonov[9]在近似解序列的基礎(chǔ)上提出了無約束優(yōu)化問題良定性的概念;在同一年,Levitin等[10]將Tykhonov定義的良定性推廣到了帶約束的優(yōu)化問題中,人們分別稱其為Tykhonov良定性和Levitin-Polyak良定性(簡稱為LP良定性)。近年來,有關(guān)帶約束優(yōu)化問題的LP良定性的研究愈加熱門[11-14],但尚未有關(guān)于集值映射Nash均衡點(diǎn)的良定性分析。

    本文將文獻(xiàn)[8]中無約束集值映射的Nash均衡點(diǎn),推廣到了帶約束的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn),并證明了其存在性。它以通常的Nash均衡點(diǎn)[4-6]及集值映射的Loose Nash均衡點(diǎn)[7]為特例,應(yīng)用更加廣泛。此外,通過定義LP近似解序列,證明了LP良定性的充分和必要條件,并在此基礎(chǔ)上,得到了廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的LP良定性結(jié)果。

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1 設(shè)Y是Hausdorff拓?fù)渚€性空間,C?Y是Y中的一個(gè)錐,C為凸錐,當(dāng)且僅當(dāng)C+C=C;C為尖錐,當(dāng)且僅當(dāng)C∩C={θ},其中θ是Y中的零元。

    定義2設(shè)Y是Hausdorff拓?fù)渚€性空間,對(duì)集合A,B?Y,數(shù)α∈R,記A+B={a+b:a∈A,b∈B},αA={αa:a∈A}。

    在本文中,除非特別說明,均定義如下:指標(biāo)集I={1,2,…,n}至少有兩個(gè)元素,對(duì)任何i∈I,Xi,Yi是Hausdorff拓?fù)渚€性空間,Ki是Xi中的一個(gè)非空緊凸子集,Ci是Yi中的一個(gè)閉凸尖錐且intCi≠?,記

    其中,積空間X是一個(gè)Tychonoff乘積空間,對(duì)每個(gè)x∈K,記為x=(xi,x-i)。討論下面廣義集值映射Nash均衡問題:設(shè)指標(biāo)集I是局中人集合,對(duì)每個(gè)局中人i∈I,集值映射Fi:K→2Yi是局中人i的支付映射,集值映射Gi:K-i→2Ki是其可行約束對(duì)應(yīng)映射,尋找

    則x*被稱為廣義集值映射對(duì)策系統(tǒng)的一個(gè)Nash均衡點(diǎn)。一個(gè)廣義集值映射的對(duì)策系統(tǒng)通常被表示為(SVNGP):Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I。

    注3 在不帶約束的情況下,此定義包含Loose Nash均衡點(diǎn)[7]作為一個(gè)特例,具體推論可見文獻(xiàn)[8]。同樣可證,當(dāng)文獻(xiàn)[8]中的錐Ci(x*)為固定錐時(shí),上述定義中的x*也為文獻(xiàn)[8]中的Nash均衡點(diǎn)。

    定義3X是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g,Y是一個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻g,K是X中的一個(gè)非空子集,C是Y中的一個(gè)閉凸尖錐,集值映射F:K→2Y。若對(duì)Y中零元θ的任何開零域V,存在x在K中的開零域U(x),使得對(duì)任何x′∈U(x),有F(x′)?F(x)+V+C,則稱F在x處是上半C-連續(xù)的;若F在K的每一點(diǎn)均是上半C-連續(xù)的,則稱F在K上是上半C-連續(xù)的;若-F在K上是上半C-連續(xù)的,則F在K上是上半-C連續(xù)的。

    定義4[8]X和Y為Hausdorff拓?fù)渚€性空間,K是X中的一個(gè)非空子集,對(duì)任意x∈K,稱Fi(·,x-i):Ki→2Yi是Ci-廣義擬凹的,如果對(duì)任意yi∈2Yi,集合{ui∈Xi:存在zi∈Fi(ui,x-i),zi∈yi+intCi}是凸集。

    定義5[15]X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,K是X中的一個(gè)非空子集,F(xiàn):K→Y是K到Y(jié)的一個(gè)集值映射,若對(duì)任意x∈K,F(xiàn)(x)恒為Y的緊子集,則稱F為緊值映射。

    引理1[15]X為拓?fù)淇臻g,Y為正則拓?fù)淇臻g,K是X中的一個(gè)非空子集,F(xiàn):K→2Y,若F在x0∈K處上半連續(xù)且閉值,則對(duì)任意xn→x0,對(duì)任意yn∈F(xn)且yn→y0,有y0∈F(x0)。

    引理2[15]X和Y為拓?fù)淇臻g,K是X中的一個(gè)非空子集,且Y滿足第一可列公理,F(xiàn):K→2Y,若F在x0∈K處下半連續(xù),則對(duì)任意xn→x0,對(duì)任意y0∈F(x0),有n0使對(duì)任意n≥n0,存在yn∈F(xn)滿足yn→y0。

    (i)Hi是緊值的;

    則所有集合Hi(xi)(i∈I,xi∈Ki)有公共元素,即

    2 存在性及其證明

    定理1 設(shè)I是局中人的集合,對(duì)每個(gè)i∈I,Ki是Xi中的非空緊凸子集,集值映射Fi:Ki→2Yi,集值映射Gi:K-i→2Ki。考慮廣義集值映射的對(duì)策系統(tǒng)Γ,對(duì)?i∈I,如果

    (i)?x-i∈K-i,Gi(x-i)是上半連續(xù)的且具非空凸緊值;

    (ii)?x∈K,F(xiàn)i(·,·)是上半連續(xù)的且具非空緊值;

    (iii)?x-i∈K-i,F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的;

    (iv)?x∈K,F(xiàn)i(ui,·)是下半連續(xù)的;

    (v)?x∈K,存在yi∈Fi(x),使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

    證明對(duì)每個(gè)i∈I,作映射Hi:Gi(x-i)→2Gi(x-i)如下:

    Hi(ui)={xi∈Gi(x-i):存在yi∈Fi(xi,x-i),使(yi-Fi(ui,x-i))∩(-intCi)=?},?ui∈Gi(x-i)。

    即有

    因此x0∈Hi(ui),從而Hi(ui)是閉集當(dāng)然也是緊集。

    (2) 對(duì)任意的xi∈Gi(x-i),由條件(iii)有

    {ui∈Gi(x-i):xi?Hi(ui)}=

    {ui∈Gi(x-i):?yi∈Fi(xi,x-i),

    ?zi∈Fi(ui,x-i),zi∈yi+intCi}

    是凸集。

    證畢。

    注4 當(dāng)集值映射F簡化為向量值函數(shù)時(shí),應(yīng)用上述定理1,依然可得到廣義向量對(duì)策系統(tǒng)解的存在性結(jié)果。

    3 良定性及其證明

    定義廣義集值映射對(duì)策系統(tǒng)(SVNGP)的Nash均衡點(diǎn)的解集為S,其中

    S={x=(xi,x-i)∈K:?i∈I,xi∈Gi(x-i)}

    且存在yi∈Fi(xi,x-i),使yi-zi?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

    定義7如果存在唯一的(SVNGP)解x*,且每一個(gè)近似解序列都收斂到x*,則稱(SVNGP)為LP良定的;如果(SVNGP)的解集是一個(gè)集合且每一個(gè)近似解序列都有收斂子序列收斂到解集中的某點(diǎn),則稱(SVNGP)為廣義LP良定的(簡稱為GLP良定的)。

    注5如果(SVNGP)是GLP良定的,那么其解集一定是非空緊值的。

    為了刻畫良定性問題,下面引入(SVNGP)近似解集的概念:對(duì)ε∈R+,(SVNGP)的LP近似解集為

    且存在yi∈Fi(xi,x-i),使yi-zi+εei?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

    引理4對(duì)每個(gè)i∈I,若集值映射Gi:K-i→2Ki在K-i上上半連續(xù)且具緊值,序列{εn}?R+,{xn}?K,使得對(duì)每個(gè)i∈I,有

    定理2考慮(SVNGP)Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I,對(duì)每個(gè)i∈I,如果

    (i)?x-i∈K-i,Gi(x-i) 是上半連續(xù)的且具非空凸緊值;

    (ii)?x∈K,F(xiàn)i(·,·)是連續(xù)的且具有非空緊值;

    (iii)?x-i∈K-i,F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的;

    (iv)?x∈K,存在yi∈Fi(x),使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

    則意味著存在ε0>0,使得

    即意味著存在ε0>0,使得

    -intCi0-Ci0∈-intCi0

    由定理2及定理3,即可得到(SVNGP)的GLP良定性。

    定理4對(duì)(SVNGP),Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I,假設(shè)定理2的條件(i)-(iv)全部滿足,則(SVNGP)是GLP良定的。

    (1)G1(x2),G2(x1)在[1,2]上均是連續(xù)且具非空凸緊值;

    (2)F1(x1,x2),F(xiàn)2(x1,x2)在[1,2]×[1,2]上均是連續(xù)的;

    (3) 對(duì)任何x2∈[1,2],F(xiàn)1(·,x2)是C1-廣義擬凹的,x1∈[1,2],F(xiàn)2(x1,·)是C2-廣義擬凹的;

    (4) ?xi∈[1,2],i=1,2,存在0∈Fi(x1,x2),使得(0-Fi(x1,x2))∩(-intCi)=?。

    同樣定理2的條件均被滿足,因此可使用定理4得出上述例子的Nash均衡點(diǎn)是GLP良定的。

    注6 當(dāng)集值映射F簡化為向量值函數(shù)時(shí),應(yīng)用上述定理4,依然可得到廣義向量對(duì)策系統(tǒng)解的良定性結(jié)果。

    4 結(jié)論與討論

    本文討論了帶有約束條件的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性與良定性的相關(guān)性質(zhì),其在支付映射或者約束對(duì)應(yīng)映射具有非線性擾動(dòng)或難以精確計(jì)算時(shí)也可適用。此外,證明了Levitin-Polyak良定性的充分和必要條件,在此基礎(chǔ)上,得到了廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的Levitin-Polyak良定性結(jié)果,得出了大多數(shù)情況下廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)具有良定性的穩(wěn)定結(jié)論,進(jìn)一步加強(qiáng)了其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,豐富了其穩(wěn)定性的研究內(nèi)容。接下來,非緊性條件下的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性及其他穩(wěn)定性將是下一步的研究方向。

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